Beweisarchiv: Geometrie
Schwerpunktsätze von Leibniz Planimetrie
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affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen
Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}
C
{\displaystyle C}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
Da
A
M
¯
=
C
M
¯
=
B
M
¯
=
r
{\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {CM}}={\overline {BM}}=r}
△
A
M
C
{\displaystyle \bigtriangleup {AMC}}
△
C
M
B
{\displaystyle \bigtriangleup {CMB}}
(1)
α
1
=
γ
1
{\displaystyle \alpha _{1}=\gamma _{1}\,}
und
(2)
β
2
=
γ
2
{\displaystyle \beta _{2}=\gamma _{2}\,}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}
(3)
α
1
+
β
2
+
γ
1
+
γ
2
=
180
∘
{\displaystyle \alpha _{1}+\beta _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,}
(1) (2)
(3.1)
γ
1
+
γ
2
+
γ
1
+
γ
2
=
180
∘
{\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,}
(3.2)
2
γ
1
+
2
γ
2
=
180
∘
{\displaystyle 2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=180^{\circ }\,}
(3.3)
2
(
γ
1
+
γ
2
)
=
180
∘
{\displaystyle 2(\gamma _{1}+\gamma _{2})=180^{\circ }\,}
(3.4)
γ
1
+
γ
2
=
90
∘
{\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=90^{\circ }\,}
(3.5)
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }\,}
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle C}
Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel
Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt
M
{\displaystyle M}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
x -Achse befindet. Nun ist
b
→
:=
M
B
→
=
(
r
0
)
{\displaystyle {\vec {b}}:={\overrightarrow {MB}}={\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}}}
a
→
:=
M
A
→
=
−
b
→
.
{\displaystyle {\vec {a}}:={\overrightarrow {MA}}=-{\vec {b}}.}
Außerdem ist
c
→
:=
M
C
→
=
(
r
cos
δ
2
r
sin
δ
2
)
,
{\displaystyle {\vec {c}}:={\overrightarrow {MC}}={\begin{pmatrix}r\cos \delta _{2}\\r\sin \delta _{2}\end{pmatrix}},}
wobei der Winkel
δ
2
{\displaystyle \delta _{2}}
c
→
−
a
→
{\displaystyle {\vec {c}}-{\vec {a}}}
c
→
−
b
→
{\displaystyle {\vec {c}}-{\vec {b}}}
⟨
c
→
−
a
→
,
c
→
−
b
→
⟩
=
0
{\displaystyle \langle {\vec {c}}-{\vec {a}},{\vec {c}}-{\vec {b}}\rangle =0}
Es ergibt sich nun:
⟨
c
→
−
a
→
,
c
→
−
b
→
⟩
=
⟨
c
→
,
c
→
⟩
−
⟨
c
→
,
a
→
⟩
−
⟨
c
→
,
b
→
⟩
+
⟨
a
→
,
b
→
⟩
=
|
c
→
|
2
−
⟨
c
→
,
a
→
⟩
+
⟨
c
→
,
a
→
⟩
−
|
a
→
|
2
=
(
cos
2
δ
2
+
sin
2
δ
2
)
r
2
−
r
2
=
r
2
−
r
2
=
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\vec {c}}-{\vec {a}},{\vec {c}}-{\vec {b}}\rangle =\langle {\vec {c}},{\vec {c}}\rangle -\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle -\langle {\vec {c}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle \\&=|{\vec {c}}|^{2}-\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle +\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle -|{\vec {a}}|^{2}\\&=(\cos ^{2}\delta _{2}+\sin ^{2}\delta _{2})\,r^{2}-r^{2}=r^{2}-r^{2}=0,\end{aligned}}}
wobei
cos
2
δ
2
+
sin
2
δ
2
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\delta _{2}+\sin ^{2}\delta _{2}=1}
ausgenutzt wurde.
q.e.d.
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