Benutzer:Samuel Adrian Antz/Drafts

Geplante oder begonnene Erstellung, Übersetzung oder starke Ausarbeitung

Mathematik

• Algebraische Topologie: Homotopietheorie, Homotopiegruppen von Sphären, Satz von Hurewicz
• Differentialgeometrie: Banach-Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Mannigfaltigkeiten, Nash-Moser-Umkehrsatz, Bündelmetrik
• Differentialtopologie: Exotische euklidische Räume, Exotische Sphären, Milnor-Sphäre

Science-Fiction

• Asiatische Science-Fiction-Filme und Serien: Three-Body, Three-Body Animation, Shanghai Fortress, Warriors of Future, Jung_E, The Silent Sea, Crazy Alien
• Sammlungen chinesischer Kurzgeschichten: Hold Up The Sky, Invisible Planets
• Romane von Andy Weir: Artemis
• Sonstige Romane: Die Kolonie, Die letzte Astronautin

Fehlt noch und könnte erledigt werden

Whitehead-Produkt, Generalisiertes Whitehead-Produkt, Poincaré-Homologiesphäre, Homotopiesphäre, Unitäre Transformation (Quantenmechanik), Hopf-Invariante, J-Homomorphismus, Holomorphe Kurve, Gray-Vermutung, Wu-Mannigfaltigkeit, Kohomotopie, Steenrod-Problem, Eckmann–Hilton-Argument, Hantzsche–Wendt-Mannigfaltigkeit, Garding-Ungleichung

Kurzgeschichtensammlungen

Dark Integers and Other Stories (englisch für Dunkle Zahlen und weitere Geschichten) ist eine Sammlung von Science-Fiction-Kurzgeschichten des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Kurzgeschichten

• Luminous (auf Deutsch erschienen als Lichtborn)
• Riding the Crocodile
• Dark Integers
• Glory
• Oceanic (auf Deutsch erschienen als Ozeanisch)

Weblinks

• Dark Integers and Other Stories in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Auf der Webseite von Greg Egan sind verfügbar (englisch):

• Riding the Crocodile
• Oceanic

Crystal Nights and Other Stories (englisch für Kristallene Nächte und weitere Geschichten) ist eine Sammlung von Science-Fiction-Kurzgeschichten des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Kurzgeschichten

• Lost Continent
• Crystal Nights
• Steve Fever
• TAP
• Induction
• Singleton
• Oracle (auf Deutsch erschienen als Orakel)
• Border Guards
• Hot Rock

Weblinks

• Crystal Nights and Other Stories in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Auf der Webseite von Greg Egan sind verfügbar (englisch):

• Crystal Nights
• Singleton
• Oracle
• Boarder Guards

Oceanic (englisch für Ozeanisch) ist eine Sammlung von Science-Fiction-Kurzgeschichten des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Kurzgeschichten

• Lost Continent
• Dark Integers
• Crystal Nights
• Steve Fever
• Induction
• Singleton
• Oracle (auf Deutsch erschienen als Orakel)
• Border Guards
• Riding the Crocodile
• Glory
• Hot Rock
• Oceanic (auf Deutsch erschienen als Ozeanisch)

Weblinks

• Oceanic in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Auf der Webseite von Greg Egan sind verfügbar (englisch):

• Crystal Nights
• Singleton
• Oracle
• Boarder Guards
• Riding the Crocodile
• Oceanic

Axiomatic (englisch für Axiomatisch) ist eine Sammlung von Science-Fiction-Kurzgeschichten des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Kurzgeschichten

• The Infinite Assassin: Mithilfe einer Droge ist der Wechsel zwischen verschiedenen Universen möglich, was die Mission eines Attentäters verkompliziert.
• The Hundred Light-Year Diary: Nach Entdeckung einer zeitinvertierten Galaxie können Nachrichten aus der Zukunft empfangen werden, doch es gibt keine Garantie für ihren Wahrheitsgehalt.
• Eugene: Ein unfruchtbares Ehepaar plant mithilfe der Gentechnik die Erschaffung eines perfekten Kindes, doch das Experiment läuft anders als erwartet.
• The Caress: An einem Tatort wird eine Chimära, ein Mischwesen aus Mensch und Leopard, gefunden und ihre Herkunft von der Polizei untersucht.
• Blood Sisters (auf Deutsch erschienen als Blutschwestern): Nach gleicher Erkrankung und Behandlung zweier Zwillinge stirbt nur eine und die andere sucht mit allen Mitteln nach dem Grund dafür.
• Axiomatic (auf Deutsch erschienen als Axiomatisch): Ein Witwer kauft ein spezielles Implantat, um seinen moralischen Kompass zu blockieren und dadurch den Mord seiner Frau zu rächen.
• The Safe-Deposit Box (auf Deutsch erschienen als Ein zugriffssicheres Schließfach): Ein Mann wacht jeden Tag in einem neuen Körper auf, auf der Suche nach einem Sinn in seinem Leben.
• Seeing: Nach einer Verletzung am Gehirn durch einen Schuss sieht sich ein Mann fortan in einer außerkörperlichen Erfahrung von oben.
• A Kidnapping: Nachdem eine digitale Kopie des Gehirns seiner Frau entwendet wurde, aber sie selbst unbeschadet ist, reflektiert ein Mann darüber nach, den Forderungen nachzukommen.
• Learning to be me (auf Deutsch erschienen als Der andere in meinem Kopf): In der Zukunft können menschliche Gehirne durch Computer ersetzt werden, doch es ist
• The Moat: Bei der Untersuchung einer Vergewaltigung stellt sich heraus, dass das gefundene Sperma unsichtbar für genetische Tests ist.
• The Walk: Vor seiner eigenen Hinrichtung akzeptiert das Opfer vom Henker eine mentale Manipulation zur Verarbeitung des bevorstehenden Todes.
• The Cutie: Ein einsamer Mann mit dem Wunsch danach, Vater zu werden, lässt sich mit einem nicht komplett als Mensch geltendem Kind mit reduzierten geistigen Fähigkeiten und einer Lebensspanne von vier Jahren schwängern und überdenkt seine Beziehung zu diesem.
• Into Darkness: Ein Wurmloch unbekannten Ursprungs taucht zufällig auf der Erdoberfläche auf und fordert die Rettung der darin gefangenen Menschen.
• Appropriate Love (auf Deutsch erschienen als Wahre Liebe): Nach einem verheerenden Autounfall muss eine Frau das Gehirn ihres Mannes zwei Jahre lang in ihrer Gebärmutter aufbewahren, während ein neuer Körper für ihn geklont wird.
• The Moral Virologist (auf Deutsch erschienen als Der moralische Virologe): Ein fundamentaler Christ schlägt eine Laufbahn als Virologe ein, mit dem Ziel ein spezielles Virus zu entwickeln, um sexuelle Unsittlichkeit durch den Tod zu bestrafen, doch macht dabei einen Fehler.
• Closer: Auf der Suche nach mehr Verständnis füreinander kombiniert ein Paar sowohl Körper und Geist miteinander, um temporär ein einziger Mensch zu werden.
• Unstable Orbits in the Space of Lies: Durch ein unerklärliches Ereignis nehmen Menschen die Überzeugungen ihrer Mitmenschen an, wodurch klare Grenzen in Kultur und Religion entstehen.

Weblinks

• The Moral Virologist auf der Webseite von Greg Egan (englisch)

Luminous (englisch für Leuchtend) ist eine Sammlung von Science-Fiction-Kurzgeschichten des australischen Schriftstellers Greg Egan.

Kurzgeschichten

• Chaff
• Mitochonrial Eve
• Luminous (auf Deutsch erschienen als Lichtborn)
• Mister Volition
• Cocoon
• Transition Dreams
• Silver Fire
• Reasons to be Cheerful (auf Deutsch erschienen als Gute Gründe, fröhlich zu sein)
• Our Lady of Chernobly
• The Planck Dive (auf Deutsch erschienen als Der Planck-Sprung)

Weblinks

• The Planck Dive auf der Webseite von Greg Egan (englisch)

Kurzgeschichten von Greg Egan

Der andere in meinem Kopf (im Original Learning to be me) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht in Interzone 37 im Juli 1990. Später wurde die Kurzgeschichte in der Anthologie Axiomatic veröffentlicht.

Handlung

In der Zukunft wird jedem Menschen das Ndoli-Gerät (umgangssprachlich auch „Jewel“ genannt) in ihr Gehirn implantiert. Es zeichnet jeden einzelnen Gedanken und jede einzelne Handlung auf, um ihr Bewusstsein zu kopieren, also zu lernen wie sie zu sein. Zu einem frei gewählten Zeitpunkt, von den meisten Menschen während ihrer Zwanziger, wenn das Gehirn am leistungsstärksten ist, wird dieses entnommen (ein Prozess, der „Tausch“ genannt wird) und durch ein schwammartiges Objekt ersetzt, welches ohne Funktion ist, aber die gleichen Nährstoffe aufnimmt, sodass der Körper nicht aus dem Gleichgewicht gestoßen wird. Der Jewel und dadurch das kopierte Bewusstsein übernehmen anschließend den Körper. Während viele Menschen den Tausch als völlig unproblematisch sehen und danach behaupten, immer noch sie selbst zu sein, befürchten einige ihren Tod bei dem Tausch und dass der Jewel sie bloß perfekt imitieren kann.

XXXX und seine Freundin XXXX wollen gemeinsam durch den Tausch gehen. XXXX ersucht Rat bei einer Psychologin, welche immer noch nicht durch den Tausch gegangen ist und es sogar ihr ganzes restliches Leben lang nicht plant. XXXX flieht jedoch aus Angst im letzten Moment aus dem Krankenhaus, während XXXX alleine durch den Tausch geht und ihm später erzählt, wie einfach es war. XXXX bemerkt beim Onlineshopping, dass seine Arme plötzlich nicht mehr seinen Intentionen folgen, sondern komplett andere Dinge tun. Erst befürchtet er, dass der Jewel die Kontrolle über seinen Körper übernommen hat, was nicht möglich sein sollte, da dieser lediglich beobachten kann, erkannt aber letztendlich der Jewel zu sein, welcher Bewusstsein erlangt hat. Das führt für ihn zu einem Perspektivenwechsel, denn ohne den Tausch würde er in seinem eigenen Körper gefangen bleiben.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde auf Italienisch (1993), Japanisch (1995), Französisch (1995), Deutsch (2002) und Spanisch (2006) übersetzt.

Hintergrund

Das Ndoli-Gerät/der Jewel taucht ebenfalls in den Kurzgeschichten Closer (1992) und Border Guards (1999) von Greg Egan auf.

Kritik

Karen Burnham schreibt in der New York Review of Science Fiction, dass die Kurzgeschichte ein „sofortiger Klassiker“ („instant classic“) sei.

Weblinks

• Learning to be me in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Border Guards (englisch für Grenzwächter) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, XXXX.

Handlung

In der Stadt Noether in einem Universum von der Form eines 3-Torus spielen Jamal und Margit das Spiel Quantenfußball, für welches das Feld durch einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden und der Ball durch eine Wellenfunktion ersetzt wird. Durch die Verschiebung von Energien zwischen den Moden mit verschiedenen Frequenzen versuchen die Spieler die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Tor des gegnerischen Teams zu erhöhen. Das Team von Jamal verliert gegen das Team von Margit und danach reden beide. Jamal, welcher die Kategorie der komplexen Darstellungen von Lie-Gruppen studiert, da Emmy Noether eine Pionierin der Gruppentheorie war, ist nur daran interessiert, mehr zu lernen und nicht neues zu entdecken. Margit entgegnet jedoch, genau das getan zu haben. Jamal vermutet erst, dass Margit tatsächlich Ndoli ist, der nigerianische Neurobiologie, welcher den Jewel erfunden hat, ein Gerät zur digitalen Aufnahme eines Gehirns und dadurch die Grenze zwischen Leben und Tod überschreitet, oder mit ihm gearbeitet hat. Doch Margit enthüllt, hinter der Entdeckung der neuen Territorien wie ihren Universum zu stecken und nun deren Grenzen zu hüten. Jamal überredet all ihre Freunde vom Quantenfußball, ihr dabei zu helfen, sodass sie endlich einmal mit ihnen zusammen im Fluss schwimmen gehen kann.

Weblinks

• Border Guards in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Draft: Plancksche Relation

Die Plancksche Relation (auch Plancksche Energie-Frequenz-Relation, Planck-Einstein-Relation, Planck-Gleichung oder Planck-Formel) ist ein fundamentaler Zusammenhang aus der Quantenmechanik. mit welcher diese im Jahr 1900 von Max Planck begründet wurde. Gemäß der Planckschen Relation ist die Energie E eines Photons über das Plancksche Wirkungsquantum h mit dessen Frequenz v verbunden durch:

Häufig wird auch eine Umformulierung mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum und der Kreisfrequenz angegeben:

Die Plancksche Relation wurde von Max Planck bei der Betrachtung der Schwarzkörperstrahlung zur Vermeidung von Divergenzen postuliert, wobei das Symbol h für Hilfsgröße stand. Später zeigte sich die Bedeutung ebenfalls bei der Erklärung weiterer Phänomene, wie etwa dem photoelektrischen Effekt durch Albert Einstein im Jahr 1905 (ausgezeichnet mit dem Nobelpreis für Physik im Jahr 1921).

Draft: Eddington-Experiment

Das Eddington-Experiment

Draft: Eddington-Zahl

Die Eddington-Zahl gibt in der Astrophysik die Anzahl der Protonen im beobachtbaren Universum an.

Draft: Ein-Elektron-Universum

Das Ein-Elektron-Universum ist eine Hypothese, gemäß der sämtliche Elektronen und Positronen in Wahrheit nur ein einziges Objekt seien, welches sich sowohl vorwärts als auch rückwärts in der Zeit bewegt. Die Idee wurde im Frühling 1940 von John Wheeler in einem Telefonat mit Richard Feynman vorgeschlagen.

