Diskussion:Extremwert

Die funktion muss stetig im definitonsbereich sein!

Kriterium falsch

Eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion kann ein lokales Extremum annehmen, ohne dass ein Vorzeichenwechsel vorliegt, z.B.

$f(x)=e^{-1/x^{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}},\quad f(0)=0$

im Nullpunkt. Ein Vorzeichenwechsel ist also auch nur eine hinreichende Bedingung.--Gunther 23:47, 3. Mär 2005 (CET)

Meine Mathematikkenntnisse sind eher bescheiden, aber auf den ersten Blick würde ich sagen, dass diese Funktion an der Stelle x=0 gar nicht definiert ist --Robert 07:03, 4. Mär 2005 (CET)

f(0) = 0 :) -- 213.54.195.167 07:07, 4. Mär 2005 (CET)

ok, wenn man den Grenzwert für x gegen 0 betrachtet. Aber selbst dann ist alles in Ordnung, denn die 1. Ableitung der Funktion lautet:

$f'(x)=2e^{-1/x^{2}}x^{3}(\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}}-2sin{\frac {1}{x^{2}}}cos{\frac {1}{x^{2}}})$

(Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet :) Und diese Ableitung hat bei x=0 einen Vorzeichenwechsel:

$f(-0,1)=-8,4*10^{-41}$

$f(0,1)=8,4*10^{-41}$

--Robert 07:44, 4. Mär 2005 (CET)

Ich glaube, das Problem ist die nicht ausreichend exakte Definition von Vorzeichenwechsel. -- 213.54.201.248 08:32, 4. Mär 2005 (CET)

Ich sehe das Problem momentan nicht. Ich glaube eher, dass Gunther in der Definition im Artikel den Satzteil die erste Ableitung der Funktion überlesen hat. --Robert 08:39, 4. Mär 2005 (CET)

Wie wäre es mit einer Fallunterscheidung:

• f ist stetig und differenzierbar
• ...

--213.54.201.248 08:45, 4. Mär 2005 (CET)

klar kann man das noch ausbauen (aber ich nicht, s.o: bescheidene Mathematikkenntnisse). Derzeit steht im Artikel "differenzierbar und reell". Ich weiß nicht, wie das mit nichtstetigen Funktionen ausschaut und erst recht nicht, wenn nicht reell, nicht differenzierbar, nicht entwickelt, Fläche, etc. ist --Robert 09:04, 4. Mär 2005 (CET)

Laut Vorzeichenwechsel muss die betreffende Funktion (hier also f' ) in hinreichend kleinen Intervallen rechts bzw. links des betreffenden Punktes ausschließlich positive bzw. negative Werte annehmen. Von daher ist f' (0,1) hier völlig irrelevant. Der Punkt ist, dass der Faktor

$\sin {\frac {1}{x^{2}}}\left(\sin {\frac {1}{x^{2}}}-2\cos {\frac {1}{x^{2}}}\right)$

in jedem Intervall der Form $(0,\epsilon )$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt, und damit liegt kein Vorzeichenwechsel bei 0 vor.--Gunther 10:18, 4. Mär 2005 (CET)

Dann ist f bzw. die Ableitung eben nicht "stetig genug", der rechts- und linksseitige Limes sollten schon da sein. -- 213.54.201.248 15:54, 4. Mär 2005 (CET)

Nein, durch den Faktor $e^{-1/x^{2}}$ wird alles beliebig oft stetig differenzierbar ("unendlich schön"). Man kann das höchstens durch "reell analytisch" nocht steigern, aber das ist unglaublich stark.--Gunther 18:44, 4. Mär 2005 (CET)

Je nun, f'(x) und f'(-x) unterscheiden sich halt im Vorzeichen für x!=0, mehr will man doch gar nicht. -- 213.54.201.248 02:40, 5. Mär 2005 (CET)

$g(x)=e^{-1/x^{2}}\sin {\frac {1}{x^{2}}},\quad g(0)=0$

erfüllt auch $g'(-x)=-g'(x)$, hat aber kein lokales Extremum in 0. Glaub mir, es gibt kein einfaches notwendiges und hinreichendes Kriterium.--Gunther 06:16, 5. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe das Problem nicht: Erste Ableitung gleich Null und Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bedeutet ganz klar ein lokales Extremum. Der Beweis ist einfach und steht in jedem Analysisbuch. Natuerlich ist das nur ein hinreichendes Kriterium. Wenn nur das Dein Punkt war, wieso zettelst Du hier ne Riesendiskussion mit "Kriterium falsch" an? Das Kriterium ist nicht falsch! --DaTroll 14:30, 8. Mär 2005 (CET)

Tut mir leid, die Überschrift war etwas plakativ, aber mehr als dass es auch nur ein hinreichendes Kriterium ist, hatte ich ja ursprünglich auch nicht geschrieben, s.o.

