Дзяленне

Дзяле́нне – арыфметычная аперацыя, якая выконваецца над дзвюма лікамі (дзелівам і дзельнікам) і палягае ў знаходжанні ліка, які ў выніку памнажэння з дзельнікам дасць дзеліва. Такім чынам, дзяленне – гэта аперацыя, адваротная да памнажэння.

Лік, што з’яўляецца вынікам аперацыі дзялення двух лікаў, называецца дзеллю гэтых лікаў.

Менш фармальна, сутнасць дзялення палягае ў адказе на пытанне «колькі разоў у першым паўтараецца другое?» або «колькі разоў можна ад першага адняць другое?» Неабходнасць дзялення лагічна ўзнікае тады, калі вядзецца размеркаванне колькасці па групах аднолькавага памеру. Напрыклад,

• хуткасць аўтамабіля складае 80 км/г. За які час ён пераадолее адлегласць 320 км? (Адказ: 320 : 80 = 4 гадзіны)
• на колькі дзён хопіць пачкі з 28 таблетак, калі іх прымаць па 4 на дзень? (Адказ: 28 : 4 = 7)
• колькі пар ботаў можна купіць за 450 рублёў, калі адна пара каштуе 90 рублёў? (Адказ: 450 : 90 = 5)

Дзяленне абазначаецца знакам «:», які ставіцца між дзвюма аперандамі. Напрыклад, запіс «A : B» абазначае «падзяліць A на B». Запіс «A : B = C» азначае: лік C ёсць дзеллю лікаў A і B.

У вылічальнай тэхніцы і праграмаванні распаўсюджана таксама абазначэнне аперацыі дзялення знакам «/».

Любы дроб таксама можна разглядаць як запіс аперацыі дзялення, у якой дзелівам з’яўляецца лічнік, а дзельнікам – назоўнік дробу.

Маючы на ўвазе вызначэнне дзялення,

A × B = C => C : A = B, C : B = A

Адпаведна,

A : B = C => B × C = A, A : C = B

Падзельнасць і дзяленне з астачай

Аперацыя дзялення не з'яўляецца замкнёнай на мностве натуральных лікаў. Гэта значыць, што не для кожных двух натуральных лікаў існуе натуральны лік, што з'яўляецца іх дзеллю. Калі ж для лікаў a і b такі лік усё ж існуе, то кажуць, што a дзеліцца на b, b з'яўляецца дзельнікам a або a кратнае да b. Наяўнасць дзелі для некаторых лікаў называюць іх падзельнасцю.

Праблема незамкнёнасці аперацыі дзялення вырашаецца ўвядзеннем паняцця дробу і пераходам да мноства рацыянальных лікаў.

Разглядаюць таксама аперацыі цэлалікавага дзялення і дзялення з астачай. Вынікам цэлалікавага дзялення двух натуральных лікаў з'яўляецца найбольшы з лікаў, вынік памнажэння якога на дзельнік не перавышае дзеліва. Напрыклад,

7 : 2 = 3 (бо 2 × 3 = 6, а 2 × 4 = 8 > 7)

Вынік цэлалікавага дзялення называюць таксама няпоўнай дзеллю.

Астачай ад дзялення ліка a на лік b з'яўляецца рознасць між лікам a і найбліжэйшым да яго (знізу) лікам, што дзеліцца на b. Напрыклад, астачай ад дзялення 26 на 7 з'яўляецца 5, бо найбліжэйшым да 26 (знізу) лікам, кратным да 7, з'яўляецца 21, а яно на 5 менш, чым 26.

Любы лік a можна прадставіць як qb + r, дзе q – дзель (або няпоўная дзель) ад дзялення a на b, r – астача ад гэтага дзялення. Для любой пары лікаў a і b такое прадстаўленне з'яўляецца адзіным.