Draft: LessWrong

LessWrong ist ein öffentlicher Blog und Forum zur Diskussion von kognitiver Verzerrung, Philosphie, Psychologie, Wirtschaft, Rationalität und künstliche Intelligenz sowie weiteren verwandten Themen. LessWrong erlangte vor allem Bekanntheit durch die dort entstandene Überlegung von Rokos Basilisk.

Geschichte

LessWrong entstand aus dem früheren Blog

Neoreaktion

Die neoreaktionäre Bewegung wuchs zuerst auf LessWrong und zog viele Benutzer von der Seite der Eugenik und evolutionären Psychologie an. Yudkowsky lehnte die Neoreaktion stark ab. In einer Umfrage auf LessWrong aus dem Jahr 2016 identifizierten sich 28 von 3060 Benutzer (0,92 %) als „neoreaktionär“.

Effektiver Altruismus

LessWrong played a significant role in the development of the effective altruism (EA) movement, and the two communities are closely intertwined. In a survey of LessWrong users in 2016, 664 out of 3,060 respondents, or 21.7%, identified as "effective altruists". A separate survey of effective altruists in 2014 revealed that 31% of respondents had first heard of EA through LessWrong, though that number had fallen to 8.2% by 2020. Two early proponents of effective altruism, Toby Ord and William MacAskill, met transhumanist philosopher Nick Bostrom at Oxford University. Bostrom's research influenced many effective altruists to work on existential risk reduction.

Weblinks

• LessWrong

Einzelnachweise

[[Kategorie:Webforum]]

[[Kategorie:Gergründet 2009]]

Draft: Quarantine

Quarantine (auf Deutsch auch Quarantäne) ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe erschien XXXX. Die deutsche Ausgabe erschien XXXX. Der Roman beschreibt XXXX.

Handlung

Hintergrund (Literatur)

Der Roman war für den japanischen Seiun-Preis im Jahr 2000 nominiert gewesen.

Kritik

Weblinks

• Offizielle Webseite
• Quarantine in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Ausschnitt aus Quarantine (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Draft: Teranesia

Teranesia ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe erschien XXXX. Die deutsche Ausgabe erschien XXXX. Der Roman beschreibt XXXX.

Handlung

Kritik

Weblinks

• Offizielle Webseite
• Teranesia in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Ausschnitt aus Teranesia (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Draft: Incandescence

Incandescence ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe wurde im Jahr 2008 von der Orion Publishing Group in London veröffentlicht.

Handlung

Hintergrund (Literatur)

Der Roman war für den japanischen Seiun-Preis im Jahr 2014 nominiert gewesen.

Weblinks

• Offizielle Webseite
• Incandescence in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Ausschnitt aus Incandescence (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Draft: Peterson-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Peterson-Raum ein CW-Komplex, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Kohomologiegruppe hat und ist daher die kohomologische Analogie eines Eilenberg–MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine endlich generierte abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\geq 3$ ist ein einfach zusammenhängender (wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) CW-Komplex $X$, dessen reduzierte singuläre Kohomologiegruppen gegeben sind durch:

${\widetilde {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.$

ein Peterson-Raum vom Typ $P(G,n)$. Ein Peterson-Raum ist eindeutig bis auf schwache Homotopieäquivalenz, was die eigenständige Notation begründet. Peterson-Räume müssen nicht immer existieren, etwa gibt es keine für den rationalen Körper $\mathbb {Q}$.

Lemmata

Beispiele

Siehe auch

• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Moore-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Homologie.

Draft: Hopf-Konstruktion

Reele Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{0}$ ist diffeomorph zur orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die reele Hopf-Faserung $S^{1}\rightarrow S^{1}$.

Eine alternative Konstruktion der reellen Hopf-Faserung mithilfe von reell projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1},(x,y)\mapsto [x:y]$.

Die Homotopieklasse der reellen Hopf-Faserung ist zweiten Grades und daher kein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Komplexe Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{1}$ ist diffeomorph zur unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (1)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die komplexe Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Eine alternative Konstruktion der komplexen Hopf-Faserung mithilfe von komplex projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {C} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$.

Die komplexe Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.
• Ihre Einhängung ist der Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{1}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.

Quaternionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{3}$ ist diffeomorph zur speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7}\rightarrow S^{4}$.

Eine alternative Konstruktion der quaternionischen Hopf-Faserung mithilfe von quaternionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {H} ^{2}\rightarrow \mathbb {H} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$.

Die quaternionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{7}(S^{4})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{12}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{3}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{24}$.

Oktonionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{7}$ ist mit der Moufang-Struktur eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die oktonionsiche Hopf-Faserung $S^{15}\rightarrow S^{8}$.

Eine alternative Konstruktion der oktonionischen Hopf-Faserung mithilfe von oktonionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {O} ^{2}\rightarrow \mathbb {O} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {O} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{16}\supset S^{15}\rightarrow S^{8}\cong \mathbb {O} P^{1},(o,n)\mapsto [o:n]$.

Die oktonionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{15}(S^{8})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{120}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{7}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{240}$

Draft: Yang–Mills-Gleichungen

Das Yang–Mills-Gleichungen sind in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und der Mathematischen Eichtheorie auftauchende partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Vektor- oder Hauptfaserbündel. Eine wichtige Anwendung ihres Modulraumes ist der Beweis des Donaldson-Theorems.

Selbtduale und antiselbstduale Yang–Mills-Gleichungen

Ein wichtiger Spezialfall der Yang–Mills-Gleichungen ergibt sich über einer vierdimensionalen Basismannigfaltigkeit $B$ (wie etwa beim Beweis des Donaldson-Theorems), da der Hodge-Stern-Operator dann eine Involution:

$\star \colon \Omega ^{2}(B)\rightarrow \Omega ^{2}(B)$

(also mit $\star ^{2}=\operatorname {id}$) ist und sich daher durch die Eigenräume der möglichen Eigenwerte $\pm 1$ eine Aufteilung in eine direkte Summe:

$\Omega ^{2}(B)=\Omega _{-}^{2}(B)\oplus \Omega _{+}^{2}(B)$

ergibt. Völlig analog gilt dies für die Räume der vektorwertigen Differentialformen auf $B$ wie etwa mit Werten im adjungierten Bündel $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$. Ein Zusammenhang $A\in \Omega _{\mathrm {Ad} }^{1}(E;{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B;\operatorname {Ad} (E))$ mit

• $F_{A}\in \Omega _{+}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=F_{A}$, wird selbstdual
• $F_{A}\in \Omega _{-}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=-F_{A}$, wird antiselbstdual

genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfallen.

Die selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=F_{A}$ werden auch als SDYM-Gleichungen und die antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=-F_{A}$ werden auch als ASDYM-Gleichungen abgekürzt.

Weblinks

• Yang-Mills equation auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Draft: Yang–Mills–Higgs-Gleichungen

Das Yang–Mills–Higgs-Gleichungen sind in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und der Mathematischen Eichtheorie auftauchende nichtlineare partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Vektor- oder Hauptfaserbündel und Schnitte in derem dualen Vektorbündel.

Weblinks

• Einstein-Yang-Mills-Dirac-Higgs theory auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Draft: Donaldson-Theorem

Das Donaldson-Theorem ist ein wichtiges Theorem aus den mathematischen Teilgebieten der Differentialtopologie und der Mathematischen Eichtheorie nach der die definite Schnittzahl einer kompakten orientierten vierdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit diagonalisierbar ist. In der ursprünglichen Version des Theorems aus dem Jahr 1983 musste die Mannigfaltigkeit noch einfach zusammenhängend sein, bei einer späteren Verbesserung aus dem Jahr 1987 war diese Bedingung nicht mehr notwendig. Das Donaldson-Theorem wird als einer der Gründe für den Verleih der Fields-Medaille an Simon Donaldson im Jahr 1986 angeführt.

Beweisskizze

Sei $X$ eine vierdimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Mithilfe des Atiyah–Singer-Indexsatzes lässt sich zeigen, dass die Dimension des Modulraumes ${\mathcal {M}}_{P}$ der Lösungen der antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) für ein $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel $P\twoheadrightarrow X$ gegeben ist durch:

$\dim {\mathcal {M}}_{P}=8c_{2}(P)-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)).$

Dabei ist:

• $c_{2}(P)\in H^{4}(X;\mathbb {Z} )$ die zweite Chern-Klasse des Hauptfaserbündels.⁠⁠
• $b_{1}(X)=\dim H_{1}(X;\mathbb {R} )$ die erste Betti-Zahl der Basismannigfaltigkeit.
• $b_{+}(X)$ ist die Dimension des positiv definiten Untervektorraumes von $H_{2}(X;\mathbb {R} )$ bezüglich der Schnittform.

Ist $X$ einfach zusammenhängend, dann folgt durch den Zusammenhang $H_{1}(X;\mathbb {Z} )=\pi _{1}(X)^{\mathrm {ab} }=1$ direkt $b_{1}(X)=0$.

 

Diese ist definiert als die zweite Chern-Klasse des über das balancierte Produkt zugeordneten Vektorbündels $P\times _{\operatorname {SU} (2)}\mathbb {C} ^{2}$

 

Die Integration $\textstyle \int _{X}\colon H^{4}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z}$ zur Auffassung der zweiten Chern-Klasse als ganze Zahl wird als Notationsmissbrauch oft weggelassen.

Draft: Balanciertes Produkt

Das balancierte Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Produkt für G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Produkt der zugrundeliegenden topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit der Bildung eines Quotienten. Anwendung findet das balancierte Produkt bei der Konstruktion von Hauptfaserbündeln.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen $G$-Rechtsraum $X$ und einen $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\times _{G}Y:=(X\times Y)/\sim$

mit der Äquivalenzrelation $(xg,y)\sim (x,yg)$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Sei $G$ eine topologische Gruppe, $H<G$ eine Untergruppe, $X$ ein $G$-Rechtsraum und $Y$ ein $G$-Linksraum.

• Es gilt $X\times _{G}\{*\}\cong X/G$. Analog gilt $\{*\}\times _{G}Y\cong G\backslash Y$.
• Es gilt $X\times _{G}G\cong G$. Analog gilt $G\times _{G}Y\cong Y$.
• Es gilt $X\times _{G}(G/H)\cong X/H$. Analog gilt $(H\backslash G)\times _{G}Y\cong H\backslash Y$.

Seien $G$ und $H$ topologische Gruppen, $X$ ein $G$-Rechtsraum, $Y$ ein $(G,H)$-Raum und $Z$ ein $G$-Linksraum.

• Das balancierte Produkt ist assoziativ. Es gilt $(X\times _{G}Y)\times _{H}Z\cong X\times _{G}(Y\times _{H}Z)$.

Anwendung für Hauptfaserbündel

Für einen Körper $\mathbb {K}$ wirkt eine Untergruppe $G<\operatorname {GL} _{n}\mathbb {K}$ auf $\mathbb {K} ^{n}$ von links durch Matrizenmultiplikation. Für ein $G$-Hauptfaserbündel $\pi \colon E\rightarrow B$ (wobei $G$ auf $E$ von rechts wirkt und $\pi$ unter dieser Wirkung invariant ist, also $\pi (eg)=\pi (e)$ für alle $g\in G$ und $e\in E$) lässt sich das balancierte Produkt $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}$ bilden und die Abbildung $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}\rightarrow B,[(e,x)]\mapsto \pi (e)$ ist wohldefiniert.

Siehe auch

• Balanciertes Smash-Produkt, analoge Definition für punktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Balanciertes Smash-Produkt

Das balancierte Smash-Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Smash-Produkt für punktierte G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Smash-Produkt der zugrundeliegenden punktierten topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit die Bildung eines Quotienten.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen punktierten $G$-Rechtsraum $X$ und einen punktierten $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\wedge _{G}Y:=(X\wedge Y)/\sim$

mit der wohldefinierten Äquivalenzrelation $[(xg,y)]\sim [(x,yg)]$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Smash-Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Siehe auch

• Balanciertes Produkt, analoge Definition für nichtpunktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Lokaler Hausdorff-Raum

Ein lokaler Hausdorff-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei verschiedene Punkte zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten, wird Hausdorff-Raum (oder hausdorffsch) genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie ein Hausdorff-Raum ist, wird lokaler Hausdorff-Raum (oder lokal hausdorffsch) genannt. Oft wird statt einer hausdorffschen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus hausdorffschen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal hausdorffsch genannt.

Lemmata

• Hausdorff-Räume sind lokale Hausdorff-Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines Hausdorff-Raumes wieder ein Hausdorff-Raum ist.
• Lokale Hausdorff-Räume sind T₁-Räume.
• Lokale Hausdorff-Räume sind nüchtern.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit zwei Ursprüngen (definiert als $\mathbb {R} \times \{0,1\}/\sim$ mit $(x,0)\sim (x,1)$ für $x\neq 0$) sind lokal hausdorffsch, aber nicht hausdorffsch.

Weblinks

• locally Hausdorff topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal regulärer Raum

Ein lokal regulärer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) regulär ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für jede abgeschlossene Teilmenge und jeden Punkt, welcher in dieser nicht enthalten ist, zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils die abgeschlossene Teilmenge und den Punkt enthalten, wird regulär genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie regulär ist, wird lokal regulär genannt. Oft wird statt einer regulären Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus regulären Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal regulär genannt.

Lemmata

• Reguläre Räume sind lokal reguläre Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines regulären Raumes wieder ein regulärer Raum ist.
• Lokal reguläre T₁-Räume sind lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass reguläre T₁-Räume hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• XXXX ist lokal regulär, aber nicht regulär.

Weblinks

• locally regular space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal normaler Raum

Ein lokal normaler Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) normal ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der abgeschlossenen Teilmengen enthalten, wird normal genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie normal ist, wird lokal normal genannt. Oft wird statt einer normalen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus normalen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal normal genannt.

Lemmata

• Normale Räume sind lokal normale Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines normalen Raumes wieder ein normaler Raum ist.
• Lokal normale T₁-Räume sind lokal regulär und lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass normale T₁-Räume regulär und hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der kofiniten Topologie sind ein T₁-Raum, welcher nicht lokal normal ist.