Ich finde den Artikel aber auch an anderen Stellen überarbeitungsbedürftig, deshalb hatte ich nicht einfach das "gdw" rausgeworfen.

• "in dessen Umgebung kein größerer Wert (= Maximum), bzw. kein kleinerer Wert (= Minimum) liegt": gemeint sind x-Umgebungen, nicht Umgebungen der Werte
• "kann sie jedoch auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion ausgedehnt werden" ist keine glückliche Formulierung.
• Will der Artikel ein Kochrezept sein ("In diesem Fall muss geprüft werden")? Dann bitte etwas systematischere Anweisungen.
• "Im Falle der Existenz höherer Ableitungen kann man durch die Taylor-Polynome der Funktion auch bei f′(x) = f′′(x) = 0 ohne die Methode der Vorzeichenwechsel arbeiten" funktioniert im o.a. Beispiel auch nicht.
• Der Absatz "Zusätzlich kann man bestimmen..." sollte vor "Es kann aber durchaus ein Extremwert vorliegen..." kommen, das verwirrt sonst nur.
• "größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben" ist Enallage.
• A′ = ... vermischt Funktion und Funktionswert.

--Gunther 14:53, 13. Mär 2005 (CET)

Ihr zwei meint ein notweniges Kriterium... weil das hinreichende Kriterium ist stärker!!!... --92.203.47.202 16:48, 4. Aug. 2011 (CEST)

Review

Habe den Artikel wegen der aktuellen Fragestellung mal ins Review gestellt. Hoffe, dass sich weitere Mathematiker beteiligen. --Langec ☎ 15:17, 6. Mär 2005 (CET)

Review-Diskussion

Dieser Artikel nennt die geläufigen hinreichenden Kriterien für Extremwerte einer Funktion f: R -> R. Gunther bringt nun einige Gegenbeispiele dafür, nämlich verschiedene Funktionen der Art $\sin({\frac {1}{x}})$, die er bei x=0 stetig fortsetzt. Es wäre schön, wenn sich das mal ein paar Mathematiker angucken könnten. Ich als Informatiker habe leider keine vollwertige Analysis-Ausbildung genossen :-( Aber ich will mich gerne an einer Überarbeitung des Artikels beteiligen, denn die ist ohnehin nötig. --Langec ☎ 15:14, 6. Mär 2005 (CET)

Kleine Korrektur: ich zweifle nicht die Korrektheit der hinreichenden Kriterien an, die Beispiele sollen nur zeigen, dass es extrem schwer ist, notwendige und hinreichende Kriterien zu finden. Frühere Artikelversionen waren in diesem Punkt nicht korrekt, und ich denke, es wäre sinnvoll, darauf hinzuweisen, dass es Funktionen gibt, bei denen man die Extremwertfrage nicht nach dem Kochrezept entscheiden kann.--Gunther 15:30, 28. Mär 2005 (CEST)

Ist das nicht auf dem Portal Mathematik besser aufgehoben? Hier sollte ein Artikel eher hin, wenn die Autoren alleine nicht mehr weiterkoennen, was da glaube ich nicht der Fall ist. Viele Gruesse --DaTroll 10:56, 7. Mär 2005 (CET)

Zwischen zwei Minima ein Maximum?

Die Behauptung, zwischen zwei Minima müsse ein Maximum liegen, trifft nur zu, wenn die Funktion dazwischen überhaupt überall definiert ist. (Stetig muss sie auch sein, klar, aber Differenzierbarkeit war ja offenbar vorausgesetzt.)

Falls es einer nicht glaubt: $f(x)=x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$ untersuchen, dürfte zwei Minima haben, und dazwischen einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, aber kein Maximum.

Eckhard (noch unreg.)

Danke für den Hinweis, Du hättest das natürlich auch gleich selbst ändern können.--Gunther 22:53, 4. Sep 2005 (CEST)

Sowas mach ich normalerweise auch. Aber ich wollte grade nicht an den gesamten Abschnitt ran, und bei einer isolieren Änderung hatte ich das Gefühl, die Angabe der Voraussetzungen wäre nicht passend zum übrigen Text geworden. Du hast das grade prima gelöst, besser als mir das in dem Augenblick grad einfiel. Eckhard

Hinreichend?

