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- Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren. (de)
- In mathematics, specifically module theory, given a ring R and an R-module M with a submodule N, the module M is said to be an essential extension of N (or N is said to be an essential submodule or large submodule of M) if for every submodule H of M, implies that As a special case, an essential left ideal of R is a left ideal that is essential as a submodule of the left module RR. The left ideal has non-zero intersection with any non-zero left ideal of R. Analogously, an essential right ideal is exactly an essential submodule of the right R module RR. The usual notations for essential extensions include the following two expressions:, and The dual notion of an essential submodule is that of superfluous submodule (or small submodule). A submodule N is superfluous if for any other submodule H, implies that . The usual notations for superfluous submodules include:, and (en)
- 범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다. (ko)
- 数学、とくに加群論において、環 R と R-加群 M とその部分加群 N が与えられたとき、次の条件を満たすならば M は N の本質拡大（英: essential extension）（あるいは N は M の本質部分加群（英: essential submodule または 英: large submodule））と呼ばれる。M のすべての部分加群 H に対して H ∩ N = 0 ならば H = 0. 特別な場合として、R の本質左イデアル（英: essential left ideal）は左加群 RR の部分加群として本質的な左イデアルである。そのような左イデアルは R の任意の 0 でない左イデアルと 0 でない共通部分をもつ。同様に、本質右イデアルは右 R 加群 RR の本質部分加群のことである。 本質部分加群の一般的な表記には次の2つがある。 N ⊆e M および . 本質部分加群の双対概念は余剰部分加群である。次の条件を満たすならば N は M の余剰部分加群（英: superfluous submodule または 英: small submodule）と呼ばれる。 M のすべての部分加群 H に対して N + H = M ならば H = M. 余剰部分加群の一般的な表記には次の2つがある。 N ⊆s M および (ja)
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- Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren. (de)
- 범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다. (ko)
- 数学、とくに加群論において、環 R と R-加群 M とその部分加群 N が与えられたとき、次の条件を満たすならば M は N の本質拡大（英: essential extension）（あるいは N は M の本質部分加群（英: essential submodule または 英: large submodule））と呼ばれる。M のすべての部分加群 H に対して H ∩ N = 0 ならば H = 0. 特別な場合として、R の本質左イデアル（英: essential left ideal）は左加群 RR の部分加群として本質的な左イデアルである。そのような左イデアルは R の任意の 0 でない左イデアルと 0 でない共通部分をもつ。同様に、本質右イデアルは右 R 加群 RR の本質部分加群のことである。 本質部分加群の一般的な表記には次の2つがある。 N ⊆e M および . 本質部分加群の双対概念は余剰部分加群である。次の条件を満たすならば N は M の余剰部分加群（英: superfluous submodule または 英: small submodule）と呼ばれる。 M のすべての部分加群 H に対して N + H = M ならば H = M. 余剰部分加群の一般的な表記には次の2つがある。 N ⊆s M および (ja)
- In mathematics, specifically module theory, given a ring R and an R-module M with a submodule N, the module M is said to be an essential extension of N (or N is said to be an essential submodule or large submodule of M) if for every submodule H of M, implies that As a special case, an essential left ideal of R is a left ideal that is essential as a submodule of the left module RR. The left ideal has non-zero intersection with any non-zero left ideal of R. Analogously, an essential right ideal is exactly an essential submodule of the right R module RR., and implies that ., and (en)
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- Wesentliche Erweiterung (de)
- Essential extension (en)
- 本質拡大 (ja)
- 본질적 단사 사상 (ko)
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