Weblinks

• locally normal space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Orthokompakter Raum

Ein orthokompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.

Definition

Eine Familie an Teilmengen eines topologischen Raumes, für die für jeden Punkte des Raumes der Schnitt der diesen enthaltenden Teilmengen der Familie offen ist wird innererhaltende Familie (oder Q-Familie) genannt.

Ein topologischer Raum, für den für jede (abzählbare) offene Überdeckung eine innererhaltende offene Verfeinerung existiert, wird (abzählbar) orthokompakt genannt.

Lemmata

• Kompakte Räume sind orthokompakt. Das folgt daraus, dass eine endliche Teilüberdeckung insbesondere innererhaltend ist.
• (Abzählbar) metakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass punktendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
• (Abzählbar) parakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass lokalendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
• Abgeschlossene Unterräume von orthokompakten Räumen sind orthokompakt.
• Jeder orthokompakte Raum ist abzählbar orthokompakt. Das folgt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung insbesondere eine offene Überdeckung ist.
• Jeder abzählbar orthokompakte Lindelöf-Raum ist orthokompakt. Das folgt daraus, dass in Lindelöf-Räumen für jede offene Überdeckung bereits eine abzählbare offene Teilüberdeckung existiert.
• Für einen orthokompakten Raum $X$ ist $X\times [0,1]$ genau dann orthokompakt, wenn $X$ abzählbar metakompakt ist.
• P-Räume sind abzählbar orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung eines P-Raumes innererhaltend ist.
• Räume mit Alexandroff-Topologie sind orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede offene Überdeckung eines Raumes mit Alexandroff-Topologie innererhaltend ist.

Weblinks

• orthocompact space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

[[Kategorie:Kompaktheit]]

Draft: Hemikompakter Raum

Ein hemikompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.

Definition

Ein topologischer Raum, für den eine abzählbare Familie an kompakten Teilmengen existiert, sodass jede kompakte Teilmenge in einer davon enthalten ist, wird hemikompakt genannt.

Lemmata

• Kompakte Räume sind hemikompakt. Für die abzählbare Familie an kompakten Teilmengen reicht dabei der Raum selbst.
• Abgeschlossene Unterräume von hemikompakten Räumen sind hemikompakt.
• Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.
• Erstabzählbare hemikompakte Räume sind lokalkompakt.
• Lokal- und σ-kompakte Räume sind hemikompakt (ebenfalls parakompakt).

Beispiele

• $\mathbb {R} ^{n}$ ist hemikompakt mit der abzählbaren Familie $({\overline {B}}_{k}(0))_{k\in \mathbb {N} }$der abgeschlossenen Kugeln mit jeweiligem Radius $k\in \mathbb {N}$ an kompakten Teilmengen. Jede andere kompakte Teilmenge ist in einer davon enthalten, da sie insbesondere beschränkt ist.
• $\mathbb {Q}$ ist hemikompakt, aber nicht lokalkompakt.

Weblinks

• hemicompact space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

[[Kategorie:Kompaktheit]]

Draft: Konstruierbare Teilmenge

Eine konstruierbare Teilmenge ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung von sowohl offenen als auch abgeschlossenen Teilmengen.

Definition

Lemmata

• Urbilder von konstruierbaren Teilmengen unter stetigen Abbildungen sind wieder konstruierbar.

Draft: Arnold-Vermutung

Die Arnold-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Fixpunkten eines nichtdegenerierten Hamiltonschen Symplektomorphismus auf ihr verbindet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold. Die Arnold-Vermutung ist eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré–Birkhoff.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Arnold–Givental-Vermutung

Weblinks

• Arnold conjecture auf nLab (englisch)

Literatur

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch). 

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Draft: Arnold–Givental-Vermutung

Die Arnold–Giventhal-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Schnittpunkten mit einer anderen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit verbindet, welche aus der ursprünglichen durch eine Hamiltonsche Isotopie hervorgeht und diese transversal schneidet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold und Alexander Giventhal.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und $L\subset M$eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit, also darstellbar als Fixpunktmenge einer antisymplektischen Involution $f\colon M\rightarrow M$, also sodass $f\circ f=\operatorname {id} _{M}$ und $f^{*}\omega =-\omega$.

Die Arnold-Vermutung ist ein Spezialfall der Arnold–Givental-Vermutung. Eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ erzeugt eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M\times M,(-\omega )\oplus \omega )$, auf welcher der Koordinatentausch $M\times M\rightarrow M\times M,(x,y)\mapsto (y,x)$ eine antisymplektische Involution ist. Deren Fixpunktmenge ist die Diagonale $\Delta _{M}:=\{(x,x)|x\in M\}$, weshalb diese eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist. Für eine XXXX $f\colon M\rightarrow M$ ist ihre Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)$ genau der Schnitt $\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M}$.

$\#\operatorname {Fix} (f)=\#(\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M})$

Status

Die Arnold-Giventhal-Vermutung wurde für einige Spezialfälle bewiesen:

• Alexander Givental selbst bewies 1989 den Spezialfall für $(M,L)=(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {R} P^{n})$.
• Yong-Geun Oh bewies 1995 den Spezialfall von zusätzlichen Annahmen an den Maslov-Index.
• Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hirosh Otha und Kaoru Ona bewiesen 2000 den Speziallfall für semipositive symplektische Mannigfaltigkeiten.
• Urs Frauenfelder bewies 2004 den Spezialfall für bestimmte symplektische Reduktionen unter Verwendung von Floer-Homologie.

Siehe auch

• Arnold-Vermutung

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Fehlt:

Für XXXX ist $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ sogar eine Lie-Gruppe. Ihre zugehörige Lie-Algebra ${\mathfrak {Ham}}(M,\omega )$ ist in diesem Fall die der Hamiltonschen Vektorfelder.

Diese ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

Definition auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle Poisson-Mannigfaltigkeiten, da die symplektische Form eine Poisson-Klammer erzeugt. Für Hamilton-Funktionen $G,H\in C^{\infty }(M)$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ gilt dadurch der Zusammenhang:

,

durch den Hamiltonsche Vektorfelder allgemeiner auf Poisson-Mannigfaltigkeiten definiert werden können.

Lemmata auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

XXXX

$\mathrm {d} F(X_{aG+bH})=\{F,aG+bH\}=a\{F,G\}+a\{F,H\}=a\mathrm {d} F(X_{G})+b\mathrm {d} F(X_{H})=\mathrm {d} F(aX_{G}+bX_{H})$

$\mathrm {d} F(X_{GH})=\{F,GH\}=G\{F,H\}+\{F,G\}H=G\mathrm {d} F(X_{H})+\mathrm {d} F(X_{G})H=\mathrm {d} F(GX_{H}+HX_{G})$

Draft: J-Homomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ist der J-Homomorphismus ein spezieller Gruppenhomomorphismus von der Homotopiegruppe einer (speziellen) orthogonalen Gruppe oder einer (speziellen) unitären Gruppe in die Homotopiegruppe einer Sphäre. Die Definition benutzt die Hopf-Konstruktion und stammt von George W. Whitehead (nicht zu verwechseln mit John H. C. Whitehead) aus dem Jahr 1942 durch eine Erweiterung einer Definition von Heinz Hopf aus dem Jahr 1935.

Definition

Erste Definition

Eine orthogonale Matrix $O\in \operatorname {O} (k)$ definiert eine stetige Abbildung $O\colon \mathbb {R} ^{k}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$, die sich aufgrund der Orthogonalität der Matrix auf eine wohldefinierte stetige Abbildung $O\colon S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$ einschränkt. Eine Homotopieklasse in $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))$, also die einer stetigen Abbildung $S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$, repräsentiert daher die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}\times S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$. Ihre Hopf-Konstruktion ist die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}*S^{k-1}\rightarrow \Sigma S^{k-1}$, also $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ unter Verwendung der Lemmata, dass Verbund und Einhängung von Sphären jeweils wieder Sphären ergeben, und daher in $\pi _{n+k}(S^{k})$. Insgesamt ergibt das eine Abbildung:

$J_{n,k}\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k}),$

von der sich zeigen lässt, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zweite Definition

Die Einpunkt-Kompaktifizierung des euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{m}$ ist die Sphäre $S^{m}$ und es gibt eine injektive Einbettung $\mathbb {R} ^{m}\rightarrow S^{m}$. Für eine stetige Abbildung $f\colon S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$ gibt es dadurch eine Abbildung:

$\mathbb {R} ^{n+k}\rightarrow S^{n}\times \mathbb {R} ^{k}\xrightarrow {(x,y)\mapsto f(x)(y)} \mathbb {R} ^{k},$

deren Einpunkt-Kompaktifizierung eine Abbildung $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ ist. Die Einschränkung auf Homotopieklassen ist wohldefiniert.

Verallgemeinerungen

In den gerade beschreibenen Konstruktion kann der J-Homomorphismus ebenso für spezielle orthogonale Matrizen betrachtet werden, was einen Gruppenhomomorphismus $J_{n,k}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k})$ ergibt. Für (spezielle) unitäre Matrizen ist jedoch eine Änderung notwendig: Eine unitäre Matrix $U\in \operatorname {U} (k)$ (oder eine spezielle unitäre Matrix $U\in \operatorname {SU} (k)$) definiert eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {C} ^{k}\rightarrow \mathbb {C} ^{k}$, also eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {R} ^{2k}\rightarrow \mathbb {R} ^{2k}$über die Korrespondenz $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$, die sich aufgrund der Unitarität der Matrix auf eine wohldefinierte Abbildung $U\colon S^{2k-1}\rightarrow S^{2k-1}$ einschränkt. Die weitere Konstruktion völlig analog ergibt J-Homomorphismen:

$J_{n,k}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k})$

$J_{n,k}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k}).$

Verwendung in stabiler Homotopietheorie

Von allen vier J-Homomorphismen lässt sich der Kolimes bilden, folgend nur für den der orthogonalen und unitären Gruppe beschrieben. Es gibt kanonische Inklusionen $\operatorname {O} (k)\hookrightarrow \operatorname {O} (k+1)$ und $\operatorname {U} (k)\hookrightarrow \operatorname {U} (k+1)$ durch Erweiterung der Matrix durch eine zusätzliche Zeile und Spalte mit nur Nulleinträgen bis auf einen Einseintrag auf dem zusätzlichen Diagonaleintrag, die durch Nachkomposition (welche Homotopien erhält) jeweils eine kanonische Inklusion $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {O} (k+1))$ und $\pi _{n}(\operatorname {U} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {U} (k+1))$ induziert. Durch einfache (bei den beiden orthogonalen Gruppen) oder doppelte (bei den beiden unitären Gruppen) Anwendung der Einhängung (welche Homotopien sowie Sphären erhält), gibt es kanonische Abbildungen $\pi _{n+k}(S^{k})\rightarrow \pi _{n+k+1}(S^{k+1})$ und $\pi _{n+2(k+1)}(S^{2k})\rightarrow \pi _{n+2(k+1)}(S^{2(k+1)})$. In beiden Fällen wird $k$ in den Gruppen auf $k+1$ verschoben, wobei sich mit den J-Homomorphismen $J_{n,k}^{\operatorname {O} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {O} }$ oder $J_{n,k}^{\operatorname {U} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {U} }$ eine kommutative Relation ergibt. Diese gestattet die Bildung des Kolimes über $k$ und es ergeben sich die vier J-Homomorphismen:

$J_{n}^{\operatorname {O} }\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

Verbindung zur Kobordismus- und Chirurgietheorie

Die stabilen Homotopiegruppen $\pi _{n}^{\mathrm {stab} }$ der Sphären sind durch die Pontrjagin-Thom-Konstruktion isomorph zum gerahmten Kobordismusring $\Omega _{n}^{\operatorname {SO} }$.

Draft: Lie-Gruppoide

Lie-Gruppoide sind Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ surjektiv ist, wird transitiv genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ eigentlich ist, wird eigentlich genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das $s,t\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightrightarrows {\mathcal {G}}_{0}$ lokale Diffeomorphismen sind, wird étale genannt.

• Paargruppoide sind étale.
• Einheitsgruppoide sind nie étale.

Weblinks

• Lie gruppoid auf nLab (englisch)

Draft: Lie-Algebroide

Lie-Algebroide sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Weblinks

• Lie algebroid auf nLab (englisch)

Draft: Unitäre Transformation

XXXX

Eigenschaften

• Unitäre Transformationen erhalten hermitische, antihermitesche und unitäre Operatoren
• Unitäre Transformationen erhalten Bose-Operatoren und Fermi-Operatoren.

XXXX

Draft: Arnold–Kuiper–Massey-Theorem

Das Arnold–Kuiper–Massey-Theorem (oder AKM-Theorem) ist im mathematischen Teilgebiet der projektiven Geometrie eine aus drei verwandten Teilresultaten bestehende Erkenntnis über projektive Ebenen und ihre Verbindung zu Sphären.

Komplexes AKM-Theorem

Quaternionisches AKM-Theorem

Oktonionisches AKM-Theorem

Weblinks

• Arnold–Kuiper–Massey-Theorem auf nLab (englisch)

Draft: Riemann–Silberstein-Vektor

Der Riemann–Silberstein-Vektor (oder Weber-Vektor) ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein komplexer Vektor, welcher das elektrische und magnetische Feld miteinander kombiniert. Benannt ist der Vektor nach Bernhard Riemann, Ludwik Silberstein und Heinrich Martin Weber.

