Problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall ye un problema matemáticu de probabilidá basáu nel concursu televisivu d'Estaos Xuníos Let's Make a Deal (Faigamos un tratu). El problema foi bautizáu col nome del presentador de dichu concursu: Monty Hall.

La premisa

El concursante tien d'escoyer una puerta ente trés (toes zarraes); el premiu consiste en llevase lo que s'atopa detrás de la escoyida. Saber con certidume que tres una d'elles despíntase un automóvil, y tres les otres dos hai cabres. Una vegada que'l concursante escoyera una puerta y comunicáu la so eleición a los presentes, el presentador, que sabe lo qu'hai detrás de cada puerta, va abrir una de les otres dos na qu'haya una cabra. De siguío, da-y la opción al concursante de camudar, si deseyar, de puerta (tien dos opciones). ¿Debe'l concursante caltener la so eleición orixinal o escoyer la otra puerta? ¿Hai dalguna diferencia?

Esa entruga xeneró un intensu alderique. Como la respuesta correuta paez contradicir la intuición, ye aparentemente una paradoxa.

La premisa orixinal

De siguío espónse l'enunciáu más famosu del problema, estrayíu d'una carta [1] Archiváu 2013-01-21 en Wayback Machine de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citen Bohl, Liberatore y Nydick).

Supón que tas nun concursu, y se te ufierta escoyer ente tres puertes: detrás d'una d'elles hai un coche, y detrás de les otres, cabres. Escueyes una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo qu'hai detrás de les puertes, abre otra, digamos la nº3, que contién una cabra. Entós te pregunta: "¿Nun prefieres escoyer la nº2?". ¿Ye meyor pa ti camudar la to eleición?

Na carta posterior de Selvin a American Statistician (agostu de 1975) apaez la que paez ser la primer mención del términu "problema de Monty Hall".

Un problema análogu denomináu "problema de los trés prisioneros" apaeció na columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner fai'l procesu d'eleición esplícitu, evitando los camientos de la versión orixinal.

Una forma de visualizar la meyor estratexa, si camudar o non, ye reparar que la frecuencia de vegaes en que'l vehículu tea na primer puerta escoyida ye 1 de cada 3 y de que tea en dalguna de les otres dos non escoyíes, ye 2 de cada 3.

La frecuencia de vegaes que'l vehículu tea na primer puerta nun camuda cuando'l presentador indica, de les 2 puertes ensin escoyer, cuál tien la cabra. Entós la frecuencia de camudar ye ganadora 2 de cada 3 vegaes, ente que la de nun camudar ye ganadora 1 de cada 3 vegaes.

La premisa completa

Ufiértase un concursu que la so mecánica ye la siguiente:

Al concursante ufiértase-y la posibilidá d'escoyer una ente tres puertes. Tres una d'elles atopa un coche, y tres les otres dos hai una cabra. El concursante gana'l premiu que se despinta detrás de la puerta qu'escueya.
Dempués de que'l concursante escueya una puerta, el presentador abre una de les otres dos puertes, amosando una cabra. Siempres puede faelo yá que inclusive si'l concursante escoyó una cabra, queda otra ente les puertes que refugó y el presentador conoz lo qu'hai detrás de cada puerta.
Entós, ufierta al concursante la posibilidá de camudar la so eleición inicial y escoyer la otra puerta que refugó orixinalmente, que sigue zarrada.

La entruga oportuna ye: ¿tien de faelo o non?

La solución

Camientos iniciales

Esta solución basar en tres suposiciones básiques:

que'l presentador siempres abre una puerta,
que la escueye ente les restantes dempués de que'l concursante escueya la suya,
que tres ella siempres hai una cabra.

Un estudiu probabilístico

La probabilidá de que'l concursante escueya na so primer oportunidá la puerta que despinta'l coche ye de 1/3, polo que la probabilidá de que'l coche atopar nuna de les puertes que nun escoyó ye de 2/3. ¿Qué camuda cuando'l presentador amuesa una cabra tres una de les otres dos puertes?

