MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Differentialrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2? $b(v)=7\ v^{5}\quad$ $x(y)=y^{9}\quad$ $f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$ Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4. $\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$ $\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$ $\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Einheiten der Ableitung

Ableitung und Grenzwerten

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung der Funktion $y=ax^{4}$!

Ableitung von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2? $b(v)=7\ v^{5}\quad$ $x(y)=y^{9}\quad$ $f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $a(c)=b\ \left({\frac {1}{c}}\right)^{d}$ $v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad$ $f(x)={\frac {5}{x^{5}}}\quad$

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}$ $H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {27}{x^{7}}}}$ $m(n)={\sqrt[{5}]{\frac {3125}{n^{15}}}}$

Ableitungen von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4. $\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$ $\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$ $\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Weitere Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion $g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}$ (Mit Lösungsschritte!)

Die Kettenregel

Die Produktregel

Die Quotientenregel

Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Kurvendiskussion

Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^{2}\sin b+1$ im Intervall $]-4;4[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Kurvendiskussion Umkehraufgaben

Temperatur (°C): $4$ $5$ $1$ Höhe (dm): $\ \ 3\ \$ $\ \ 3{,}4\ \$ $\ \ 0\ \$ In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion. Die nebenan im Intervall [6;8] als s abgebildete Funktion 2. Grades führt am Punkt (6|4) knickfrei zur entsprechenden Ebene und hat die Nullstelle 8. Wie lautet die Funktion?