Die Divergenz des Riemann–Silberstein-Vektors vereint das Coulombsche Gesetz (erste Maxwell-Gleichung) und die Gaußsche Gesetz (zweite Maxwell-Gleichung):

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {E} +ic\nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}.$

Die Rotation des Riemann–Silberstein-Vektor vereint das Faradaysche Gesetz (dritte Maxwell-Gleichung) und das Ampéresche Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung):

$\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {E} +ic\nabla \times \mathbf {B} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+ic\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=i\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}\right).$

[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Draft: Dirac-String

Ein Dirac-String ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine eindimensionale Kurve zwischen magnetischen Monopolen (auch Dirac-Monopolen) verschiedener magnetischer Ladungen oder von einem Dirac-Monopol in die Unendlichkeit auf welchem dessen Vektorpotential divergiert. Wird dieses koordinatenfrei durch eine Differentialform beschrieben, lässt sich eine Verbindung zur De-Rham-Kohomologie herstellen. Dadurch wird ein magnetischer Monopol (ähnlich wie etwa der Aharanov–Bohm-Effekt) zu einem topologischen Effekt und ein Dirac-String zu einer zwingenden Notwendigkeit für eine passende De-Rham-Kohomologie. Benannt wurden Dirac-Strings nach Paul Dirac, welcher diese im Jahr 1931 erstmals beschrieb. Eine Korrespondenz zu $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündeln über $S^{2}$, zu denen insbesondere die (komplexe) Hopf-Faserung gehört, wurde von Tai Tsun Wu (chinesisch 吳大峻, Pinyin Wú Dàjùn) und Chen Ning Yang (chinesisch 杨振宁, Pinyin Yáng Zhènníng) im Jahr 1975 beschrieben.

Konstruktion

Die Einführung einer magnetischen Ladung und dadurch ebenfalls einem magnetischen Strom in die Maxwell-Gleichungen führt zu einer vollständigen Symmetrie zwischen dem elektrischen und magnetischen Feld, da die beschreibenden Gleichungen dann völlig identisch werden. Dadurch lässt sich die in der Elektrodynamik häufig verwendete Beschreibung einer elektrischen Punktladung vollkommen analog auf eine magnetische Punktladung übertragen. Sei $g\neq 0$ dessen magnetische Ladung, dann erfüllt die magnetische Flussdichte:

$\mathbf {B} =g{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$

das Gaußsche Gesetz (zweite Maxwell-Gleichung) $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ auf ganz $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ (aber $\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi g\delta (\mathbf {r} )$ auf $\mathbb {R} ^{3}$). Jedoch gibt es kein Vektorpotential $\mathbf {A}$ mit $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ auf ganz $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ wie sich anhand des Stokeschen Integralsatzes nachweisen lässt:

$4\pi g=\int _{S_{r}(0)}{\frac {g}{r^{2}}}\mathrm {d} S=\int _{S_{r}(0)}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{S_{r}(0)}(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S_{r}(0)}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0,$

wobei $S_{r}(0)$ die Sphäre mit Radius $r$ um den Ursprung und $\mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}\mathrm {d} S$ das vektorielle Flächenelement ist. Mit dem Radialteil der Rotation in Kugelkoordiaten würde für ein Vektorpotential $\mathbf {A}$ mit dem Ansatz $\mathbf {A} (\vartheta )=A_{\varphi }(\vartheta )\mathbf {e} _{\varphi }$ gelten:

$(\nabla \times \mathbf {A} )_{r}={\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(A_{\varphi }\sin \vartheta )\;{\stackrel {!}{=}}\;\mathbf {B} _{r}={\frac {g}{r^{2}}}.$

Daraus ergeben sich zwei geeignete Vektorpotentiale:

$\mathbf {A} ^{\pm }(\vartheta )=A_{\varphi }^{\pm }(\vartheta )\mathbf {e} _{\varphi }={\frac {g}{r\sin \vartheta }}(-\cos \vartheta \pm 1)\mathbf {e} _{\varphi }.$

Diese divergieren für $\vartheta =0$ (also auf der positiven $z$-Achse) und $\vartheta =\pi$ (also auf der negativen $z$-Achse), doch die Integrationskonstanten $\pm 1$ sind dabei genau so gewählt, dass eine stetige Fortsetzung von $\mathbf {A} ^{+}$ für $\vartheta =0$ und $\mathbf {A} ^{-}$ für $\vartheta =\pi$ über den Grenzwertsatz von L'Hôspital möglich ist:

$\mathbf {A} ^{+}(0):=\lim _{\vartheta \rightarrow 0}\mathbf {A} ^{+}(\vartheta )={\frac {g}{r}}\mathbf {e} _{\varphi }\lim _{\vartheta \rightarrow 0}{\frac {-\cos(\vartheta )+1}{\sin(\vartheta )}}={\frac {g}{r}}\mathbf {e} _{\varphi }\lim _{\vartheta \rightarrow 0}{\frac {\sin(\vartheta )}{\cos(\vartheta )}}=0;$

$\mathbf {A} ^{-}(\pi ):=\lim _{\vartheta \rightarrow \pi }\mathbf {A} ^{-}(\vartheta )={\frac {g}{r}}\mathbf {e} _{\varphi }\lim _{\vartheta \rightarrow \pi }{\frac {-\cos(\vartheta )-1}{\sin(\vartheta )}}={\frac {g}{r}}\mathbf {e} _{\varphi }\lim _{\vartheta \rightarrow \pi }{\frac {\sin(\vartheta )}{\cos(\vartheta )}}=0.$

$\mathbf {A} ^{+}$ ist daher nicht auf der negativen $z$-Achse und $\mathbf {A} ^{-}$ nicht auf der positiven $z$-Achse definiert. Diese eindimensionalen Linien verbinden den magnetischen Monopol mit der Unendlichkeit und sind die Dirac-Strings.

Quantisierung

Für die quantenmechanische Beschreibung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld wird die Schrödinger-Gleichung verwendet. In diese geht nicht direkt das magnetische Feld ein, sondern ein Vektorpotential von diesem, wobei diese Tatsache etwa beim Aharanov–Bohm-Effekt tatsächlich physikalisch beobachtet werden kann. Im Falle der magnetischen Punktladung lassen sich dabei die Auswirkungen der beiden verschiedenen Vektorpotentiale $\mathbf {A} ^{\pm }$ auf ihre jeweiligen Wellenfunktion $\Psi ^{\pm }$ betrachten.

Die Vektorpotentiale $\mathbf {A} ^{\pm }$ sind dabei mit dem Azimutalanteil des Gradienten in Kugelkoordinaten:

$\nabla _{\varphi }={\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}$

verbunden über die Eichtransformation:

$\mathbf {A} ^{+}(\vartheta )=\mathbf {A} ^{-}(\vartheta )+\nabla (2g\varphi ).$

Die Wellenfunktionen $\Psi ^{\pm }$ eines Teilchens mit Masse $m$ und elektrischer Ladung $e$ sind dabei Lösungen der Schrödinger-Gleichung:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{\pm }}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla +e\mathbf {A} ^{\pm }\right)^{2}\Psi ^{\pm }$

und sind dabei unter Voraussetzung deren Invarianz verbunden über die Eichtransformation:

$\Psi ^{+}(\mathbf {r} )=\Psi ^{-}(\mathbf {r} )e^{-i{\frac {2e}{\hbar }}g\varphi }.$

Da sich für $\varphi =0$ und $\varphi =2\pi$ die gleiche Phase ergeben muss, folgt die Quantisierung der magnetischen Ladung in ganzzahligen Vielfachen des reduzierten magnetischen Flussquants:

$g=n{\frac {\hbar }{2e}},n\in \mathbb {Z} .$

Verbindung mit De-Rham-Kohomologie

Verbindung mit Hauptfaserbündeln

Literatur

• P.A.M. Dirac: Quantized Singularities in the Electromagnetic Field. In: Proceedings of the Royal Society A. 133. Jahrgang, Nr. 821, September 1931, S. 60–72, doi:10.1098/rspa.1931.0130, bibcode:1931RSPSA.133...60D (englisch). 
• T.T. Wu, C.N. Yang: Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields. In: Phys. Rev. D 12. 1975, S. 3845–3857 (englisch). 

[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Draft: Wu–Yang-Monopol

Der Wu–Yang-Monopol war die erste Lösung der Yang–Mills-Gleichungen, gefunden im Jahr 1968 von Tai Tsun Wu (chinesisch 吳大峻, Pinyin Wú Dàjùn) und Chen Ning Yang (chinesisch 杨振宁, Pinyin Yáng Zhènníng). Diese beschreibt einen punktartigen magnetischen Monopol.

Weblinks

• Yang monopole auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Draft: Kategorie der kleinen Kategorien

Die Kategorie der kleinen Kategorien, notiert als $\mathbf {Cat}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kleinen Kategorien als Objekten und der Klasse aller Funktoren als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Cat}$ ist

• kartesisch abgeschlossen, aber nicht lokal kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Cat auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Mengen

Die Kategorie der Mengen, notiert als $\mathbf {Set}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Mengen als Objekten und der Klasse aller Abbildungen als Morphismen.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Set}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• kartesisch abgeschlossen.
• regulär.
• lokal endlich präsentierbar.

$\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Set auf nLab (englisch)
• SimpSet auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Gruppen

Die Kategorie der Gruppen, notiert als $\mathbf {Grp}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Grp}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt eine kanonische und volle Inklusion $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ der Kategorie der abelschen Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Gruppen wird als $\mathbf {Grp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Grp}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

• regulär.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Grp auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der abelschen Gruppen

Die Kategorie der abelschen Gruppen, notiert als $\mathbf {AbGrp}$ (oder nur $\mathbf {Ab}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller abelschen Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {AbGrp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {AbGrp}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) zu diesem.
• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ in die Kategorie der Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor)
• Da abelsche Gruppen genau $\mathbb {Z}$-Moduln sind, ist die Kategorie der abelschen Gruppen isomorph zur Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln:

  $\mathbf {Ab} \cong \mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }$.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {AbGrp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {AbGrp}$ ist

• nicht kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Ab auf nLab (englisch)
• sAb auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Ringe

Die Kategorie der Ringe, notiert als $\mathbf {Ring}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Ringe (mit Einheitselement) als Objekten und der Klasse aller Ringhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Ring} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Ringstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Ring}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Eigenschaften

$\mathbf {Ring}$ ist

• nicht balanciert. Etwa ist $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ monisch und episch, aber kein Isomorphismus.

Weblinks

• Ring auf nLab (englisch)
• CRing auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Körper

Die Kategorie der Körper, notiert als $\mathbf {Field}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Körper als Objekten und der Klasse aller Körperhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Field} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Körperstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Field}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Der rationale Körper $\mathbb {Q}$ ist kein initiales Objekt in der Kategorie $\mathbf {Field}$ (da etwa kein Körperhomomorphismus in einen endlichen Körper existiert), aber in der Kategorie $\mathbf {Field} _{0}$. Aus diesem Grund kann das Studium von Körpererweiterungen mit verschwindender Charakteristik (wie in der Algebraischen Galoistheorie) stets ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf die Betrachtung von Körpererweiterungen über dem rationalen Körper $\mathbb {Q}$ (genannt Zahlenkörper) beschränkt werden.

Eigenschaften

$\mathbf {Field}$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Field auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Moduln

Die Kategorie der $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln für einen Ring $R$, notiert als $_{R}\mathbf {Mod}$ bzw. $\mathbf {Mod} _{R}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln als Objekten und der Klasse aller Modulhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $_{R}\mathbf {Mod} ,\mathbf {Mod} _{R}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welche die Modulstruktur vergessen. Dadurch sind $_{R}\mathbf {Mod}$ und $\mathbf {Mod} _{R}$ konkrete Kategorien.
• Da $\mathbb {Z}$-Moduln genau abelsche Gruppen sind, ist die Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln isomorph zur Kategorie der abelschen Gruppen:

  $\mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }\cong \mathbf {Ab}$.

Eigenschaften

$\mathbf {Mod}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Kategorie aller Moduln

Weblinks

• Mod auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Vektorräume

Die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Vektorraumstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Vect} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

Kategorie aller Vektorräume

Eigenschaften

$\mathbf {Vect}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

Weblinks

• Vect auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der normierten Räume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) normierten Vektorräume, notiert als $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }$ in die Kategorie der $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$-Vektorräume, welcher die Norm vergisst.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Norm} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Banachräume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) Banachräume, notiert als $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Banachräume (vollständige normierte Vektorräume) als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$ in die jeweiligen Kategorie der normierten Vektorräume, welcher die Vollständigkeit der Norm vergisst.

Eigenschaften

$\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$ sind

• (klein) bivollständig, also klein-vollständig und klein-kovollständig.
• haben alle kleinen Produkte und alle kleinen Koprodukte.
• haben alle Differenzkerne und Differenzkokerne.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der metrischen Räume

Die Kategorie der metrischen Räume, notiert als $\mathbf {Met}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller metrischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Met} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Metrik vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Met}$ eine konkrete Kategorie.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Räume

Die Kategorie der topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der diskreten Topologie $\operatorname {Dis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) und der Funktor der indiskreten Topologie $\operatorname {Indis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist rechtsadjungiert (ein Koreflektor) zu diesem.

Eigenschaften

$\mathbf {Top}$ ist

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• nicht kartesisch abgeschlossen und nicht lokal kartesisch abgeschlossen.
• nicht regulär.
• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Top auf nLab (englisch)

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Draft (nicht en): Kategorie der punktierten topologischen Räume

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top} _{*}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller punktierten topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller punktierten stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Punktierung und die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top} _{*}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit dem Funktor der Vereinigung mit dem einpunktigen Raum $\cdot +\{*\}\colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Adjunktion zwischen dem Schleifenraum und der Einhängung

Zwei zentrale Endofunktoren (Funktoren von einer Kategorie in sich selbst) auf der Kategorie $\mathbf {Top} _{*}$ sind die reduzierte Einhängung $\Sigma \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ und der Schleifenraum $\Omega \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$, welche adjungiert zueinander sind. $\Sigma$ ist der linksadjungierte und $\Omega$ ist der rechtsadjungierte Funktor, notiert als $\Sigma \dashv \Omega$. Seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ punktierte topologische Räume. Einer stetigen punktierten Abbildung $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$lässt sich eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {f}}\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),x\mapsto (t\mapsto f([(x,t)]))$

zuordnen. Einer stetigen punktierten Abbildung $g\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$lässt sich umgekehrt eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {g}}\colon \Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0}),[(x,t)]\mapsto g(x)(t)$

zuordnen. Da die doppelte Anwendung der Konstruktion wieder auf die jeweils ursprünglichen Abbildungen zurückführt (also ${\widetilde {\widetilde {f}}}=f$ und ${\widetilde {\widetilde {g}}}=g$) bilden diese eine Bijektion zwischen den stetigen punktierten Abbildungen $(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$ und den stetigen punktierten Abbildungen $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Vektorräume

Die Kategorie der topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen topologischen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräumen als Objekten und der Klasse aller stetigen und linearen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ in die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume, welcher die Topologie vergisst.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume, welcher die Vektorraumstruktur vergisst.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cHaus}$ (oder $\mathbf {CHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit der Stone–Čech-Kompaktifizierung $\beta \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {cHaus}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Eigenschaften

$\mathbf {cHaus}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• nicht kartesisch abgeschlossen.
• exakt.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cgwHaus}$ (oder $\mathbf {CGWHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen. Da kompakt generierte schwache Hausdorff-Räume speziellere und nützliche Eigenschaften haben, welche sich auf ihre Kategorie übertragen, wird diese in der Algebraischen Topologie oft bevorzugt zur Kategorie der topologischen Räume verwendet.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cgwHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume.