Un camientu erróneu ye que, una vegada namái queden dos puertes, dambes tienen la mesma probabilidá (un 50%) de contener el coche. Ye errónea una y bones el presentador abre la puerta dempués de la eleición del xugador. Esto ye, la eleición del xugador afecta a la puerta qu'abre'l presentador. Nun ye un sucesu aleatoriu nin inconexo.

Si'l xugador escueye na so primer opción la puerta que contién el coche (con una probabilidá de 1/3), entós el presentador puede abrir cualesquier de les otres dos puertes. Amás, el xugador pierde'l coche si camuda cuando se-y ufierta la oportunidá.

Pero, si'l xugador escueye una cabra na so primer opción (con una probabilidá de 2/3), el presentador namái tien la opción d'abrir una puerta, y esta ye la única puerta restante que contién una cabra. Nesi casu, la puerta restante tien que contener el coche, polo que camudando ganar.

En resume, si caltién la so eleición orixinal gana si escoyó orixinalmente'l coche (con probabilidá de 1/3), ente que si camuda, gana si escoyó orixinalmente una de los dos cabres (con probabilidá de 2/3). Poro, el concursante tien de camudar la so eleición si quier maximizar la probabilidá de ganar el coche.

Pa matemáticos: Sía X:( $\Omega$ , P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual atópase'l coche. Sía Y:( $\Omega$ , P) → {1,2,3} la puerta qu'escueye aleatoriamente el candidatu. Les variables aleatories X y Y son estocásticamente independientes. Sía M: ( $\Omega$ , P) → {cabra, coche} lo que s'atopa detrás de la puerta que'l moderador, de manera aleatoria, escueye (ente les qu'entá nun s'abrieron). Cumplir entós [M=cabra] con probabilidá 1 (o siempres), esto ye: P[M=cabra] = 1. La probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche sol supuestu de qu'él nun camuda de puerta ye entós P[X=Y|M=cabra] = P[X=Y]/P[M=cabra] = (1/3)/1 = 1/3. Per otru llau, la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche sol supuestu de qu'él camuda de puerta ye entós: P[X≠Y|M=cabra] = 1 - P[X=Y] = 2/3. (Esta ye la solución correuta.)

Una "solución" incorreuta llograr de la siguiente interpretación: Si, per otru llau, el presentador escueye de manera aleatoria y uniforme ente les puertes qu'entá nun s'abrieron, entós la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche (yá que él nun camuda de puerta) ye P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Poro, 0,5 ye la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche (yá que él camuda de puerta), pero esta respuesta nun ye aplicable al nuesu problema.

Otra forma pa ver el plantemiento ye la siguiente: Definimos los eventos A: El concursante escueye la puerta col premiu antes de camudar d'opción y; B: El concursante escueye la puerta col premiu dempués de camudar d'opción. Entós aplicando'l teorema de Probabilidá Total, tenemos: P[B]=P[BA]+P[BÂ]=P[B|A]P[A]+P[B|Â]P[Â]=(0)(1/3)+(1)(2/3)= 2/3 (onde Â representa al complementu d'A). P[B|A]=0, yá que son eventos mutuamente escluyentes. P[A]=1/3, por cuenta de que dende l'entamu escueye una puerta de trés y toes son equiprobables. P[B|Â]=1, ye porque si escoyó la puerta incorreuta dende'l principiu y darréu realiza'l cambéu, siempres va ganar. P[Â]=2/3, porque P[Â]=1-P[A]=1-1/3=2/3.

¿Por qué asocede esto?

