Versinus i haversinus

Versinus ili obrnuti sinus je trigonometrijska funkcija koja se pojavljivala tokom ranog razvoja trigonometrije. Postoji još nekoliko srodnih funkcija i to coversinus i haversinus. Haversinus, koji predstavlja polovinu versinusa, ima izrazitu važnost kod haversinusne formule koja se koristi za navigaciju.

Jedinična kružnica sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama.

Pregled

Versinus ili obrnuti sinus je trigonometrijska funkcija koja se pojavljivala u najranijim trigonometrijskim tablicama. Piše se kao versin(θ), sinver(θ), vers(θ), ver(θ) ili siv(θ). Na latinskom, ova funkcija je poznata kao sinus versus (obrnuti sinus), versinus, versus ili sagitta (strijela).

Ova funkcija se može izraziti preko prave sinusne (t.j. "vertikalne" sinusne (sinus rectus)) i kosinusne (cosinus rectus) funkcije u obliku:

${\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$

Postoji nekoliko srodnih funkcija koje odgovaraju versinusu i to:

• Obrnuti kosinus, ili vercosinus, koji se zapisuje kao vercosin(θ), vercos(θ) ili vcs(θ)
• Koverzirani sinus, coversinus, naspramni kosinus, koji se zapisuje kao coversin(θ),covers(θ), cosiv(θ) or cvs(θ)
• Koverzirani kosinus ili covercosinus, koji se zapisuje kao covercosin(θ) or covercos(θ) or cvc(θ)

Analogno prethodnim funkcijama, postoje i još četiri funkcije iz kojih se dobija "polovična" vrijednost odgovarajuće "pune" vrijednosti neke od prethodnih funkcija:

• Haverzirani sinus, haversinus ili semiversus, koji se zapisuje kao haversin(θ), semiversin(θ), semiversinus(θ), havers(θ), hav(θ), hvs(θ), sem(θ) ili hv(θ),. Ova funkcija se najčešće koristi u haversinusnoj formuli.
• Haverzirani kosinus ili havercosinus, koji se zapisuje kao havercosin(θ), havercos(θ), hac(θ) ili hvc(θ)
• Hakoverzirani sinus, hacoversinus ili kohaversinus koji se zapisuje kao hacoversin(θ), semicoversin(θ), hacovers(θ), hacov(θ) or hcv(θ)
• Hakoverzirani kosinus, hakoverkosinus or kohavercosinus koji se zapisuje kao hacovercosin(θ), hacovercos(θ) or hcc(θ)

Historija i primjene

Versinus i koversinus

Definicija sinusa, kosinusa i versinusa ugla θ unutar jedinične kružnice, kod koje je poluprečnik jednak jedinici sa centrom u O. Ova slika također ilustrira razlog zbog kojeg se versinus nekada naziva sagitta.

Obična sinusna funkcija se nekada historijski zvala sinus rectus ("vertikalni sinus"),kako bi se razlikovala od obrnutog sinusa (sinus versus). Značenje ovih termina je očigledno kada se te funkcije posmatraju u okviru jedinične kružnice, pomoću koje su i definirane:

Za vertikalnu tetivu AB neke jedinične kružnice sinus ugla θ (koji je polovina naspramnog ugla Δ) je udaljenost AC (polovina tetive). Što se tiče obrnutog sinusa tog ugla θ, on predstavlja udaljenost CD od centra tetive do centra luka. Zbog ovoga, suma kosinusa tog ugla (koji je jednak dužini odsječka OC) i versinusa tog ugla θ je u stvari poliprečnik OD, dužine 1 jer se radi o jediničnoj kružnici. Ovako prikazano, sinus je vertikalan (odatle dolazi latinska riječ rectus, što doslovno znači "pravo") dok je versinus horizontalan (odatle dolazi latinska riječ versus, što doslovno znači "okrenuto, obrnuto").

Na slici je također ilustriran i razlog zbog kojeg se versinus nekada zove sagitta, (lat. strijela), ili na arapskom sahem što ima isto značenje. Ako se kružni odsječak ADB, kojeg stvara ugao Δ i koji je jednak 2θ, posmatra kao luk za odapinjanje strijele a tetiva AB kao njegova "struna", onda se versinus CD jasno vidi kao "drška od strijele".

Uz navedenu interpretaciju običnog sinusa kao "vertikalnog" i obrnutog sinusa kao "horizontalnog", može se zaključiti da je sagitta u stvari zastarjeli sinonim za apscisu (horizontalnu osu grafa).

1821 godine, Cauchy je koristio termine sinus versus (siv) za versinus i cosinus versus (cosiv) za coversinus.

Način konstrukcije trigonometrijskih funkcija, korištenjem jedinične kružnice kod koje je centar smješten u O.

Historijski, obrnuti sinus je bio jedna od najvažnijih trigonometrijskih funkcija.

Haversinus

Haversinus, je bio veoma bitan kod navigacije, jer se koristio u haversinusnoj formuli, koja se koristila kako bi se precizno izračunale udaljenosti u astronomiji kada bi bile poznate ugaone pozicije (npr., longituda i latituda).

1835 godine, termin haversinus (eng. haversine) (označavano kao log. haversine, log. havers. i hav.) je prvi put koristio James Inman u trećem izdanju njegovog rada "Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen" kako bi se pojednostavili proračuni udaljenosti između dvije tačke na površini Zemlje, korištenjem sferne trigonometrije u navigaciji. Inman je također koristio termine nat. versinus i nat. vers. za versinuse.