Eigenschaften

• $\mathbf {cgwHaus}$ und $\mathbf {cgHaus}$ sind regulär.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der diffeologischen Räume

Die Kategorie der diffeologischen Räume, notiert als $\mathbf {Difflog}$ (teils auch nur als $\mathbf {Diff}$, wobei jedoch Verwechselungsgefahr mit der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller diffeologischen Räume als Objekten und der Klasse aller glatten Abbildungen als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Difflog}$ ist:

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig
• kartesisch abgeschlossen

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplex-Kategorie

Die Simplex-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Weblinks

• simplex category auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziales Objekt

Ein simpliziales Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Ein simpliziales Objekt

• in $\mathbf {Set}$, der Kategorie der Mengen, ist eine simpliziale Menge.
• in $\mathbf {Grp}$, der Kategorie der Gruppen, ist eine simpliziale Gruppe.
• in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, ist ein simplizialer topologischer Raum.

Weblinks

• simplicial object auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplizialer topologischer Raum

Ein simplizialer topologischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der topologischen Räume.

Definition

Ein simplizaler topologischer Raum ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Top}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Top}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der topologischen Räume. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von topologischen Räumen sowie stetigen Abbildungen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Kategorie der simplizialen topologischen Räume

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sTop} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sSet}$.

Weblinks

• simplicial topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziale Gruppe

Eine simpliziale Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der Gruppen.

Definition

Eine simplizale Gruppe ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Grp}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Grp}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der Gruppen. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Gruppen sowie Gruppenhomomorphismen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Lemmata

• Die zugrundeliegende simpliziale Menge einer simplizialen Gruppe ist ein Kan-Komplex.

Kategorie der simplizialen Gruppen

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sGrp} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Grp} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sGrp} \rightarrow \mathbf {sSet}$. Nach einem der obigen Lemmata faktorisiert dieser Funktor über $\mathbf {Kan}$.

Weblinks

• simplicial group auf nLab (englisch)
• simplicial abelian group auf nLab (englisch)
• free simplicial abelian group auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie ist die Milnor-Sphäre eine von John Milnor im Jahr 1956 gefundene spezielle siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur siebendimensionalen Sphäre ist. Sie war historisch das erste Beispiel einer exotischen Sphäre.

Sieben Dimensionen

Die gewöhnliche $7$-Sphäre $S^{7}$ ist ein $S^{3}$-Faserbündel über $S^{4}$, bekannt als quaternionische Hopf-Faserung.

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Konstruktion

Ein $S^{3}$-Faserbündel lässt sich allgemein als Sphärenbündel eines vierdimensionalen reellen Vektorbündels darstellen. Über der $4$-Sphäre $S^{4}$ (welche sich als Verklebung von zwei $4$-Scheiben $D^{4}$, der Nord- und Südhalbkugel, an ihrem Rand $S^{3}$, dem Äquator, darstellen lässt), ergibt sich jedes vierdimensionale reelle Vektorbündel als Verklebung von zwei trivialen vierdimensionalen reellen Vektorbündeln über den beiden $4$-Scheiben $D^{4}$ (nicht trivial ist nicht möglich, da $D^{4}$ zusammenziehbar ist) entsprechend einer Abbildung $S^{3}\rightarrow \operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$ an ihrem Rand $S^{3}$. Das dadurch konstruierte Vektorbündel hängt nur von der Homotopieklasse der Abbildung ab. Es besteht sogar eine Bijektion:

$\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{4}(S^{4})\cong \pi _{3}\operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$.

In englischer Literatur ist diese Konstruktion (mit Vektorbündeln allgemeinen Ranges über Sphären allgemeiner Dimension, wofür $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(S^{k})\cong \pi _{k-1}\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$) als Clutching Construction bekannt.

Für jedes Paar $(h,k)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ganzer Zahlen gibt es daher bis auf Isomorphie ein vierdimensionales reelles Vektorbündel $\xi _{h,k}\colon E_{h,k}\rightarrow S^{4}$ über $S^{4}$. Für die Euler-Klasse und erste Pontrjagin-Klasse dieses Vektorbündels gilt:

$e(\xi _{h,k})=(h+k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$

$p_{1}(\xi _{h,k})=2(h-k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$,

wobei $\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1}$ das tautologische Linienbündel über der quaternionisch projektiven Linie $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist.

Das Sphärenbündel $S(E_{h,k})$, eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, ist nun der Rand des Scheibenbündels $D(E_{h,k})$, einer achtdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Mithilfe von Morse-Theorie lässt sich zeigen, dass $S(E_{h,k})$ für $|h-k|=1$ homöomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$ ist.

Wäre sie ebenfalls diffeomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$, ließe sich das Kofaserprodukt $M_{h,k}=D(E_{h,k})+_{S(E_{h,k})}D^{8}$ betrachten, eine achtdimensionale glatte Mannigfaltigkeit, für welche sich der Hirzebruchsche Signatursatz anwenden lässt. Wird $D^{8}$ in dieser auf einen Punkt kollabiert, ergibt sich der Thom-Raum $\operatorname {Th} (E_{h,k})=D(E_{h,k})/S(E_{h,k})=M_{h,k}/D^{8}$.

Gemäß dem Hirzebruchschen Signatursatz gilt:

$\sigma (M_{h,k})=\langle L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k})),[M_{h,k}]\rangle$.

Die Unkenntnis der zweiten Pontrjagin-Klasse $p_{2}(M_{h,k})$ kann (nach Multiplikation beider Seiten mit $45$) durch den Übergang der Werte auf die Restklasse $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ umgangen werden, da der entsprechende Summand dann verschwindet.

Weblinks

• exotic 7-sphere auf nLab (englisch)

Draft: Homotopietheorie

Sei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall. Eine stetige Abbildung $h\colon X\times I\rightarrow Y$ wird eine Homotopie von $h_{0}=h(0,-)\colon X\rightarrow Y$ nach $h_{1}=h(1,-)\colon X\rightarrow Y$ genannt, diese werden dann homotop genannt. When $X$ und $Y$ jeweils punktierte Räume sind, dann müssen die Abbildungen $h_{t}=h(t,-)$ jeweils den Basispunkt festhalten, in diesem Fall ist $h$ eine punktierte Homotopie und XXXX. (Punktierte) Homotopie ist eine Äquivalenzrelation.

Für (punktierte) topologische Räume $X$ und $Y$ wird die Menge der (punktierte) stetigen Abbildungen $X\rightarrow Y$ als $C(X,Y)$ bzw. $C_{*}(X,Y)$ bezeichnet. Die Quotientenmenge unter der Äquivalenzrelation der (punktierten) Homotopie ist die (punktierte) Abbildungsklasse $[X,Y]$ bzw. $[X,Y]_{*}$, deren Elemente als (punktierte) Homotopieklassen bezeichnet werden.

Für einen punktierten topologischen Raum $X$ und eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ die Homotopieklasse XXXX.

Weblinks

• homotopy theory auf nLab (englisch)

Draft: Homotopiegruppen von Sphären

Die Homotopiegruppen der Sphären beschreiben im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie wie Sphären verschiedener Dimension umeinander gewickelt werden können.

Weblinks

• homotopy groups of spheres auf nLab (englisch)

Draft: Hurewicz-Homomorphismus

Das Hurewicz-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein grundlegendes Resultat zur Verbindung von Homotopietheorie with Homologietheorie durch den Hurewicz-Homomorphism. Ein analoges Theorem und ein analoger Homomorphismus verbindet Kohomotopietheorie mit Kohomologietheorie. Das Theorem ist nach Witold Hurewicz benannt und verallgemeinert frühere Resultate von Henri Poincaré.

Weblinks

• Hurewicz theorem auf nLab (englisch)

Draft: Shanghai Fortress

Shanghai Fortress (chinesisch 上海堡垒, Pinyin shànghǎi bǎolěi) ist ein chinesischer Science-Fiction-Film aus dem Jahr 2019 unter der Regie von Teng Huatao und mit Beteiligung von Lu Han und Shu Qi. Die Geschichte basiert auf dem gleichnamigen Science-Fiction-Roman von Jiang Nan (auch bekannt als Once Upon a Time in Shanghai), in welchem die Menschheit sich gegen Außerirdische verteidigen muss, welche die Erde im Jahr 2042 wegen einer versteckten Energiequelle angreifen. Die Premiere des Films war am 9. August 2019 in China. Es war der letzte Film mit Godfrey Gao vor seinem Tod am 27. November 2019.

Handlung

In der nahen Zukunft stößt die Menschheit im Weltraum auf die Energiequelle Xianteng (仙藤, xiānténg), welche innerhalb weniger Jahre andere Energieträger wie Öl und Kohle vollständig ersetzt und die Entwicklung zahlreicher Städte rasant vorantreibt. Auf der Suche nach Xianteng greifen ein außerirdisches Mutterschiff und eine begleitende Zerstörerflotte nacheinander die darüber verfügenden Städte an. Die letzte verbleibende Stadt ist Shanghai, welche von einem schützenden Kraftfeld komplett umgeben ist. In einem Simulationszentrum beobachten Kommandantin Lin Lan und Offizier Shao Yiyun eine Übung von Jiang Yang, Zeng Yu und Lu Yiyi gegen den bevorstehenden Angriff durch die Steuerung von Abwehrdrohnen. Jiang Yang ist heimlich in Lin Lan verliebt und schreibt ihr abends eine Nachricht.

Das außerirdische Mutterschiff erreicht Shanghai und feuert auf das Kraftfeld, um durch die dabei entstehenden Löcher einen Schwarm an Robotern eindringen zu lassen. Der Angriff kann vorerst abgewehrt werden. Als eine Schwachstelle am Mutterschiff entdeckt wird, schlägt der Kanonen-Kommandant Yang Jiannan, welcher mit Lin Lan verlobt ist, den Einsatz der Shanghai-Kanone (上海大炮, shànghǎi dàpào) vor, die sich im Huangpu-Fluss befindet. Shao Yiyun lehnt das ohne weitere Kenntnisse über den Feind zunächst ab und führt Lin Lan anschließend in eine unterirdische Höhle, in welcher Xianteng aufbewahrt wird. Inzwischen hat es begonnen, sich selbst zu reproduzieren und speist zudem das schützende Kraftfeld von Shanghai. Ein Einsatz der Shanghai-Kanone könnte dieses daher massiv schwächen.

Besetzung

• Lu Han als Jiang Yang (江洋)
• Shu Qi als Lin Lan (林澜)
• Godfrey Gao als Yang Jiannan (杨建南)
• Shi Liang als Shao Yiyun (邵一云)
• Wang Sen als Pan Hantian
• Wang Gongliang als Zeng Yu (曾煜)
• Sun Jialing als Lu Yiyi (路依依)

Veröffentlichung

Der erste Trailer für den Film wurde am 10. Februar 2019 veröffentlicht. Der Film wurde am 9. August 2019 in China veröffentlicht.

Weblinks

• Shanghai Fortress auf IMDb
• Shanghai Fortress auf Douban (chinesisch)
• Shanghai Fortress auf Mtime.com (chinesisch)

Draft: Die Kolonie

Die Kolonie (chinesisch 蚁生, Pinyin yǐshēng 'Ameisenleben') ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Wang Jinkang.

Gemäß einer Bemerkung zu Beginn des Buches sind zwar die Charaktere und die Handlung frei erfunden, basieren jedoch auf wahren Begebenheiten, welche Wang Jinkang während der Kulturrevolution selbst erlebt hat.

Handlung

Buch I: Die Ameisen

In der Nacht wird Cen Mingxia von Lai Ansheng vergewaltigt, wobei Sun Xiaoxiao alles heimlich mitbekommt. Sie erzählt es ihrer Freundin Guo Qiuyun, die es wiederum ihrem Freund Yan Zhe erzählt. Dieser plant daraufhin völlig aufgebracht eine Anzeige. Guo Qiuyun rät Yan Zhe jedoch davon ab, da Cen Mingxia wohl aus Scham und Sun Xiaoxiao wohl durch Druck von Lai Ansheng alles abstreiten würden und Lai Ansheng anschließend Yan Zhe der Intrige gegen einen revolutionären Führungskader beschuldigen könnte. Zhuang Xuexu tritt an die beiden heran und behauptet, dass Lai Ansheng darüber hinaus sogar erfahren hat, dass Yan Zhe ihn anzeigen will, und ihn daher zur eigenen Sicherheit von zwei anderen Jungen der Farm, Chen Decai und Chen Xiukuan, ermorden lassen will. Yan Zhe ist wegen seines „Schatzes“ zwar völlig unbesorgt, doch Guo Qiuyun hält ohne sein Mitwissen verzweifelt Wache in einem Baum vor seiner Hütte. Dabei denkt sie an den Suizid seiner Eltern zurück, an welchen sie sich schuldig fühlt.