Porque lo qu'amuesa'l presentador nun afecta a la to eleición orixinal, solo a la otra puerta non escoyida. La to eleición inicial nun podía ser revelada, independientemente del so conteníu, sicasí la otra podría ser removida en casu de que nun fuera la correuta. Una vegada que s'abrir una puerta y amuésase la cabra, esa puerta tien una probabilidá igual a 0 de contener un coche, polo que dexa de tenese en cuenta. Si'l conxuntu de dos puertes tenía una probabilidá de 2/3 de contener el coche, entós, si una tien una probabilidá de 0, la otra tien de tener una probabilidá de 2/3. La eleición consiste en preguntar si prefieres siguir cola to puerta orixinal o escoyer les otres dos puertes. La probabilidá de 2/3 trespasar a la otra puerta non escoyida (en llugar d'estremase ente los dos puertes restantes de cuenta que dambes tengan una probabilidá de 1/2) porque en nengún casu puede'l presentador abrir la puerta escoyida primeramente. Si'l presentador escoyera al azar y abriera una de los dos puertes con cabres (siendo una d'estes posiblemente la del concursante), y depués diera de nuevu una posibilidá d'escoyer ente les demás, entós los dos puertes restantes sí tendríen la mesma probabilidá de contener el coche.

¿Por qué solemos equivocar?

El razonamientu intuitivu que nos lleva a la conclusión errónea ye que como hai dos puertes, una col coche y otra cola cabra, y nun sabemos en cuál de los dos ta'l coche, pensamos que caúna tien 50% o 1/2 de probabilidá. Pero esti razonamientu nun toma en cuenta la conocencia con que les puertes fueron escoyíes. Pa ilustrar, supongamos que nun conocemos l'añu de ciertu acontecimientu históricu, pero dannos como úniques opciones 1990 y 1991. Si nun tenemos más información, podemos dicir que caúna tien 1/2 de probabilidá, pero si preguntámos-y a un estudiante que nun suel sacar bones notes, tatexa ya inseguru diznos que ye 1990, y depués preguntámos-y a un profesor d'historia y bien convencíu diznos que ye 1991, nun sería fayadizu asigna-y 1/2 de probabilidá a cada opción. La diferencia ente los dos ye'l respaldu que tienen. Una ta sofitada por daquién que podemos considerar ignorante, y la otra ta sofitada por un sabiu. Nun ye imposible que'l profesor tea equivocáu, pero sabemos qu'eso ye menos frecuente.

Nel problema de Monty Hall asocede que'l presentador conoz les posiciones y ta forzáu a dexar el carru ocultu pa la segunda ronda. Les úniques dos puertes que van permanecer tapaes son la qu'escoyó'l concursante de primeres y otra que decida'l presentador. Agora bien, el concursante escueye una puerta qu'escuende una cabra con una frecuencia de 2/3, esto ye, la mayoría de les vegaes, lo que significa que la otra puerta que dexe cerrada'l presentador va tener que ser la del carru nesa mesma mayoría de les vegaes por que pueda permanecer ocultu. N'otres pallabres, el presentador escueye'l carru con más frecuencia que'l concursante, y por eso ye más probable que se gane camudando a que se gane calteniendo la eleición orixinal.

Esplicación matemática

Si utilizamos como exemplu'l concursu de los trés puertes y la cabra, el problema visualízase asina:

Puede esplicase fácilmente con una simple ecuación matemática, onde hai que saber el númberu total de puertes, cuántes s'escueyen de primeres y en cuántes s'enseñó que nun ta'l coche.

$P[A]=100\times {\frac {n+l}{t}}\%$

onde:

P\left[A\right],

ye la probabilidá d'abrir la puerta tres la cual ta'l coche.

n,

ye'l númberu de puertes escoyíes de primeres.

l,

ye'l númberu de puertes nes que s'enseñó que dientro nun hai nada.

t,

ye'l númberu total de puertes.

Tiense que cumplir que $t$ sía un númberu enteru (les puertes non pueden partise), $t\geq n+l$ y $t\geq 1$ .

Si $t=n+l$ les probabilidaes d'abrir la puerta que contenga'l coche son del $100\%$ .

