Barkhausensche Röhrenformel

Die Barkhausensche Röhrenformel, benannt nach dem deutschen Physiker Heinrich Georg Barkhausen, fasst die drei charakteristischen Größen einer Elektronenröhre

• Steilheit S
• Durchgriff D
• Innenwiderstand R_i

in der Beziehung

$S\cdot D\cdot R_{i}=1$

zusammen.

Die Entdeckung der Zusammenhänge und Niederschrift als Formel wird fälschlicherweise Barkhausen zugeschrieben, tatsächlich wurde diese bereits 1914 von Hendrik van der Bijl, einem Mitarbeiter der Western Electric, in den USA festgehalten. Barkhausen hat diese Formel im Rahmen seiner ab 1918 erfolgenden, umfangreichen Forschungen zu den Vorgängen in Elektronenröhren einem größeren Publikum zugänglich gemacht.

Dabei ist die Steilheit S definiert als

$S=\left[{\frac {\partial I_{a}}{\partial U_{g}}}\right]_{U_{a}={\rm {konstant}}}\approx \left[{\frac {\Delta I_{a}}{\Delta U_{g}}}\right]_{U_{a}={\rm {konstant}}}$

was man als Steigung des Graphen I_a aufgetragen über U_g ablesen kann.

Für den Durchgriff D gilt der Zusammenhang

$D=-\left[{\frac {\partial U_{g}}{\partial U_{a}}}\right]_{I_{a}={\rm {konstant}}}\approx -\left[{\frac {\Delta U_{g}}{\Delta U_{a}}}\right]_{I_{a}={\rm {konstant}}}.$

Der Innenwiderstand R_i schließlich lässt sich als reziproke Steigung des Graphen I_a aufgetragen über U_a ablesen. Formelmäßig ausgedrückt:

$R_{i}=\left[{\frac {\partial U_{a}}{\partial I_{a}}}\right]_{U_{g}={\rm {konstant}}}\approx \left[{\frac {\Delta U_{a}}{\Delta I_{a}}}\right]_{U_{g}={\rm {konstant}}}.$

In allen drei Formeln bezeichnet I_a den Anodenstrom, U_a die Anodenspannung und U_g die am Gitter anliegende Spannung.

Vorzeichendiskrepanzen

In der Fachliteratur immer wieder falsch angegeben ist das Vorzeichen des Durchgriffs. Zusammen mit der Tatsache, dass das Ergebnis der Formel +1 ist, erscheint eine einzelne negative Zahl innerhalb der Formel falsch.

Aus der Definition des Durchgriffs geht hervor, dass der Durchgriff das Verhältnis der Anoden- zu Gitterspannung ist, damit der Anodenstrom konstant bleibt. Das heißt, bei steigender Anodenspannung muss die Gittervorspannung negativer werden, um den Anodenstrom konstant zu halten. Umgekehrt muss bei sinkender Anodenspannung die Gittervorspannung positiver werden, um den Anodenstrom konstant zu halten. Das Vorzeichen ist daher negativ.

Auf der rechten Seite der Röhrenformel steht nach der Multiplikation aller Werte trotzdem +1, denn nach dem Einsetzen der Differenzen in die Röhrenformel dürfen diese Differenzen nicht heraus gekürzt werden. Das ist mathematisch falsch, weil sie unter verschiedenen Bedingungen gelten.

Die Barkhausensche Röhrenformel ist eine Anwendung der Euler’schen Kettenregel für partielle Ableitungen, die z. B. in der Thermodynamik häufig angewendet wird. Die Herleitung aus den Eigenschaften des totalen Differentials ergibt, dass entweder alle Ableitungen positiv genommen und auf der rechten Seite −1 gesetzt werden muss, oder, wie hier, eine der Ableitungen mit einem Minuszeichen versehen wird, und auf der rechten Seite +1 steht.

Besser kommt das Ganze zur Geltung, wenn man anstelle der Differenzen Differentiale verwendet. Exakt ist z. B. folgende Herleitung:

• Das Verhalten einer Röhre wird durch ihr (nichtlineares) Kennlinienfeld beschrieben: $I_{a}=f(U_{g},U_{a}).\,$
• Für das Kleinsignalverhalten (für welches die Röhrenformel nur gilt) wird die Kennlinie linearisiert, indem man das totale Differential bildet: $dI_{a}={\frac {\partial I_{a}}{\partial U_{g}}}\cdot dU_{g}+{\frac {\partial I_{a}}{\partial U_{a}}}\cdot dU_{a}.$
• Mit den Definitionen für die Steilheit $S=\left[{\frac {\partial I_{a}}{\partial U_{g}}}\right]_{U_{a}={\rm {konstant}}}$ und den Innenwiderstand $R_{i}=\left[{\frac {\partial U_{a}}{\partial I_{a}}}\right]_{U_{g}={\rm {konstant}}}$ erhält man $dI_{a}=S\cdot dU_{g}+{\frac {1}{R_{i}}}\cdot dU_{a}.$
• Bei der „Messung“ des Durchgriffs ist I_a konstant (also dI_a = 0). Deshalb gilt $S\cdot dU_{g}+{\frac {1}{R_{i}}}\cdot dU_{a}=0.$
• Mit der Definition des Durchgriffs $D=-\left[{\frac {\partial U_{g}}{\partial U_{a}}}\right]_{I_{a}={\rm {konstant}}}$ erhält man nach Umstellung exakt $S\cdot R_{i}\cdot D=1.$

Literatur

• Heinrich Barkhausen: Elektronenröhren, Band 1. S. Hirzel, Leipzig 1924. 
• Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1967. 
• Philippow: Taschenbuch Elektrotechnik - Band 3. Verlag Technik, Berlin 1969. 
• Pfeifer: Elektronik für Physiker - Band II. Akademie-Verlag, Berlin 1966. 
• Schröder: Elektrische Nachrichtentechnik - II. Band. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1966. 
• Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektrotechnik - I. Band. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1964. 
• Lange: Signale und Systeme - Band 2. Verlag Technik, Berlin 1968. 
• Ernst Erb: Radios von gestern. 4. Auflage. Funk Verlag Bernhard Hein e. K., Dessau-Roßlau 2009, ISBN 978-3-939197-49-2.