Zu Beginn der Kulturrevolution wurden Yan Fuzhi (wegen seinen Behauptungen zur kollektiven Struktur von Ameisenkolonien) und seine Ehefrau Yuan Chenlu (wegen eines zu freizügigen Urlaubsfotos) in Beiyin schnell als Feindbilder angesehen. Yan Fuzhi wird erst öffentlich denuziert und dann geschlagen, erstmals auf dem Schulhof von dem Oberstufenschüler XXXX Jiasheng. Guo Qiuyun versucht derweil bei Zhuang Xuexu, der inzwischen zum Vorsitzenden der XXXX ernannt wurde, die sofortige Beendigung der Quälerei des Vaters ihres Freundes zu erwirken. Doch Zhuang Xuexu, der einst in sie verliebt gewesen war und sich wegen ihrer Beziehung zu Yan Zhe an ihr rächen will, ignoriert die Forderung. Nachdem Zhuang Xuexu auf einem Abbild von Mao Zedong das Wort „Tyrann“ zu erkennen glaubt, ruft er tief nachts die gesamte Mittelschule dazu auf, sich zu rächen. Guo Qiuyun wird von ihren Zweifeln, ob ihre gestrige Anfrage zum Einhalt als konterrevolutionär verurteilt werden könnte, sowie (wesentlich stärker) von der aufgebrachten Masse gepackt und tritt einen der am Boden liegenden XXXX. Als dieser sich umdreht, erkennt sie den blutbeschmierten Yan Fuzhi, worauf sie verzweifelt davonläuft und von völligem Unverständnis geplagt wird, wie die aufgebrachte Masse sie überhaupt dazu bringen konnte. (Auch XXXX Jiasheng würde seine grausame Tat einige Zeit später auf ähnliche Weise bereuen.) Yuan Chenlu ruft nach der Aktion verzweifelt die Wachen herbei und enthüllt, dass sie und ihr Ehemann Yan Fuzhi vorab geplant hatten, gemeinsam Suizid mit in ihren Schuhsohlen versteckten Rasierklingen zu begehen, sofern die Lage zu aussichtslos sei. Sie fürchtet, dass Yan Fuzhi den Zeitpunkt nun für gekommen hält, und zeigt eine halbe Rasierklinge als Beweis. Tatsächlich hat Yan Fuzhi bereits Suizid begangen. Guo Qiuyun wird aufgrund ihrer Beziehung absichtlich als Wache für Yuan Chenlu eingeteilt und überlegt, ihr die Mitschuld am Suizid von Yan Fuzhi anzuvertrauen. Sie glaubt, dass dieser gerade bei ihrem Anblick jede Hoffnung verloren habe. Stattdessen versichert sie Yuan Chenlu, ihrem Sohn Yan Zhe als seine Freundin beizustehen. Yuan Chenlu begeht daraufhin heimlich Suizid mit der versteckten anderen Hälfte der Rasierklinge. Guo Qiuyun fühlt sich erneut schuldig, da sie glaubt, ihr mit ihrer Bemerkung die letzte Hürde genommen zu haben.

Im frühen Morgengrauen hört Guo Qiuyun von ihrem Versteck aus unbemerkt ein Gespräch von Chen Decai und Chen Xiukuan. Diese diskutieren über ein Mädchen, welches alle drei (inklusive Lai Ansheng) bereits vergewaltigt haben. Guo Qiuyun vermutet dabei jedoch nicht Cen Mingxia, sondern ein ganz anderes Mädchen. Das weitere Gespräche bestätigt die Gerüchte über den geplanten Mord an Yan Zhe. Als Chen XXXX sich drücken will, erinnert ihn Chen XXXX daran, dass ihnen allen die Erschießung droht und sie daher nichts mehr zu verlieren haben. Lei Ansheng teilt Yan Zhe anschließend bei der morgendlichen Versammlung unüblich in eine Gruppe mit den beiden ein, um fernab Besorgungen zu machen. Yan Zhe versichert Guo Qiuyun, dass sie sich keine Sorgen machen braucht, holt seinen „Schatz“ und läuft mit beiden davon.

Buch II: Die Königin

Buch III: Das Serum

Draft: Liu Cixin

Liu Cixin ist verheiratet und hat eine Tochter. Ihr ist sein Roman Supernova gewidmet, wobei beide in diesem sogar namentlich auftreten. Laut eigener Aussage haben jedoch weder seine Frau noch Tochter seine Werke je gelesen. Liu Cixin lebt in Taiyuan.

Seine Fans bezeichneten sich früher selbst als Magnete (XXXX, Pinyin XXXX). Von seinen Fans wird Liu Cixin auch 'Lehrer Liu' (刘老师, Pinyin liú lǎoshī) oder 'Großer Liu' (大刘, Pinyin dà liú), genannt. Letztere Bezeichnung wird in China sogar auf einigen Ausgaben seiner Publikationen verwendet. In deutschen Ausgaben, etwa im Vorwort der Kurzgeschichte „Großes steht bevor“ von Baoshu (erschienen in der Anthologie „Zerbrochene Sterne“), wird dafür die Übersetzung 'Großmeister Liu' verwendet.

Barack Obama zeigte sich als großer Fan der Trisolaris-Trilogie, listete das erste Buch „Die drei Sonnen“ in seiner Buchleseliste für den Sommer 20XX und nannte es in einem Interview „wildly imaginative, really interesting“. Bei einem Besuch von Obama in Beijing im XXXX 20XX

Am 20. April 2023 hielt Liu Cixin anlässlich des Chinese Language Day eine Rede vor den Vereinten Nationen.

Draft: Die wandernde Erde III

Hintergrund

Einige Fans nennen den Film scherzhaft "Das wandernde Ohr"(流浪耳朵). Das liegt daran, dass das offizielle Poster des zweiten Teils das letzte "H" des englischen Titels ("THE WANDERING EARTH") in die römische Zahl "II" umwandelte und daher einige nicht offizielle Poster des dritten Teils das "TH" in "III", was "EARTH" (englisch für Erde) auf "EAR" (englisch für Ohr) reduziert. Aber es wird erwartet, dass das offizielle Poster stattdessen das "E" in die chinesische Zahl "三" umwandeln wird, um ebenfalls Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin zu referenzieren.

Draft: Hold Up The Sky (de)

Hold Up The Sky ist eine Science-Fiction-Anthologie aus elf Kurzgeschichten des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

• Der Dorflehrer (乡村教师, Pinyin xiāngcūn jiàoshī)
• The Time Migration, englisch für Zeitmigration (时间移民, Pinyin shíjiān yímín)
• 2018-04-01 (2018年4月1日, Pinyin 2018 nián 4 yuè 1 rì)
• Fire in the Earth, englisch für Feuer in der Erde (地火, Pinyin de huǒ)
• Contraction, englisch für Kontraktion (坍缩, Pinyin tānsuō)
• Spiegel (镜子, Pinyin jìngzi)
• Ode to Joy, englisch für Ode an die Freude (欢乐颂, Pinyin huānlè sòng)
• Full-Spectrum Barrage Ramming, englisch für Rocken auf ganzer Frequenz (全频带阻塞干扰, Pinyin quán píndài zǔsè gānrǎo)
• Meer der Träume (梦之海, Pinyin mèng zhī hǎi)
• Cloud of Poems, englisch für Wolke der Gedichte (诗云, Pinyin shīyún)
• The Thinker, englisch für Der Denker (思想者, Pinyin sīxiǎng zhě)

Der Dorflehrer (chinesisch 乡村教师, Pinyin xiāngcūn jiàoshī) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

In einem abgelegenen Bergdorf in China unterrichtet der Dorflehrer jeden Tag sämtliche Kinder. Eine Reise in die Stadt und Ruhm und Reichtum hatten ihn nie interessiert. Aufgrund einer Krankheit hat der Dorflehrer jedoch nicht mehr lange zu leben. Nahe des galaktischen Zentrums nähert sich derweil ein fünfzigtausend Jahre währender interstellarer Krieg zwischen kohlenstoff- und siliziumbasieren Zivilisationen einem Ende. Erstere wollen im Perseusarm einen Schutzwall gegen letztere errichten, dazu wäre die Zerstörung von etwa hundert Millionen Sternen notwendig. Intelligente Zivilisationen sollen jedoch verschont bleiben, daher schwärmen Raumschiffe aus, welche die betroffenen Systeme absuchen. Eines dieser Raumschiffe erreicht die Erde gerade, als der Dorflehrer in seinen letzten Momenten noch einmal in aller Eile die wichtigsten Lektionen für seine Klasse zitiert, wie ein Licht kurz vor dem Erlöschen noch einmal hell aufglimmt. Nach seinem Tod wählt das Raumschiff die Klasse für den Intelligenztest aus und befragt Kopien ihrer Gehirne. Letztendlich wird die Menschheit dadurch als intelligent eingestuft und entgeht der Zerstörung. Bei genauerer Überprüfung sind die Außerirdischen sehr erstaunt, da ihnen das Konzept eines Dorflehrers zur Weitergabe von Wissen vollkommen fremd ist, und halten die Menschheit daher für eine äußerst besondere Zivilisation.

Kritik

Paul Di Filippo schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte eine perfekte Erfüllung ("perfect fulfillment") der angegebenen Intention von Hold Up the Sky sei, sich mit der Beziehung zwischen kleinen Menschen und dem großen Universum zu beschäftigen ("imagine the relationship between small people and the great universe"). Das Leben des Dorflehrers sei dabei wahrlich bedauernswert und versprühe doch Pathos ("truly despairing and pathos-inducing") und seine Hingabe sowie Tatendrang und kleinere Erfolge scheinen mit seinem Tod verdammt zu sein, vollkommen nutzlos zu werden ("his dedication and drive and small achievements seem doomed to dissipate uselessly with his death"), doch als die Opfer des Lehrers sich auszahlen ("the teacher’s sacrifices pay off") geschieht es überraschend ("suddenly") und unvorhersehbar ("unpredictably"). Insgesamt sei die Kurzgeschichte simakinesisch in ihrer tiefen moralischen Einfachheit und emotionalem Eindruck ("Simakian in its deep moral simplicity and emotional impact").

Rachel Cordasco schreibt in World Literature Today, dass Der Dorflehrer und The Thinker, welche jeweils die erste und letzte Kurzgeschichte in Hold Up the Sky sind, die zwei erfolgreichsten Geschichten der Sammlung ("two most successful stories in this collection"), da sich diese als perfekte Buchenden eignen ("serve as perfect bookends").

Nicole Beck schreibt in Strange Horizons, dass die Beschreibungen voller sensibler Details über das tägliche Leben im ländlichen China sind ("descriptions are packed with sensitive details, evoking daily life in poor, rural China") und dass wieder der Kontrast von Größe zu fühlen ist, indem einige wenige Menschen dem Universum und Wesen gegenübergestellt werden, die so fortgeschritten sind, dass sie Sterne als Waffe benutzen ("once again the reader is made to feel the contrast of scale: a few human lives against a universe full of creatures so advanced they use stars as weapons"). Die gesamte Beschreibung ("entire portrayal") des Hauptcharakters ist mehr nuanciert als erwartet ("is more nuanced than expected") und auch wenn es insgesamt einen Mangel an Komplexität in der Psychologie der Charaktere der Sammlung gebe, ist es doch nichts, was vom Gesamterlebnis ablenkt ("even though there is a general lack of complexity in the psychology of this collection’s characters, it's not necessarily something that detracts from the whole experience").

The Time Migration (englisch für Zeitmigration, chinesisch 时间移民, Pinyin shíjiān yímín) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

2018-04-01 (chinesisch 2018年4月1日, Pinyin 2018 nián 4 yuè 1 rì) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

In der Zukunft ist durch Generweiterung, bei welcher die natürliche Alterung der Zellen verlangsamt wird, die Erhöhung der Lebensspanne auf dreihundert Jahre möglich. Der Protagonist arbeitet in einer Bank und plant schon länger den Diebstahl der nötigen fünf Millionen Yuan, denn selbst zwanzig Jahre Gefängnis wiegen den Gewinn durch Generweiterung nicht auf. Nur seine Liebe Jian Jian lässt ihn zögern. Nach einem Aprilscherz seiner Kollegen darüber, dass die digitale IT-Republik alles digitale Geld gelöscht habe, beginnt der Protagonist zu handeln. Er besucht Jian Jian um zu reden, als sie beginnt ihr Bedauern darüber auszudrücken, dass sie immer noch jung sein wird, wenn er schon alt ist. Es stellt sich heraus, dass Jian Jian sich nicht der Generweiterung unterzogen hat, sondern genug Geld gespart hat, um hundert Jahre in den Kälteschlaf zu gehen, nach denen die Generweiterung vermutlich billiger sein wird. Der Protagonist stiehlt sofort die fünf Millionen Yuan und bekommt einen Anruf über seine morgen vollzogene Generweiterung, dann nachdenklich darüber mit Jian Jian zu den ersten Menschen zu gehören, die wahrhaftig die Ewigkeit berühren.

Fire in the Earth (englisch für Feuer in der Erde, chinesisch 地火, Pinyin de huǒ) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Contraction (englisch für Kontraktion, chinesisch 坍缩, Pinyin tānsuō) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Nach Aufstellung der Große vereinheitlichte Theorie berechnet der theoretische Physiker Ding Yi den exakten Moment, in welchem die Expansion des Universums sich umkehren und zu einer Kontraktion werden wird. Während einer Konferenz zur Erwartung dieses Momentes, welcher noch am selben Tag geschehen soll, erklärt Ding Yi die Grundlagen der Berechnungen, etwa wie Neutrinos mit ihrer geringen Masse und dunkle Materie gemeinsam die Kontraktion verursachen und wie dies anhand des Wechsels von Rotverschiebung zu Blauverschiebung beobachtet werden kann. Als eine Kollegin hereinkommt und erklärt, dass ihr Vater soeben gestorben ist, ist Ding Yi völlig unbeeindruckt und meint, dass sie sich keine Sorgen machen müsse. Die Kollegin wird sauer und belehrt Ding Yi, dass Väter mit einem viel größeren Einfluss auf unser Leben weitaus wichtiger seien als der Farbwechsel irgendwelcher Frequenzen, die uns keineswegs beeinflussen. Ding Yi lehnt das ruhig ab und enthüllt die Nachwirkung des Beginns der Kontrkation: Die Zeit wird dann rückwärts ablaufen. Was einst unsere Vergangenheit war, wird dann unsere Zukunft sein. Alle werden rückwärts sprechen und laufen, aber niemand wird irgendetwas vorab wissen, da man sich nur an die Vergangenheit aber nicht die Zukunft erinnern könne. Das Publikum reagiert schockiert als der Countdown endet und das Zeitalter der Kontraktion beginnt.