Exemplu con tres puertes

Si tenemos tres puertes( $p_{1},p_{2},...p_{t};t={\text{númberu total de puertes}}=3$ ), y delles haise escoyíu una puerta (digamos $p_{1}$ ), entós hai $P\left[A\right]$ probabilidaes d'escoyer la puerta que contenga'l coche, siendo:

${\begin{aligned}n&=1\\l&=0\\t&=3\end{aligned}}$

La probabilidá sería:

${\begin{aligned}P[A]&=100\times {\frac {n+l}{t}}\\&=100\times {\frac {1+0}{3}}\\&=100\times {\frac {1}{3}}\\&=33,3\dots \%\end{aligned}}$

Tien sentíu porque si escueye una puerta ( $p_{1}$ ) ente un conxuntu de puertes ( $p_{1},p_{2},...p_{t};t={\text{númberu total de puertes}}=3$ ), hai una probabilidá del $^{1}/_{3}=33\%$ d'abrir la puerta que contién el coche.

Pero si enseña una puerta ( $l=1$ ) les probabilidaes d'abrir la puerta que contién el coche engrandaríense. Siendo:

{\begin{aligned}n&=1\\l&=1\\t&=3\end{aligned}}

La probabilidá d'abrir la puerta que contenga'l coche sería:

${\begin{aligned}P[A]&=100\times {\frac {n+l}{t}}\\&=100\times {\frac {1+1}{3}}\\&=100\times {\frac {2}{3}}\\&=66,6\dots \%\end{aligned}}$

Exemplu con 100 puertes

Si tenemos 100 puertes ( $p_{1},p_{2},...p_{t};t={\text{númberu total de puertes}}=100$ ), y delles haise escoyíu una puerta (digamos $p_{1}$ ), entós hai $P\left[A\right]$ probabilidaes d'escoyer la puerta que contién el coche, siendo:

{\begin{aligned}n&=1\\l&=0\\t&=100\end{aligned}}

La probabilidá d'abrir la puerta que contién el coche sería:

${\begin{aligned}P[A]&=100\times {\frac {n+l}{t}}\\&=100\times {\frac {1+0}{100}}\\&=100\times {\frac {1}{100}}\\&=1\%\end{aligned}}$

Pero si enséñense 98 puertes ( $l=98$ ) les probabilidaes d'atinar la puerta engrándense (namái queden dos puertes zarraes, la que s'escoyó y la que dexaron zarrada. 98 puertes tán abiertes y sabemos que dientro nun ta'l coche). Siendo:

{\begin{aligned}n&=1\\l&=98\\t&=100\end{aligned}}

La probabilidá d'abrir la puerta que dientro contién el coche sería:

${\begin{aligned}P[A]&=100\times {\frac {n+l}{t}}\\&=100\times {\frac {1+98}{100}}\\&=100\times {\frac {99}{100}}\\&=99\%\end{aligned}}$

Esplicaciones alternatives

El problema coles 100 puertes

Una forma más clara de velo ye replantegar el problema. Si en llugar d'haber namái tres puertes hubiera 100, y tres la eleición orixinal el presentador abriera 98 de les restantes p'amosar que tres d'elles hai cabres. Si nun camudara la so eleición, ganaría'l coche namái si haber escoyíu orixinalmente (1 de cada 100 vegaes); ente que si camudar siempres, ganaría cada vez que nun lo haya escoyíu orixinalmente, esto ye, 99 de cada 100 vegaes. Si nun xuegu particular la puerta correuta fora la 30, por poner un exemplu, tenemos los siguientes casos:

1- El concursante escueye la puerta 1. El presentador revela toes menos la 1 y la 30. Gánase camudando.

2- El concursante escueye la puerta 2. El presentador revela toes menos la 2 y la 30. Gánase camudando.

3- El concursante escueye la puerta 3. El presentador revela toes menos la 3 y la 30. Gánase camudando.

...

98- El concursante escueye la puerta 98. El presentador revela toes menos la 98 y la 30. Gánase camudando.

99- El concursante escueye la puerta 99. El presentador revela toes menos la 99 y la 30. Gánase camudando.