Mal etwas grundsätzliches: Das, was heir hinreichendes Kriterium genannt wird, ist keines. Denn f(x)=x^4 hat z.B. auch die Eigenschaft, dass die zweite Ableitung bei x=4 z.B. nicht verschwindet. Doch da leigt ja wohl kein Etremum vor. Eine hinreichende Bedingung ist f'(x)=0 UND f''(X) ungleich Null. Analog bei den anderen Beispielen.\\ Bei einer Implikation A => B nennt man A die hinreichende Bedingung. Nicht Teilaussagen von A.

Mirko

Ich habe es geändert, möchte aber darauf hinweisen, dass es nicht ganz so einfach ist, wie Du es darstellst. Mathematische Aussagen haben üblicherweise die Form S => (A => B), wobei S im konkreten Fall so etwas ist wie: "$f$ ist eine differenzierbare reellwertige Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist". Dann ist es eine Frage der Interpretation des Kontextes, ob nun die notwendige Bedingung implizit zu S gehört und deshalb in A nicht erwähnt werden muss.

Im konkreten Fall sollte man auf der sicheren Seite bleiben, keine Frage.--Gunther 11:05, 22. Jan 2006 (CET)

Bezüglich Mirkos Einwurf würde ich vorschlagen, die Überschriften "Notwendiges Kriterium" und "Hinreichendes Kriterium" durch "Bedingung Erster Ordnung" sowie "Bedingung Zweiter Ordnung" zu ersetzen. Das zweitere Begriffspaar ist nicht nur in der Wirtschaftsmathematik die übliche Terminologie (engl. First Order Condition/FOC – Second Order Condition/SOC), sondern trifft vor allem den Sachverhalt besser, denn hinreichend sind eben nur beide Kriterien zusammen. Ich würde zusätzlich einen Hinweis auf diesen Sachverhalt anbringen. --PanchoS 01:43, 29. Jun 2006 (CEST)

so wie es jetzt im artikel steht, ist es doch nicht falsch. das eine kriterium ist hinreichend, das andere notwendig. so lernt man es in der schule und ggf. auch spaeter in der uni. die bezeichnungen foc und soc sind imho eher irrefuehrend oder wenigstens nicht hilfreich. -- seth 21:48, 29. Jun 2006 (CEST)

optimum

gudn tach! ich habe soeben die gleichsetzung von "optimum" und "extremum" revertiert. der begriff "optimum" enthaelt eine kontextuelle _wertung_ (optimum - das beste). zwar kann wohl jedes optimum auch als maximum oder minimum einer menge/funktion angesehen werden. aber bei dem begriff "extremum" schwingt erst mal keinerlei wertung (abgesehen von der rein ordinalen) mit. -- seth 10:27, 8. Okt 2006 (CEST)

… insbesondere kann ein Extremum auch ein Pessimum sein.--Gunther 10:51, 8. Okt 2006 (CEST)

ah ich sehe, dass ich den Begriff bis jetzt etwas unpräzise verwendet hab, dann sollten aber diverse artikel der Kategorie:Optimierung überarbeitet werden, die diesen unterschied nicht sauber herausarbeiten (ich scheine nicht der einzige mit dem problem zu sein..):

• Optimierungsproblem: Als Optimierungsproblem bezeichnet man […]. Je nachdem, ob es sich um ein Minimierungs- oder Maximierungsproblem handelt, ist die Qualität einer Lösung mit minimalem bzw. maximalem Wert gesucht. Eine solche Qualität wird auch als Optimum bezeichnet. - wenn Optimierungsprobleme in Minimierungs- und Maximierungsprobleme unterteilt werden, dann nehme ich an, dass stillschweigend vorausgestzt wird, dass diese Qualität durch eine Funktion beschrieben sei, deren Extremum gefragt ist, und das Optimum das Extremum dieser Qualität ist, zu lesen ist das aber nirgends
• Lösung (Mathematik): optimale Lösung bei Gleichungen der Form

$\ f(x)=\mathrm {max} \{f(t)\}$ oder $\ f(x)=\mathrm {min} \{f(t)\}$

wohin sollte also der redir optimale Lösung zeigen?