Spiegel (chinesisch 镜子, Pinyin jìngzi) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Song Cheng sitzt wegen des Mordes an der Nachtclubtänzerin Luoluo zu Unrecht im Gefängnis. Luoluo hatte Suizid mithilfe von entzündetem Propan in einem verschlossenen Auto begangen und davor kurz bei der Polizei angerufen, um Song Cheng als angeblichen Mörder zu nennen. Bei ihrer gemeinsamen Nacht hatte er sich bei ihr mit AIDS angesteckt. Song Cheng bekommt Besuch von Bai Bing, welcher die Wahrheit kennt. Der schnelle Fortschritt der Stringtheorie erlaubte zum einen den Bau extrem leistungsfähiger Superstringcomputer und zum anderen die genaue Beschreibung der Singularität, aus welcher das Universum während des Urknalls entstand. Bai Bing probierte die möglichen Anfangsparameter durch und konnte dadurch das gesamte Universum selbst simulieren. Dadurch ließ sich neben dem Selbstmord von Luoluo auch die Geschichte der Menschheit beobachten, etwa haben der Trojanische Krieg und die Reise von Marco Polo nie wirklich stattgefunden. Ein beteiligter Polizist begeht Suizid nach Kenntnis dieser alles verändernden Technologie. Song Cheng kommt frei und fragt nach der Simulation der Zukunft, jedoch ist Bai Bing dazu nicht in der Lage, da der Superstringcomputer sich schließlich im von ihm simulierten Universum ebenfalls wieder befindet, also daher die eigenen Simulation vorab simulieren müsste. Kurze Zeit später gelingt Bai Bing jedoch die Simulation der weit entfernten Zukunft. In dreizigtausend Jahren wird die Menschheit durch die weite Nutzung der Technologie aussterben und bis zu ihrem letzten Tag einen „Nick Kristoff“ als dessen Erfinder verehren. Schockiert wollen Bai Bing und Song Cheng alles geheim halten, doch gerade einmal fünf Monate später findet Nick Kristoff die Ausgangsparameter für die Simulation des eigenen Universums.

Ode to Joy (englisch für Ode an die Freude, chinesisch 欢乐颂, Pinyin huānlè sòng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Während einer Konferenz sämtlicher Staatsoberhäupter der Welt wird die Auflösung der Vereinten Nationen beschlossen. Völlig unerwartet taucht am Tageshimmel plötzlich eine weitere Erde auf und kommt schließlich zum Stillstand. Tatsächlich ist es jedoch nur ein gewaltiger Spiegel, welcher von Astronauten kurz darauf untersucht wird. Seltsamerweise ist der Spiegel extrem dünn und kann einfach ohne Zerstörung des Materials passiert werden. Während die Astronauten sich darüber wundern, spricht der Spiegel zur ganzen Weltbevölkerung und führt dabei einen Dialog mit den versammelten Staatsoberhäuptern. Dabei erzählt der Spiegel, von einer alten außerirdischen Zivilisation erschaffen worden zu sein und durch das Universum zu reisen sowie mithilfe der Sonne oder anderen Sternen fähig zur Verstärkung von Musik zu sein. Kurz vor dem Abflug des Spiegels wünscht sich jemand die Neunte Sinfonie von Ludwig van Beethoven, dessen Text aus An die Freunde von Friedrich Schiller stammt. Nachdem der Spiegel die Erde verlassen hat, sind sich alle Staatsoberhäupter einig, dass die Vereinten Nationen doch weiterbestehen sollen. Während des Fluges durch das Weltall denkt der Spiegel derweil glücklich an die schöne Musik zurück.

Full-Spectrum Barrage Jamming (englisch für Rocken auf ganzer Frequenz, chinesisch 全频带阻塞干扰, Pinyin quán píndài zǔsè gānrǎo) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Meer der Träume (chinesisch 梦之海, Pinyin mèng zhī hǎi) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Während eines Eisskulpturen-Festivals am Songhua-Fluss trifft eine Eiskugel aus dem Himmel ein. Diese nimmt Kontakt mit den Künstlern auf und enthüllt sich selbst als ein Außerirdischer von für Menschen unverständlicher Form eingeschlossen in der Eiskugel und nennt sich selbst einen Tieftemperaturkünstler. Nur eines der Werke weckt dessen Interesse, welches von Yang Dong stammt, die dafür Wasser auf dünnen Membranen gefrieren ließ und so einzigartige Formen aus Eiskristalle erschuf. Sie wird dadurch zur Kollegin und Freundin des Tieftemperaturkünstlers, doch dieser will mit ihr nur über Kunst reden. Während der Tieftemperaturkünstler ein neues Werk mit aus den Ozeanen gerissenen und in den Orbit geschossenen Eisblöcken beginnt, fragt Yan Dong stattdessen über Physik und äußert Bedenken wegen der Forstexistenz der Menschheit. Zunächst beantwortet der Tieftemperaturkünstler diese und erklärt, von einer extrem kalten Wolke aus dunkler Materie aus dem intergalaktischen Raum zu stammen und zu glauben, dass nur Kunst ein Grund für die Fortexistenz sein kann, da eine fortgeschrittene Zivilisation irgendwann das Ende der Wissenschaft erreichen und ihre Fortexistenz trivial machen wird. Als Yan Dong weiterfragt, wird der Tieftemperaturkünstler jedoch wütend und nennt sie selbst trivial und nur neidisch. Nachdem jeder Ozean transportiert wurde, verbringt Yan tatsächlich tageöang ohne zu essen oder zu trinken mit der Bewunderung des wnderschönen Ringes aus Eis um die Erde, welchen sie als Meer der Träume bezeichnet. Nach einem letzten Gespräch verschwindet der Tieftemperaturkünstler für immer. Die Menschheit beginnt daraufhin ein Projekt, für welches Raketen in den Weltraum gestartet werden, um das Eis auf die Erde zurückzuziehen. Yan Dong und andere Menschen schlagen dabei ebenfalls vor, Laser auf das Eis auszurichten um dieses zu verdampfen und dadurch zu bewegen. Die ersten Meteore landen und verursachen große Freude, da durch diese endlich wieder Regen fällt, doch weitere Meteore verdampfen nicht vollständig und schlagen in Städte ein oder wirbeln staub auf, wodruch eine kleine Eiszeit verursacht wird. Zehn Jahre später wurden achtzig Prozent der Ozeane wieder hergestellt, während der Rest des Wassers in den Weltraum verdampft ist. Die Menschheit beginnt ebenfalls ein Projekt über mehrere Generationen hinweg, für welches Wasser von Jupiter und Saturn zur Erde gebracht werden sollen sowie sogar Europa als neuer Mond in einen Orbit um die Erde verschoben werden soll. Yan Dong kehrt zum Songhua-Fluss zurück, wo das Eisskulturen-Festival erneut aufgenommen wurde. Zufrieden zieht schneidet die Gruppe den ersten Eiswürfel aus der gefrorenen Oberfläche.

Cloud of Poems (englisch für Wolke der Gedichte, chinesisch 诗云, Pinyin shīyún) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Handlung

Nach den Ereignissen von Weltenzerstörer kehrte dieser zur Erde zurück und half diese auszuhöhlen und eine Welt für Menschen darin zu erschaffen. Die Sonne im Zentrum ist tatsächlich ein Weißes Loch, welches das Licht vom zugehörigen Schwarzen Loch im Orbit um einen anderen Stern abstrahlt. Künstliche Gravitation wird durch eine schnellere Erdrotation erzeugt, sodass keine an den Polen herrscht. Der Mensch Yiyi, der Dinosaurier Großzahn und ein außerirdische Klon des chinesischen Dichters Li Bai sind auf dem Weg zum Südpol, um die Erde zu verlassen und die Wolke der Gedichte anzusehen. Zuvor hatten die Dinosaurier den Kontakt mit einer gottgleichen außerirdischen Zivilisation hergestellt, die wegen ihrer fortgeschrittenen Technologie auf Literatur herabsieht. Einer der Götter redet mit Yiyi und Großzahn und klont Li Bai, um sein Bewusstsein in diesen zu übertragen und diese Ansicht zu demonstrieren. Nachdem Yiyi immer noch widerspricht, da es für Außerirdische einfach unmöglich ist wie Menschen zu fühlen und zu denken, will Li Bai das ganze Sonnensystem in einen Speicher umwandeln und jedes mögliche Gedicht schreiben, um seine ursprüngliche Version zu übertreffen. Eine Flotte seiner Zivilisation trifft ein und vernichtet ebenfalls den Weltenzerstörer, wobei nur wenige Dinosaurier zur Erde entkommen. Danach wird der Nebel erschaffen, den Yiyi, Großzahn und Li Bai nach Verlassen der Erde sehen können. Yiyi ist nun beeindruckt von der Technologie während Li Bai sich an den erschaffenen Gedichten erfreut und sogar von einem erzählt, in welchem sein Freund Yiyi wahre Liebe findet.

The Thinker (englisch für Der Denker, chinesisch 思想者, Pinyin sīxiǎng zhě) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin.

Hintergrund

Die Kurzgeschichte „Ode to Joy“ (2005) wird unter ihrem Titel als alternative Geschichte des Sophons bezeichnet, einer außerirdischen Pikotechnologie aus „Die drei Sonnen“ (2006), einem Roman von Liu Cixin. Die Beschreibungen des sich selbst bewussten Objektes in beiden Werken gleichen einander dabei in den wichtigsten Punkten.

Andere Teile der Trisolaris-Trilogie haben ihre Wurzel ebenfalls in den Kurzgeschichten. So gibt es einen theoretischen Physiker namens Ding Yi, der gerne Pfeife raucht, sowohl in „Contraction“ (1985) als auch in der Trisolaris-Trilogie (2006-2010) sowie der im selben Universum spielenden Vorgeschichte „Kugelblitz“ (2004). Der Vergleich der Milchstraße mit einem Gehirn und der „Lähmung“ aufgrund der langsamen Lichtgeschwindigkeit aus „The Thinker“ (2003) findet sich in ganz ähnlicher Formulierung als „Dreihunderttausend-Syndrom“ ebenfalls in „Jenseits der Zeit“ (2010).

Draft: Invisible Planets (de)

Invisible Planets ist eine Science-Fiction-Anthologie aus dreizehn Kurzgeschichten und drei Essays verschiedener chinesischer Schriftsteller, darunter Chen Qiufan, Xia Jia, Ma Boyong, Hao Jingfang, Tang Fei, Cheng Jingbo und Liu Cixin.

The Year of the Rat

von Chen Qiufan, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

The Fish of Lijiang

von Chen Qiufan, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

The Flower of Shazui

von Chen Qiufan, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

A Hundred Ghosts Parade Tonight

von Xia Jia, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Tontong's Summer

von Xia Jia, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Night Journey of the Dragon-House

von Xia Jia, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

The City of Silence

von Ma Boyong, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Invisible Planets

von Hao Jingfang, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Folding Beijing

von Hao Jingfang, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Call Girl

von Tang Fei, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Grave of the Fireflies

von Cheng Jingbo, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

The Circle

von Liu Cixin, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX

Taking Care of God

von Liu Cixin, veröffentlicht unter dem Originaltitel XXXX. Ebenfalls erschienen in der Anthologie Die wandernde Erde.

Eines Tages tauchen tausende Raumschiffe im Erdorbit auf und zeitgleich Millionen an bärtigen alten Männer in den Großstädten der Welt. Diese behaupten zum einen, die Menschheit erschaffen zu haben, was sich durch vergrabene Technologien zur Überwachung als wahr herausstellt, und zum anderen, dass ihre Zivilisation nun alt geworden sei (etwa ihre eigene Technologie nicht mehr versteht) und nun der Versorgung durch die Menschheit bedarf. Da sie dies kommen sahen, erschufen sie die Menschheit und begaben sich auf einen Dilatationsflug. Jede Familie soll daraufhin per Gesetz einen der „Götter“, die knapp dreitausend Jahre alt sind, aufnehmen und es beginnt das Pflegezeitalter. Die Menschen erhalten die technologischen Errungenschaften der Götter, können damit jedoch überhaupt nichts anfangen. Mit dem Gott in der Familie von Qiusheng gibt es zahlreiche Probleme und Missverständnisse. Ein wenig Zuneigung zueinander keimt auf, als der Gott der Familie von Qiusheng anvertraut, dass das von ihm immer betrachtete Foto in Wahrheit ein Empfangsgerät von einem Raumschiff seiner Geliebten ist, welches sich in achtzig Millionen Lichtjahren Entfernung befindet. Die Götter beschließen jedoch gemeinsam die Erde zu verlassen. Nicht weil sie schlecht behandelt wurden, sondern weil sie kein Mitleid wollen. Einst retteten die Götter sogar die Milchstraße vor der Auslöschung allen Lebens. Als Abschiedsgeschenk vertrauen sie ihnen an, noch drei weitere Zivilisationen auf anderen Planeten erschaffen zu haben, die jedoch wesentlich grausamer sind. Eine von ihnen hat die Koordinaten der Erde herausgefunden, daher muss die Menschheit schnellstmöglich fliehen. Während des Abfluges der Götter wundert sich die Familie von Qiusheng, wer sich irgendwann um die Menschheit kümmern wird, wenn diese alt geworden ist.

Draft: Hospital-Trilogie

Die Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ) ist eine dystopischer Science-Fiction-Trilogie des chinesischen Schriftstellers Han Song, bestehend aus dem Romanen Hospital, Exorcism und Dead Souls.

