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- Les àlgebres no associatives són àlgebres aplicades específicament a estructures matemàtiques (com cossos o anells) en les quals la propietat associativa no està ben definida o, directament, no es compleix. És a dir, que sigui un operador de producte, les operacions següents no tenen el mateix resultat. i Per posar un exemple numèric, en una àlgebra no associativa que operi sobre els reals, les expressions i tindrien resultats diferents. Alguns exemples coneguts d'àlgebres no associatives són els octonions (una extensió dels quaternions) i les anomenades Les estructures sobre les quals operen àlgebres no associatives són anomenades, anàlogament, estructures no associatives. El fet que una estructura algebraica sigui no associativa no impedeix que pugui ser commutativa o, fins i tot, distributiva, però sí que pot impedir l'existència d'elements neutres absoluts. (ca)
- Las álgebras no asociativas son álgebras que aplican específicamente a estructuras matemáticas (como cuerpos u anillos) en las cuales la propiedad de asociatividad no se define o no tienen por qué cumplirse, es decir: las operaciones y no tienen necesariamente el mismo resultado, para un operador de producto . Por ejemplo, en un álgebra no asociativa que operara sobre los reales, las expresiones y tendrían diferentes resultados. Las estructuras en las cuales operan álgebras no asociativas son llamadas análogamente estructuras no asociativas. El hecho que una estructura algebraica sea no asociativa, no impide que pueda ser conmutativa, o incluso, distributiva, pero sí puede impedir la existencia de elementos neutros absolutos. Un ejemplo comúnmente usado actualmente de álgebras no asociativas es la de los octoniones (una extensión de los cuaterniones). Otro ejemplo son las . Los cuerpos o estructuras algebraicas que operan en forma no asociativa reciben actualmente poca atención respecto de aquellos que respetan la propiedad asociativa. (es)
- A non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation. Since it is not assumed that the multiplication is associative, using parentheses to indicate the order of multiplications is necessary. For example, the expressions (ab)(cd), (a(bc))d and a(b(cd)) may all yield different answers. While this use of non-associative means that associativity is not assumed, it does not mean that associativity is disallowed. In other words, "non-associative" means "not necessarily associative", just as "noncommutative" means "not necessarily commutative" for noncommutative rings. An algebra is unital or unitary if it has an identity element e with ex = x = xe for all x in the algebra. For example, the octonions are unital, but Lie algebras never are. The nonassociative algebra structure of A may be studied by associating it with other associative algebras which are subalgebras of the full algebra of K-endomorphisms of A as a K-vector space. Two such are the derivation algebra and the (associative) enveloping algebra, the latter being in a sense "the smallest associative algebra containing A". More generally, some authors consider the concept of a non-associative algebra over a commutative ring R: An R-module equipped with an R-bilinear binary multiplication operation. If a structure obeys all of the ring axioms apart from associativity (for example, any R-algebra), then it is naturally a -algebra, so some authors refer to non-associative -algebras as non-associative rings. (en)