• Optimierung: Das Gebiet der Optimierung in der angewandten Mathematik beschäftigt sich damit, optimale Parameter eines - meist komplexen - Systems zu finden. „Optimal“ bedeutet, dass eine Zielfunktion minimiert oder maximiert wird. - also wird hier in der definition implizit vorausgesetzt, dass der leser weiß, dass die "Zielfunktion" nicht die Funktion ist, die das "meist komplexe System" beschreibt, gleich das erste bild legt aber genau das nahe

im abschnitt #Abgrenzung wird nicht gegen Extremwertsuche abgegrenzt, und gleich folgend wieder eine Minimierungsaufgabe prototypisch für eine Optimierung: Es sei im Folgenden eine Minimierungsaufgabe angenommen.

und weiter unten: Besteht die Optimierungsaufgabe darin, von einem gegebenen Punkt im Gebirge aus das nächste relative (lokale) Minimum oder Maximum in der Nachbarschaft zu finden, dann spricht man von lokaler Optimierung. Besteht die Aufgabe darin, das absolute Minimum oder Maximum im gesamten Gebirge zu finden, dann spricht man von globaler Optimierung. - auch hierbei wir wieder verschwiegen, das die Zielfunktion[, die] ein „Gebirge“ darstellt nicht die zu optimierende Funktion ist

• und im hiesigen Artikel fehlt die Abgrenzung sowieso, dass man sich hier auf der diskseite einig über Optimum und Pessimum ist, ist unzulänglich

..das ist nur eine schnelle Auswahl.. ich fürchte, da gibts wohl noch einiges mehr.. gruß -- W!B: 23:13, 10. Okt. 2006 (CEST)

Graphische Darstellung

Hallo, was hier noch fehlt ist eine graphische Darstellung zur Veranschaulichung der Extrema: "lokales Maximum", "globales Maximum", "lokales Minimum" und "globales Minimum". Allein mit der linken Gehirnhälfte ist das mathematische Kauderwelsch sehr schwierig zu verstehen.

MfG ein sich in Kritik übender Schüler ;-)

hinreichende Bedingung im mehrdimensionalen Fall

Ist soweit ich weiß FALSCH! Die Definitheit der Hesse-Matrix reicht nicht aus! Diese muss positiv definit sein, damit ein Extremum bei x=$x_{1},...,x_{n}$ vorliegt. Ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, erkennt man anhand der Vorzeichen der Eigenwerte der Hesse-Matrix.

Siehe dazu: http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/cd-funktionen/diff-einzeln/extremwerte.pdf

Du verwechselst positiv definit mit Determinante ist positiv. Das ist aber nicht dasselbe. Positiv definit entspricht alle Eigenwerte > 0, Determinante positiv entspricht Produkt der Eigenwert > 0. Das kann natürlich im Zweidimensionalen auch dann der Fall sein, wenn beide Eigenwerte negativ sind. -- Digamma 21:52, 2. Jun. 2010 (CEST)

Mehrdimensionaler Fall

Diesen Abschnitt könnte man noch ausbauen. -- Digamma 16:07, 9. Jan. 2011 (CET)

Lokale Extrema

Hallo,

Zitat Einleitung:

„Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. x wird lokaler Maximierer oder Extremstelle genannt, ...“

Eine lokale Extremstellen ist für eine Umgebung definiert. Somit ist die Grafik falsch! Am Intervallende kann somit kein lokales Maximum sein (nur ein globales was aber hier nicht der Fall ist) --Primpram (Diskussion) 15:06, 18. Jan. 2013 (CET)

Gemeint ist eine Umgebung relativ zum Definitionsbereich U, im Abschnitt "Formale Definition" steht's genauer. Am Intervallende kann also schon ein lokales Extremum auftreten. -- HilberTraum (Diskussion) 21:54, 18. Jan. 2013 (CET)

Der erste Absatz widerspricht der formalen Definition

Betrachten wir die Heaviside-Funktion $\Theta (x)$ an der Stelle $x=1$ und prüfen die vier unter „Formale Definition“ genannten Kriterien ab. Dann finden wir, dass der Funktionswert $\Theta (1)=1$ ein lokales Mininum, ein lokales Maximum und ein globals Maximum, aber kein globales Minimum ist. Der Punkt $(1,1)$ ist Hochpunkt wie auch Tiefpunkt. Laut letztem Satz der Formalen Definition ist ein Punkt ein Extrempunkt genau dann, wenn er entweder Hoch- oder Tiefpunkt ist. $(1,1)$ ist kein Extrempunkt der Heaviside-Funktion, weil er sowohl Hoch- als auch Tiefpunkt ist.

