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- In mathematics, a Jacobi sum is a type of character sum formed with Dirichlet characters. Simple examples would be Jacobi sums J(χ, ψ) for Dirichlet characters χ, ψ modulo a prime number p, defined by where the summation runs over all residues a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (for which neither a nor 1 − a is 0). Jacobi sums are the analogues for finite fields of the beta function. Such sums were introduced by C. G. J. Jacobi early in the nineteenth century in connection with the theory of cyclotomy. Jacobi sums J can be factored generically into products of powers of Gauss sums g. For example, when the character χψ is nontrivial, analogous to the formula for the beta function in terms of gamma functions. Since the nontrivial Gauss sums g have absolute value p1⁄2, it follows that J(χ, ψ) also has absolute value p1⁄2 when the characters χψ, χ, ψ are nontrivial. Jacobi sums J lie in smaller cyclotomic fields than do the nontrivial Gauss sums g. The summands of J(χ, ψ) for example involve no pth root of unity, but rather involve just values which lie in the cyclotomic field of (p − 1)th roots of unity. Like Gauss sums, Jacobi sums have known prime ideal factorisations in their cyclotomic fields; see Stickelberger's theorem. When χ is the Legendre symbol, In general the values of Jacobi sums occur in relation with the local zeta-functions of diagonal forms. The result on the Legendre symbol amounts to the formula p + 1 for the number of points on a conic section that is a projective line over the field of p elements. A paper of André Weil from 1949 very much revived the subject. Indeed, through the Hasse–Davenport relation of the late 20th century, the formal properties of powers of Gauss sums had become current once more. As well as pointing out the possibility of writing down local zeta-functions for diagonal hypersurfaces by means of general Jacobi sums, Weil (1952) demonstrated the properties of Jacobi sums as Hecke characters. This was to become important once the complex multiplication of abelian varieties became established. The Hecke characters in question were exactly those one needs to express the Hasse–Weil L-functions of the Fermat curves, for example. The exact conductors of these characters, a question Weil had left open, were determined in later work. (en)
- 数学におけるヤコビ和（ヤコビわ、英: Jacobi sum）とは、ディリクレ指標によって形成されるある種ののことを言う。簡単な例として、ある素数 p を法とする二つのディリクレ指標 、 に対するヤコビ和 は、次のように定義される。 ここで和は p を法とする全ての剰余 a = 2, 3, ..., p − 1 についてなされる（したがって a と 1 − a のいずれも 0 とならない）。ヤコビ和はベータ関数の有限体における類似物である。このような和は円分の理論との関連で19世紀初頭にヤコビによって導入された。ヤコビ和は一般に、ガウス和 の冪乗の積へと分解できる。例えば、指標 が非自明であるとき、 となるが、これはガンマ関数についてのベータ関数の公式と似たものである。非自明なガウス和 の絶対値は p1/2 であるため、指標 が非自明であるなら、 の絶対値もまた p1/2 となる。ヤコビ和 J は、非自明なガウス和 が属する円分体よりも小さい円分体に属する。例えば の被加数には 1の p 乗根は含まれないが、1 の (p − 1)-乗根の円分体に属する値が含まれる。ガウス和のように、ヤコビ和は円分体における素イデアル分解がわかっている。このことについてはを参照されたい。 がルジャンドル記号である時は、 となる。一般にヤコビ和の値は、の局所ゼータ関数との関連で現れる。ルジャンドル記号に関するヤコビ和の結果は、p 個の元からなる有限体上の射影直線である円錐断面上の点の数 p + 1 に対する公式を導く。1949年のアンドレ・ヴェイユの論文は、この議論に再び多くの注目を集めるものであった。実際、20世紀後半のハッセ＝ダベンポートの関係により、ガウス和の冪の性質は再び現代的な話題となっている。 一般のヤコビ和による対角超曲面に対して局所ゼータ関数を記述できる可能性を指摘するとともに、Weil (1952) はヤコビ和のヘッケ指標としての性質を示した。これはアーベル多様体の虚数乗法が確立されるとともに、重要な概念となった。問題におけるヘッケ指標は、例えばのハッセ・ヴェイユのゼータ函数を表現する際に必要となるものであった。それらの指標の導手については、Weil によって未解決問題とされていたが、後の研究によってそれらは決定された。 (ja)
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- In mathematics, a Jacobi sum is a type of character sum formed with Dirichlet characters. Simple examples would be Jacobi sums J(χ, ψ) for Dirichlet characters χ, ψ modulo a prime number p, defined by where the summation runs over all residues a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (for which neither a nor 1 − a is 0). Jacobi sums are the analogues for finite fields of the beta function. Such sums were introduced by C. G. J. Jacobi early in the nineteenth century in connection with the theory of cyclotomy. Jacobi sums J can be factored generically into products of powers of Gauss sums g. For example, when the character χψ is nontrivial, (en)
- 数学におけるヤコビ和（ヤコビわ、英: Jacobi sum）とは、ディリクレ指標によって形成されるある種ののことを言う。簡単な例として、ある素数 p を法とする二つのディリクレ指標 、 に対するヤコビ和 は、次のように定義される。 ここで和は p を法とする全ての剰余 a = 2, 3, ..., p − 1 についてなされる（したがって a と 1 − a のいずれも 0 とならない）。ヤコビ和はベータ関数の有限体における類似物である。このような和は円分の理論との関連で19世紀初頭にヤコビによって導入された。ヤコビ和は一般に、ガウス和 の冪乗の積へと分解できる。例えば、指標 が非自明であるとき、 となるが、これはガンマ関数についてのベータ関数の公式と似たものである。非自明なガウス和 の絶対値は p1/2 であるため、指標 が非自明であるなら、 の絶対値もまた p1/2 となる。ヤコビ和 J は、非自明なガウス和 が属する円分体よりも小さい円分体に属する。例えば の被加数には 1の p 乗根は含まれないが、1 の (p − 1)-乗根の円分体に属する値が含まれる。ガウス和のように、ヤコビ和は円分体における素イデアル分解がわかっている。このことについてはを参照されたい。 (ja)
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