- Sebuah aljabar non-asosiatif (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai . Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner -K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, , oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi . Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda. Meskipun penggunaan "non-asosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "non-asosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk . Aljabar adalah atau uniter jika memiliki elemen identitas e dengan ex = x = xe untuk semua x dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, namun aljabar Lie bukan unital. Struktur aljabar nonasosiatif dari A dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh -K pada A sebagai ruang vektor K. Dua seperti itu adalah dan (asosiatif) aljabar menyelubungi, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil A". Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar non-asosiatif atas gelanggang komutatif R: Sebuah modul-R kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-R. Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar R), maka secara alami adalah sebuah aljabar-, jadi beberapa penulis menyebut aljabar- non-asosiatif sebagai gelanggang non-asosiatif. (in)
- 数学における分配多元環（ぶんぱいたげんかん、英: distributive algebra）または非結合多元環（ひけつごうたげんかん、英: non-associative algebra）は、体（または可換環）K 上の線型空間（あるいは一般に加群）A であって、さらにその上のK-双線型写像 A × A → A が存在して A 上に乗法演算（中置的二項演算）を定めるものを言う。いま、乗法の結合性については全く仮定しないので、乗法を行う順番については丸括弧などを用いて指定することが非常に重要になる。例えば (ab)(cd) や (a(bc))d あるいは a(b(cd)) などは異なる値を取り得る。 ここで、結合性を仮定しないことを以って「非結合的」という言い方をするけれども、それは結合律が成立しないことを意味するものではない。言ってみれば、「非結合的」という修飾辞は「必ずしも結合的でない」という意味であって、これは非可換環が「必ずしも可換でない」という意味で「非可換」を冠しているのとまさに同じである。 A の元を左または右から掛けるという操作は、A の K-線型変換 を引き起こす（La および Ra をそれぞれ a による左移動および右移動作用と呼ぶ）。分配多元環 A の包絡環 (enveloping algebra) とは、A の自己準同型環の部分環で、A の左移動および右移動によって生成されるものを言う。この包絡環は、A が結合的でない場合でも、必ず結合的になる。この意味で、包絡環は「A を含む最小の結合多元環」である。 多元環が単型あるいは単位的 (unital, unitary) であるとは、それが乗法単位元（Ix = x = xI がその多元環のどんな x についても成立するような元 I）が存在するときに言う。 (ja)
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| rdfs:comment
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- Les àlgebres no associatives són àlgebres aplicades específicament a estructures matemàtiques (com cossos o anells) en les quals la propietat associativa no està ben definida o, directament, no es compleix. És a dir, que sigui un operador de producte, les operacions següents no tenen el mateix resultat. i Per posar un exemple numèric, en una àlgebra no associativa que operi sobre els reals, les expressions i tindrien resultats diferents. Alguns exemples coneguts d'àlgebres no associatives són els octonions (una extensió dels quaternions) i les anomenades (ca)
- Las álgebras no asociativas son álgebras que aplican específicamente a estructuras matemáticas (como cuerpos u anillos) en las cuales la propiedad de asociatividad no se define o no tienen por qué cumplirse, es decir: las operaciones y no tienen necesariamente el mismo resultado, para un operador de producto . Por ejemplo, en un álgebra no asociativa que operara sobre los reales, las expresiones y tendrían diferentes resultados. Las estructuras en las cuales operan álgebras no asociativas son llamadas análogamente estructuras no asociativas. Otro ejemplo son las . (es)
- A non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation. Since it is not assumed that the multiplication is associative, using parentheses to indicate the order of multiplications is necessary. For example, the expressions (ab)(cd), (a(bc))d and a(b(cd)) may all yield different answers. (en)
- Sebuah aljabar non-asosiatif (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai . Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner -K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, , oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi . Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda. (in)
- 数学における分配多元環（ぶんぱいたげんかん、英: distributive algebra）または非結合多元環（ひけつごうたげんかん、英: non-associative algebra）は、体（または可換環）K 上の線型空間（あるいは一般に加群）A であって、さらにその上のK-双線型写像 A × A → A が存在して A 上に乗法演算（中置的二項演算）を定めるものを言う。いま、乗法の結合性については全く仮定しないので、乗法を行う順番については丸括弧などを用いて指定することが非常に重要になる。例えば (ab)(cd) や (a(bc))d あるいは a(b(cd)) などは異なる値を取り得る。 ここで、結合性を仮定しないことを以って「非結合的」という言い方をするけれども、それは結合律が成立しないことを意味するものではない。言ってみれば、「非結合的」という修飾辞は「必ずしも結合的でない」という意味であって、これは非可換環が「必ずしも可換でない」という意味で「非可換」を冠しているのとまさに同じである。 A の元を左または右から掛けるという操作は、A の K-線型変換 多元環が単型あるいは単位的 (unital, unitary) であるとは、それが乗法単位元（Ix = x = xI がその多元環のどんな x についても成立するような元 I）が存在するときに言う。 (ja)
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