Nun zum ersten Absatz. Dort heißt es:

Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Die zugehörige Stelle x wird lokaler Maximierer/Minimierer oder Extremstelle (Maximalstelle/Minimalstelle) genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt.

Laut dieser (informellen) Definition ist $x=1$ lokaler Maximierer der Heaviside-Funktion. Unter der Annahme, dass mit der "Kombination aus Stelle und Wert" ein Geordnetes Paar bzw. Punkt gemeint ist, kommt man zu dem Ergebnis, dass $(1,1)$ Extrempunkt ist, was dem mit der formalen Definition gewonnenen Ergebnis widerspricht. 93.192.178.109 22:04, 17. Dez. 2014 (CET)

Abbildung

Minima und Maxima der Funktion cos(3πx)/x im Bereich 0.1≤ x ≤1.1

Die Abbildung ist eher rätselhaft als infromativ. Ich verstehe z.B. das "globale Maximum" nicht. Wenn man schon so ein abgefahrenes Besipiel nimmt, könnte man das in der Bildunterschrift erläutern. ZB. ob die Funktion (hab ich schon ergänzt) evtl. nicht stetig ist oder dass ein Maximum durch die Beschränkung entsteht ist. Einheiten wären auch nicht schlecht. siehe auch [1]. TiHa (Diskussion) 06:20, 21. Mai 2019 (CEST)

Globale Maxima und Minima für $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Hallo, in diesem Artikel wird nur der Fall $f\colon U\to \mathbb {R}$ mit $U$ als unechter Teilmenge von $\mathbb {R}$ vorgestellt - was aber, wenn der Definitionsbereich alle reellen Zahlen sind, d.h. $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit z.B. $f(x)=x^{3}$ gilt? Kann man da überhaupt globale Maxima und Minima angeben? Oder bei Funktionen mit Polstellen? Eine Fragestellung, die sich ganz ähnlich dann auch bei Kurvendiskussionen, Stichwort "Verhalten im Unendlichen", stellt und immer wieder Verwirrung stiftet, weil $-\infty$ oder $+\infty$ ja weder wirkliche Beschreibungen eines Elements des Definitionsbereichs der untersuchten Funktion noch „Grenzwerte“ im eigentlichen Sinne dieses Begriffs sind, also z.B. im Fall von $f(x)=x^{3}$ weder dazu taugen, deren globales Minimum und Maximum noch die dazugehörigen Funktions- bzw. y-Werte zu beschreiben. Vielleicht sollte diese Problematik auch einmal kurz beleuchtet werden. Allgemeiner formuliert: wie ist die Frage nach dem globalen Minimum und Maximum einer Funktion zu beantworten, wenn diese keinen absolut größten und/oder kleinsten Wert besitzt, bzw. keine Stelle/n ihres Definitionsbereichs, an denen sie diese absolut größten und/oder kleinsten Werte annimmt? --Qniemiec (Diskussion) 03:16, 31. Mai 2020 (CEST)

Es wird im Artikel nicht vorausgesetzt, dass $U$ eine echte Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist. Es wird aber wohl wirklich nicht so deutlich. Was die Kurvendiskussion betrifft, da geht es eigentlich immer nur um lokale Extrema. Globale Extrema interessieren nur bei echten Extremwertaufgaben, wo der betrachtete Bereich in der Regel kompakt ist oder die Funktion globale Maxima oder Minima besitzt, zum Beispiel bei Polynomfunktionen geraden Grades. --Digamma (Diskussion) 10:50, 31. Mai 2020 (CEST)

Umgebung muss hinreichend klein sein

Statt:

"… Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt."

muss es ja wohl sinngemäß heißen:

"… Wert der Funktion an einer Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung von x die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt.".

Mit dem Umgebungsbegriff muss man sehr sorgfältig umgehen, sonst können elementare Definitionen missverständlich oder falsch werden! Gruß --Mabit1 (Diskussion) 23:45, 7. Aug. 2020 (CEST)

Danke für den Hinweis. Habe es geändert. --Digamma (Diskussion) 00:05, 8. Aug. 2020 (CEST)

Maximumsstelle

Sorry, hab es grad versehentlich kommentarlos zurückgesetzt. Hier der Kommentar: "Maximumsstelle" suggeriert nicht mehr und nicht weniger als "Maximalstelle". "Maximalstelle" ist aber der gängige Ausdruck. Genau so "Minimumsstelle". TiHa (Diskussion) 12:36, 5. Jan. 2023 (CET)