100- El concursante escueye la puerta 100. El presentador revela toes menos la 100 y la 30. Gánase camudando.

La única manera de ganar calteniendo la eleición inicial ye si de primeres el concursante escoyó la puerta 30. Esto ye, tien d'atinar la correuta teniendo 100 posibilidaes.

Imaxinar que'l presentador ye otru concursante

Yá que dende'l puntu de vista del presentador, escoyer la puerta que tien d'abrir ente los dos restantes ye lo mesmo qu'escoyer la puerta que nun tien d'abrir, a ésti puede imaxináse-y como otru concursante y la puerta que dexa zarrada ye la so eleición. A diferencia del primer participante, él tien la ventaya de conocer el conteníu de caúna de les puertes. Si fuera'l primeru n'escoyer, sería llibre d'escoyer siempres la puerta del carru, polo que podría ganalo'l 100% de les vegaes. Pero tien l'inconveniente de qu'otru concursante va escoyer primero, y depués él tien qu'escoyer una que nun fuera la puerta del primeru. Si'l primer concursante escueye la puerta del carru, lo cual asocede 1/3 de les vegaes, el presentador namái va poder escoyer una puerta con una cabra, pero si'l primero falla, lo cual asocede nos 2/3 restantes, el presentador va ganar.

Decidir camudar ye equivalente a apostar por que ganó'l presentador, esto ye, pol concursante que conocía los conteníos, y decidir nun camudar ye equivalente a apostar pol concursante que fizo una seleición al azar. Un concursante tien ventaya sobre l'otru. D'esta miente, apréciase que la segunda eleición nel problema de Monty Hall nun ye una decisión aleatoria ente dos puertes indistinguibles, y nesi casu les probabilidaes sí seríen del 50%. Nesti casu tenemos dos asities bien estremaes: puerta de camudar y puerta de nun camudar. El fechu de que'l carru atopar nuna o n'otra depende de dos eventos con distinta probabilidá. Va Tar na puerta de nun camudar si y namái si de primeres atinóse (1/3), y va tar na otra si y namái si de primeres fallóse (2/3).

Una esplicación gráfica

Por si nun se ve claro, equí va una esplicación gráfica: Tenemos tres caja:

([?]) vs ([?][?]) agora hai dos grupos: la caxa que s'escoyó (con probabilidá 1/3 y el grupu de les otres dos caxes (con probabilidá 2/3).

([?]) vs ([?][?]) = 1/3 vs (1/3,1/3)

Afayar una cabra del grupu de los dos caxes.

([?]) vs ([B][?]) = x vs (0,1-x)

¿Ónde ye más probable que s'atope'l premiu? ¿na caxa escoyida o ente les otres dos (anque una tea descubierta)?

Evidentemente ye más probable que tea ente les otres dos.

Comprobémoslo con seis caja (cinco contienen cabra y un premiu):

([?][?][?][?][?][?]) antes d'empezar hai una probabilidá de 1/6 d'atopar el premiu dientro del grupu.

Escueyo la primera (o cualesquier otra).

([?]) vs ([?][?][?][?][?]) agora hai dos grupos: la caxa que s'escoyó (con probabilidá de 1/6 y el grupu de les otres cinco caxes (con probabilidá 5/6).

Preguntémonos nesti puntu: ¿ónde ye más probable que tea'l premiu; na caxa escoyida (1/6) o ente los cinco restantes (5/6)?

Afayar cuatro cabres.

([?]) vs ([B][B][?][B][B])=1/6 vs 5/6.

Otra vegada la mesma entruga: ¿ónde ye más probable que tea'l premiu, na caxa escoyida o ente les otres 5? La respuesta sigue siendo la mesma porque la única puerta zarrada de los cinco orixinales non escoyíes caltién la probabilidá de tol conxuntu de puertes ensin escoyer.

