Taylorpolynom

Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel

Wemma a Funktion $f\colon J\to \mathbb {R}$ hod, de wej $(n+1)$-mol stetig differenzierbar is, wobei $J\subset \mathbb {R}$ a Intervall is, nachernd gült fia alle $x,a\in J$:

$f(x)=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}(x-a)^{j}+R_{n}(x)$

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

$T_{a,n}f(x)=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}(x-a)^{j}$

$R_{n}(x)$ is as Restglied, des wej ma ausrechnan kann als:

$R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\;\mathrm {d} t$

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

$f(x)=T_{a,n}f(x)+{\mathcal {O}}(x^{n+1})\quad (x\to a)$

Beweisskizze

Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang ($n=0$) is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(x)\;\mathrm {d} x$

Im Induktionsschritt ($n\to n+1$) integriert ma partiell über $R_{n+1}(x)$ und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln

Ma ko des Restglied $R_{n}(x)$ aa no anderster ogem, wej im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wej ohne Integral auskimmt:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

Do dabaa is $\xi$ a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)$

Kann hier bitte jemand das auf Deutsch übersetzen?

Mehrdimensionale Taylorpolynome

Wemma a Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ hod, de wej n-mal stetig differenzierbar is, wobei ejtz $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:

$T_{a,n}f(x)=\sum _{|p|\leq n}{\frac {D^{p}f(a)}{p!}}(x-a)^{p}$

Fia $n=2$ giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

$T_{a,2}f(x)=f(a)+\langle Df(a),x-a\rangle +{\frac {1}{2}}\langle x-a,H_{f}(a)(x-a)\rangle ,$

wobei Df d'Jakobimatrix vo f, $H_{f}$ d'Hessematrix vo f und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ as Standardskalarprodukt han.

Beispülla

oadimensional

Songma, $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto \mathrm {e} ^{\sin x}$, wüllma um an Punkt $a=\pi$ bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma ejtz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

• $f'(x)=\cos(x)\mathrm {e} ^{\sin x}$
• $f''(x)=(\cos ^{2}(x)-sin(x))\mathrm {e} ^{\sin x}$

Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt $\pi$ ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

$T_{\pi ,2}f(x)=1-(x-\pi )+{\frac {1}{2}}(x-\pi )^{2}$

mehrdimensional

Ejtz songma ma wüll $g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto \sin(x)y^{2}$ um an Punkt $a=\left({\frac {\pi }{2}},1\right)$ bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma ejtz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

• ${\frac {\partial }{\partial x}}g(x,y)=\cos(x)y^{2}$
• ${\frac {\partial }{\partial y}}g(x,y)=2\sin(x)y$
• ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(x,y)=-\sin(x)y^{2}$
• ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}g(x,y)=2\cos(x)y$
• ${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}g(x,y)=2\sin(x)$

Des hoisst fürs Taylorpolynom:

$T_{\left({\frac {\pi }{2}},1\right),1}g(x,y)=1+2(y-1)-{\frac {1}{2}}(y-1)^{2}+\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}$

Literatua

• Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.