Druge bitne tablice haversinusa su napravljene od strane Richarda Farleya 1856 godine i Johna Caulfielda Hannyngtona 1876 godine.

Moderne primjene

Iako se primjena haversinusa i zadržala u navigaciji, ova trigonometrijska funkcija je pronašla i nove primjene u prethodnim decenijama, kao npr. kod Bruce D. Starkovog metoda koji se koristi kod preciziranja lunarnih udaljenosti korištenjem Gausovih logaritama ili u kompaktnijoj metodi za redukciju vidljivosti (također u navigaciji).

Jedan period (0 < θ < ${\frac {\pi }{2}}$) versinusne ili, češće, haversinuse (ili havercosinuse) talasne forme je također često korišten kod obrade signala i teorije upravljanja kod analize pulsa, zbog toga što postoji gladak prelaz (kontinualan u vrijednosti i nagibu) između nule i jedinice (za haversinus) i nakon toga ponovo u nulu. U ovakvoj primjeni, naziva se Hannova funkcija ili uzdignuti-kosninusni filter. Isto tako, havercosinus se koristi kod uzdignutih-kosinusnih distribucija u teoriji vjerovatnoće i statistici.

U formi sin²(θ) haversinus dvostrukog ugla Δ opisuje relaciju između udaljenosti stranica i uglova u racionalnoj trigonometriji, u predloženoj reformulaciji metričkih ravni i geometrije krutih objekata od strane Normana John Wildberger.

Varijante haversinusa i haverkosinusa sa dvostrukim uglovima Δ (lat. sagitta i cosagitta) su također pronašle nove primjene u opisu korelacije i antikorelacije koreliranih fotona u kvantnoj mehanici.

Matematički identiteti

Definicije funkcija

${\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$
${\textrm {vercosin}}(\theta )=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$
${\textrm {coversin}}(\theta )={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
${\textrm {covercosin}}(\theta )={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
${\textrm {haversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {havercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacoversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacovercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$

Izvodi i integrali

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}$	$\int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}$	$\int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}$	$\int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}$	$\int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C$

Inverzne funkcije

Za prethodno navedene trigonometrijske funkcije postoje i odgovarajuće inverzne funkcije:

$\operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)=\arctan \left({\frac {\sqrt {2y-y^{2}}}{1-y}}\right)\,$ (za 0 ≤ y ≤ 2)

$\operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(1+y\right)\,$

$\operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)=\arctan \left({\frac {1-y}{\sqrt {2y-y^{2}}}}\right)\,$ (za 0 ≤ y ≤ 2)

$\operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(1+y\right)\,$

$\operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arctan \left({\frac {2{\sqrt {y-y^{2}}}}{1-2y}}\right)\,$ (za 0 ≤ y ≤ 1)

$\operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)\,$

Druge osobine

Ove funkcije se mogu proširiti i na kompleksnu ravan.

Maclaurinov red za versinus i haversinus je definiran na sljedeći način:

$\operatorname {versin} (z)\,=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\,\!$

$\operatorname {haversin} (z)\,=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}$

Aproksimacije

Poređenje versinusne funkcije sa tri odgovarajuće aproksimacije versinusne funkcije za uglove koji se kreću od 0 do 2π

Poređenje versinusne funkcije sa tri odgovarajuće aproksimacije versinusne funkcije za uglove koji se kreću od 0 do π/2

Kada je versinus v manji u poređenju sa poluprečnikom r, on može biti aproksimiran dužinom polovične tetive L preko relacije:

$v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}$.

Alternativno, ako je versinus mali i ako su vrijednosti versinusa, poluprečnika, i dužine polovične tetive poznate, one se mogu koristiti za estimaciju lučne dužine s (AD u slici iznad) korištenjem:

$s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}$

Ova formula je bila poznata kineskom matematičaru Shen Kuou, dok je nakon dva vijeka bila izvedena tačnija formula koja uključuje sagittu od strane drugog kineskog matematičara Guo Shoujinga.

Još tačnija formula za aproksimaciju koja se koristi u inženjerstvu je data kao:

$v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}$

Proizvoljne krive i tetive

Termin versinus je također nekada korišten za opis devijacija od nekog pravca kod proizvoljne krive na nekoj ravni, od čega iznad navedeni krug predstavlja specijalan slučaj. Ako je dana tetiva, koja spaja neke dvije tačke na krivoj, okomita udaljenost v od tetive do krive (u tački koja je u većini slučaja tačka na središtu tetive) se naziva versinusna mjera. Za pravu liniju, versinus bilo koje tetive je nula, zbog čega ova mjera i jeste karakteristika "pravosti" krive. Kod limesa kako se dužina tetive L približava nuli, omjer ${\frac {8v}{L^{2}}}$ se sve više približava trenutačnoj zakrivljenosti. Ova primjena je veoma bitna u željezničkom prometu, gdje opisuje mjeru "pravosti" željezničkih pruga i prestavlja osnovu za Halladeov method za mjerenje pruga.

Term sagitta je na sličan način korišten u optici prilikom opisivanja površina leća i ogledala.

Također pogledajte

• Trigonometrijske funkcije
• Exsekans i exkosekans
• Versiera
• Eksponencijalne funkcije
• Logaritamske funkcije

Spoljnji linkovi

• Pegg, Jr., Ed. "Sagitta, Apothem, and Chord". The Wolfram Demonstrations Project.