Übersetzung

Michael Berry berichtete von der Übersetzung der Hospital-Trilogie in The Paris Review am 26. Januar 2024, dass diese ihn voll eingenommen und sogar verfolgt habe („translating the trilogy has fully consumed, even haunted me“). Sein Fazit ist, von der Trilogie immer mehr wie ein Traum oder sogar Alptraum zu denken, die auf einer tiefen Ebene des Bewusstseins stattfindet und erlebt statt intellektualisiert oder analyisiert werden sollte („think of the trilogy as a dream, or a nightmare, taking place on a deep subconscious level; it is meant to be experienced more than intellectualized or analyzed“).

Weblinks

• Hospital-Trilogie in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Draft: Exorcism (de)

Exorcism (chinesisch 驱魔, Pinyin qūmó) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der zweite Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2017 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am 28. November 2023 bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Exorcism eine Bewertung von 7,1/10 Sternen.

Weblinks

• Exorcism (englische Version), Exorcism (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Exorcism auf Douban (chinesisch)

Draft: Dead Souls (de)

Dead Souls (chinesisch 亡灵, Pinyin wánglíng) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der dritte Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2018 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am XXXX bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Dead Souls eine Bewertung von 8,1/10 Sternen.

Weblinks

• Dead Souls (englische Version), Exorcism (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Dead Souls auf Douban (chinesisch)

Draft: Die Siliziuminsel

Die Siliziuminsel (chinesisch 荒潮, Pinyin huāng cháo) ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan. Es ist der erste von ihm verfasste. Die deutsche Ausgabe wurde am 9. September 2019 vom Heyne Verlag veröffentlicht. Die Übersetzung stammt von Marc Hermann.

Handlung

Kritik

Draft: Poincaré-Homologiesphäre

Die Einhängung der Poincaré-Homologiesphäre ist eine homologische Mannigfaltigkeit, die keine topologische Mannigfaltigkeit ist.

Draft: Klassifizierender Raum von Sp(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist ein Spezialfall eines klassifizierenden Raumes und dient der Klassifikation von $\operatorname {Sp} (n)$-Hauptfaserbündeln über parakompakten Räumen.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSp} (n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSp} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Draft: Totaler Raum von O(n)

Der totale Raum $\operatorname {EO} (n)$ der orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

• $\operatorname {EO} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EO} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EO(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SO(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESO} (n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {R} ^{k})$

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Eigenschaften

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESO} =\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESO(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von U(n)

Der totale Raum $\operatorname {EU} (n)$ der unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {C} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {C} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {EU} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EU} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EU(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SU(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESU} (n)$ der speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SU} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESU(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von Sp(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {ESp} (n):=V_{n}(\mathbb {H} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {H} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {ESp} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESp} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESp} (n)$.

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)

Weblinks

• ESp(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Drafts aus dem Blockseminar

Das Llarull-Theorem aus der Riemannschen Geometrie besagt

Benannt ist das Theorem nach dem Mathematiker Marcelo Llarull, welcher es in Mathematische Annalen im Jahr 1998 veröffentlichte.

Weblinks

• Llarull's theorem auf nLab (englisch)

Die Geroch-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine Vermutung darüber, dass Metriken mit positiver Skalarkrümmung auf Tori flach sein müssen.

In zwei Dimensionen, für welche die Gaußsche Krümmung $K$ gleich der Skalarkrümmung $\operatorname {scal}$ ist, ist die Geroch-Vermutung eine direkte Folge aus dem Satz von Gauß-Bonnet. Für eine Metrik $g$ auf dem Torus $T^{2}$ gilt aufgrund von dessen verschwindender Euler-Charakteristik:

$\int _{T^{2}}K\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\int _{T^{2}}\operatorname {scal} _{g}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=4\pi \chi (T^{2})=0.$

Weblinks

• Geroch conjecture auf nLab (englisch)

Die Min-Oo-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine widerlegte Vermutung darüber, dass bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten isometrisch zur Sphäre gleicher Dimension mit der Standardmetrik sein müssen. Aufgestellt und benannt wurde die Vermutung von Maung Min-Oo, welcher im Jahr XXXX einen fehlerhaften Beweis für diese veröffentlichte. Korrekt ist die Vermutung nur in zwei Dimensionen, wobei die Widerlegung in höheren Dimensionen von Simon Brendle, Fernando Marques und André Neves im Jahr 2010 gefunden wurde.

Die Min-Oo-Vermutung besagt, dass eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit

Weblinks

• Min-Oo conjecture auf nLab (englisch)

Die Lichnerowicz-Formel (oder Lichnerowicz-Weitzenböck-Formel) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine grundlegende Gleichung für Spinoren auf Pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. Benannt ist die Formel nach André Lichnerowicz und Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Lichnerowicz formula auf nLab (englisch)

Die Weitzenböck-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die Weitzenböck-Identität ist das reelle Analogon der Bochner-Kodaira-Nakano-Identität. Benannt ist die Identität nach Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Weitzenböck formula auf nLab (englisch)

Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist das komplexe Analogon der Weitzenböck-Identität. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner, Kunihiko Kodaira und Hidegoro Nakano.

Weblinks

• Bochner-Kodaira-Nakano identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Identität über harmonische Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeit. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Formel ist im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Formel über die Verbindung von harmonischen Abbildungen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ihrer Ricci-Krümmung. Benannt ist die Formel nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner formula auf nLab (englisch)

Drafts zu Stratifizierung

Ein stratifizierter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einer Stratifizierung, also einer Zerlegung in Unterräume, welche in einer gewissen Weise gutartig sind.

Weblinks

• stratification auf nLab (englisch)
• stratified space auf nLab (englisch)

Eine Whitney-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine spezielle Stratifizierung, deren Strata die Whitney-Bedingungen erfüllt. Diese sind zwei Bedingungen an Paare an disjunkte und lokal abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Thom–Mather-Stratifizierung

Weblinks

• Whitney stratifications auf nLab (englisch)

Eine Thom-Mather-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine spezielle Stratifizierung, dessen Strata jeweils topologische Mannigfaltigkeiten sind.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Weblinks

• Thom-Mather stratifications auf nLab (englisch)

Eine Harder–Narasimhan-Stratifikation ist in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen und komplexen Geometrie eine spezielle Stratifizierung des Modulstacks von Hauptfaserbündeln durch lokal abgeschlossene Unterstacks.

Siehe auch

• Thom–Mather-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Weblinks

• Harder-Narasimhan stratifications auf nLab (englisch)

Ein Stratifold ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie

Weblinks

• stratifolds auf nLab (englisch)

Drafts zur Morse-Theorie

Die digitale Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• digital Morse theory auf nLab (englisch)

Die diskrete Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• discrete Morse theory auf nLab (englisch)

Die kreiswertige Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• circle-valued Morse theory auf nLab (englisch)

Die stratifizierte Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie

Weblinks

• stratified Morse theory auf nLab (englisch)

#Notizen

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Saddam Hussein wird von der „Republikanergarde“ befreit und verjagt die Vereinigten Staaten aus dem Irak. Michail Gorbatschow vereint als Reaktion auf massive Wirtschaftsprobleme eine Reihe von Ländern in der Sowjetunion, dem sich der östliche Teil des in zwei Teile zerbrochenen Deutschlands anschließt.

The Merchant and the Alchimist's Gate

XXXX tells the majesty of Baghdad of his meeting with a vendor of the city, who has build an arc leading twenty years into the past or future depending on the direction it has been crossed, and three stories told about it. Hassan, a rope vendor, learns from his older self, who is unexpected wealthy, during regular visits, including how to avoid misfortune and the location of a buried treasure. A non-expected pocket thief lets him realize, how good it was to not know anything ahead, and does not return to the future after a last visit. Ajib, a poor man who heard this story, finds himself still being poor in the future, but having an unused chest of golden dirham, which he steals to instead have a good life. One day, all His wealth gets stolen from him and his wife appealing to his honor persuades him to recollect everything to give back to the generous donor not known to her. XXXX, the wife of the older Hassan, finds the shop previously described by him and witnesses her husband twenty years prior trying to sell a necklace later given to her with the criminal shop owner recognizing it as part of his buried chest. Together with herself after another twenty years, she tricks the shop owner to believe that the necklace is very common and saves her future husband. She then begins a short affair with him and turns him into the good lover she will meet later. XXXX wants to use the doorway himself and

The Merchant and the Alchimist's Gate

Vor dem Majestät von Baghdad erzählt XXXX von einem Treffen mit einem Händler der Stadt, welcher ein Tor gebaut hat, dessen Passage in die eine oder andere Richtung jeweils zwanzig Jahre in die Vergangenheit oder Zukunft führt, sowie drei Geschichten darüber. Hassan, ein Seilverkäufer, erfährt bei regelmäßigen Besuchen bei sich selbst in der Zukunft, dort inzwischen ungewöhnlich reich, von zahlreichen zu vermeidenden Unglücken sowie einer vergrabenen Schatztruhe. Ein nicht angekündigter Taschendieb lässt ihn dabei wieder erkennen, wie schön es ist, etwas nicht zu wissen und kehrt nach einem letzten Besuch nicht mehr in die Zukunft zurück. Ajib, ein armer Mann, der diese Geschichte hörte, findet sich selbst in der Zukunft verarmt, aber mit einer unbenutzten Schatztruhe voller goldener Dirham vor, und stiehlt diese, um damit ein schönes Leben zu führen. Eines Tages wird ihm das gesamte Vermögen gestohlen und ein Aufruf an seine Ehre durch seine Ehefrau lässt ihn alles erneut für den nur ihr unbekannten Spender sammeln, um es ihm zurückzugeben. XXXX, die Ehefrau des älteren Hassan, findet den von ihm beschriebenen Laden und beobachtet zwanzig Jahre zuvor, wie Hassan versucht eine später an sie verschenkte Kette zu verkaufen, wobei der kriminelle Verkäufer diese als Teil der von ihm vergrabenen Schatztruhe erkennt. Zusammen mit sich selbst nach weiteren zwanzig Jahren täuscht sie dem Verkäufer vor, die Kette sei äußerst häufig und rettet ihren zukünftigen Ehemann. Daraufhin beginnt sie eine kurze Affäre mit ihm und macht dabei aus ihm den guten Liebhaber, den sie später kennenlernen sollte. XXXX will das Tor daraufhin selbst benutzen, um den Einsturz einer Moschee in Baghdad zu verhindern, muss jedoch nach Kairo reisen, da das Tor des von dort umgezogen Händlers in Baghdad noch keine zwanzig Jahre alt ist. XXXX trifft dabei kurz auf XXXX. Wegen zahlreicher Verzögerungen seiner Karawane durch Stürme kommt XXXX jedoch zu spät zurück nach Baghdad. Doch da seine Behauptung, das Kind des Majestäten würde als Albino geboren, sich bewahrheitet, wird er vor diesen geführt, um seine Geschichte zu erzählen. XXXX schließt nun vor dem Majestät, dass sich die Vergangenheit nicht ändern lasse und ihm seine eigene Zukunft nun unbekannt ist.

Liviu Suciu writes on fantasybookcritic.blogspot.com, that the novel is „top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“ and it is „the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“.

Liviu Suciu schreibt auf fantasybookcritic.blogspot.com, dass Greg Egan den besten Roman des Jahres geschrieben habe, aufgrund der Kombination des Sinn für Wunder, großartige Erschaffung von Welten und Charaktere („top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“) und es genau der Roman wäre, der zu empfehlen sei, um die Begeisterung für das Genre aufzuzeigen („the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“).

Reversing the flow of time is known as T-symmetry and part of the CPT theorem in Quantum field theory, where also charge (C-symmetry) and parity (P-symmetry) are reversed. In the novel, the idea appears near the beginning, when the last deacceleration phase is discussed and some characters are thinking, that their engines won't work when sending photons into the past of the interstellar dust around. They eventually realize, that an absorption for them will correspond to an emission for the interstellar dust under T-symmetry, and hence won't be a problem at all. The principle also lays the foundation for in the messaging system, for which receiving time-inversed light from the future is observed as an emission from the camera (contrary to receiving normal light from the past being observed as absorption). It also causes problems on the time-inverted world of Esilio, for example by making it impossible to take samples back to the Peerless as in this case they have never been part of the planet in the first place. But the crew notices Esilian dust inside their spaceships, hence samples from the planet that have been in the Peerless and Surveyor all along.

The final scientific discovery presented in the novel is that of the topology of the universe. The sign change in the metric is directly visible in the wave operator, given in our universe by $\square =-\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ and by $\square =\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ in the universe of Orthogonal. (Non-constant) solutions to the latter (for example electromagnetic waves) diverge, requiring the universe to be finite in every direction, a mathematical property known as compactness. This topic was already dealt with by Yalda when researching light in the sequel The Clockwork Rocket, who suspected the universe to be a 4-torus. However, after the innovation blockade in The Arrows of Time is lifted, Lila's student Pelagia concludes this to contradict itself. Due to the periodicity in every direction, a Fourier expansion can be used to describe the fields, whose coefficients (also called modes) contribute to the vacuum energy. (This is for example used in string theories when describing closed strings.) As in every one of the four directions, there can either be a sign change or not for fermions, there are sixteen different possibilities for them in total, resulting in a too large negative contribution to the vacuum energy, making the universe have positive curvature everywhere. With the Gauss–Bonnet theorem, this gives a contradiction for the Euler characteristic ($\chi (T^{4})=0$, hence for every area of positive curvature, there has to be a corresponding area of negative curvature). On a 4-sphere on the other hand, every loop is contractible, hence there is no sign change for fermions at all. There is no inevitable contradiction, but instead the requirement for the vacuum energy, curvature and density to not be uniform, which explains the entropy gradient and the arrows of time, giving rise to the entire existence of the characters.

Projektive Räume:

Homotopie

Die Homotopiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$????$

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$H^{k}(\mathbb {H} P^{n})\cong ????$