Okruh (algebra)

Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy pologrupy. Navíc obě operace jsou svázány distributivitou - lze roznásobit součet. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.

Definice okruhu

Strukturu $R$ s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:

Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
Existence nulového prvku 0 vzhledem ke sčítání.
Existence opačného prvku vzhledem ke sčítání: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
Komutativita sčítání: x + y = y + x.
(Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), (y + z) · x = (y · x) + (z · x).

Vlastnosti

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů

Obor celých čísel $\scriptstyle \mathbb {Z}$
Lineární zobrazení na $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání.
Polynomy s koeficienty v $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , $\scriptstyle \mathbb {R}$ i $\scriptstyle \mathbb {C}$ .
Triviální okruh R = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1.
Artinovský okruh. Každý artinovský okruh je zároveň noetherovským okruhem, ovšem opačně to neplatí.

Podokruh

Když S je neprázdná podmnožina R, pak v okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a+b i a·b.

Odkazy

Související články

Externí odkazy