Otra esplicación gráfica ya intuitiva: sobres y caxes

El presentador amuesa al concursante trés sobres y dos caja vacíes, la caxa númberu 1 y la caxa númberu 2. Namái unu de los sobres contién un premiu. De siguío pide al concursante qu'escueya unu de los sobres y introducir na caxa númberu 1. Los otros dos guardar na caxa númberu 2. Apurre la caxa númberu 1 al concursante (col sobre escoyíu), y estrema la caxa númberu 2 (colos dos sobres restantes). Si nesi momentu diéra-y al concursante la opción de camudar de caxa, la respuesta sería obvia, pero la eleición yá ta fecha. Sicasí, sorprendentemente, da al concursante la oportunidá de camudar la caxa 1 pola 2, cola condición de qu'antes d'apurri-y la déxe-y sacar d'ella un sobre ENSIN PREMIAR (para qué lo quier) y dexar l'otru. Rescampla que nada relevante camudó nel conteníu de les caxes, y el concursante tendría d'aceptar encantáu la ufierta y quedase finalmente cola caxa númberu 2, que nun perdió valor.

La caxa númberu 1 (con un sobre) tenía y sigue teniendo una probabilidá de 1/3 de resultar premiada, y la probabilidá de caja número 2 (con dos sobres) yera, y sigue siendo, de 2/3, porque'l fechu de retirar un sobre ensin premiu (y por tanto, ensin nengún valor) nun camuda nada.

Intereses

Nel capítulu 200 (9x18) de la temporada 9 de la serie Los Cazadores de Mitos tituláu "La rueda de la mitofortuna" estudien el problema de Monty Hall.

Nun episodiu de la serie Friends, Chandler Bing fai referencia a Monty Hall na cena previa a la boda de Ross Geller y Emily Waltham, cuando fai lo qu'él llama un "brindicito".

Nel capítulu 101 del llibru El curiosu incidente del perru a medianueche (2003), Christopher recurre al problema de Monty Hall pa demostrar que la intuición puede faer que nos equivocar, ente que la lóxica puede ayudar a deducir la respuesta correuta.

Na película 21 blackjack (2008), mientres una clase de matemática avanzada, el profesor Mickey Rosa (Kevin Spacey) desafía a Ben Campbell (Jim Sturgess) a que descifre un problema alrodiu de tres puertes con cambeos variables (problema de Monty Hall); ésti resolver con ésitu.

Tamién se describe esta paradoxa nel capítulu 15 de la novela Operación Duce de Ian McEwan.

Nel episodiu octavu de la cuarta temporada de Brooklyn Nine-Nine tamién los personaxes tienen que resolver esta paradoxa.

Referencies

Bapeswara Rayo, V. V. and Rayo, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, non. 2, páxs. 89–94
Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, páxs. 1–9.
Joseph Bertrand (1889) Calcul des probabilites
Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, páxs. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." The Mathematical Intelligencer, 2011 (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.
Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). (retrieved July 5, 2005).
Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, páxs. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Alderique and Answer?", The New York Times 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
Adams, Cecil (1990). "On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2--non prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", The Straight Dope November 2 1990. http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html (retrieved July 25, 2005).
Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, páxs. 213-215.
Ziemer, Rodger Y. (1997). Elements of Engineering Probability & Statistics. Prentice Hall, páxs. 31-32.

Ver tamién

Marilyn vos Savant

Referencies

Enllaces esternos

Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Problema de Monty Hall.
Pa prauticar col xuegu (n'inglés)
Applet del xuegu (n'inglés)
Recreación del esperimentu de Monty Hall
Aplicación del esperimentu de Monty Hall (n'español)
Videu cola esplicación gráfica del problema (n'inglés)
Amplia esplicación del problema (n'español)
La ilóxica del Problema de Monty Hall
potru-y-los trés-pelotes-el.html del Porto y los trés pelotes Un práuticu y deportivu exemplu del problema de Monty Hall
Falcao y l'oportunidá del suplente (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). / Beckham y l'oportunidá del suplente (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). El problema de Monty Hall afechu al mundu del fútbol. Matifutbol.com

El Problema de Monty Hall na película 21 Blackjack