Ikosaederstumpf

Polyeder aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken

Der Ikosaederstumpf (auch Fußballkörper genannt) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Körpern zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige Fünfecke; die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmäßigen Sechsecken. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.

Polyeder
Ikosaederstumpf
3D-Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders (Animation)
3D-Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders (Animation)
Anzahl der Seitenflächen 32
Art der Seitenflächen 12 ×
20 ×
Anzahl Ecken 60
Art der Ecken 60 × {5.6.6}
Anzahl Kanten 90
Schläfli-Symbol
dual zu Pentakisdodekaeder
Körpernetz eines Ikosaederstumpfs
Körpernetz eines Ikosaederstumpfs
Fußball: Projektion der Flächen eines Ikosaederstumpfes auf die Kugeloberfläche
Das erste bekannte Bild eines Ikosaederstumpfs stammt aus Piero della Francescas Buch Libellus de quinque corporibus regularibus (ca. 1460).

Beim regelmäßigen Ikosaederstumpf, also dem Fußballkörper, sind alle 90 Kanten gleich lang.

Der zum Ikosaederstumpf duale Körper ist das Pentakisdodekaeder.

Das mit Abstand am besten untersuchte Fullerenmolekül C60 besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes.

Größen eines regelmäßigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlänge  
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Umkugelradius  
1. Inkugelradius
 (Pentagon)
 
2. Inkugelradius
 (Hexagon)
 
Kantenkugelradius  
1. Flächenwinkel
 (Hexagon–Hexagon)
 ≈ 138° 11′ 23″
 
2. Flächenwinkel
 (Hexagon–Pentagon)
 ≈ 142° 37′ 21″
 
Eckenraumwinkel
 ≈ 1,3524 π
 
Sphärizität
 ≈ 0,96662
 

Herleitung der Formeln

Bearbeiten
 
Ikosaeder
 
Entstehung eines Ikosaederstumpfes durch Beschneiden eines Ikosaeders (jede Kante wird um 2/3 gekürzt)
 
Ein Ikosaederstumpf besteht aus 20 Sechs- und 12 Fünfecken
 
Zur Berechnung von Eigenschaften, oben Ikosaeder, lila: Sechseck, rot: Fünfeck
 
Drahtgittermodell eines Ikosaederstumpfs

Der Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet   die Länge der Kante des Ikosaeders und   die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt

 

Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel   wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)

 

und damit gilt: Der

  • Winkel zwischen zwei Sechsecken ist
 
 

Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel   wichtig. Es gilt (siehe Bild)

 

Es gilt mit   als Goldener Schnitt

 

Der

  • Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist
 
 
  (siehe Formelsammlung)
 

Für den Raumwinkel folgt aus der Ebenen-Formel

 
  • Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also
 

Kugelradien

Bearbeiten

Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von   erhält man

  •  .

Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung

 

Also ist der

  • Umkugelradius  

Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:

 

Mit   ergibt sich für den

  • Inkugelradius  

Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt   mit der Steigung   vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist

 

Mit   ergibt sich

 

Mit der Hesseschen Normalform folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt

 

Also ist der

  • Inkugelradius für Fünfecke  .

Oberfläche, Volumen

Bearbeiten

Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche   eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche   eines regelmäßigen Fünfecks. Mit

 

ist die

  • Oberfläche des Ikosaederstumpfs
 

Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und   als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und   als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich

 
 

Mit   ist

  und damit
 

Anwendungsbeispiele

Bearbeiten
Bearbeiten
Commons: Ikosaederstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Ikosaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen