Eulersche Reihe
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Als Eulersche Reihe wird die Identität
bezeichnet.
Die Eulersche Reihe teilte Leonhard Euler in seinem Brief vom 4. Juli 1744 an Christian Goldbach mit, allerdings ohne Beweis. Fast zehn Jahre später veröffentlichte er in seinem Werk Institutiones calculi differentialis einen Beweis. Die Eulersche Reihe ist eine sehr einfach in eine Fourierreihe entwickelbare Funktion. Die Bernoulli-Polynome und die Poissonsche Summenformel lassen sich auf diese für die Analysis fundamentale Reihe zurückführen.
Die Eulersche Reihe bildet den Imaginärteil der Reihe
Hauptsatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei das Intervall gegeben. Seien des Weiteren zwei Punkte aus . Folgende Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig auf und es gilt:
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Max Koecher: Klassische elementare Analysis, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston, 1987
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ausarbeitung zur Eulerschen Reihe mit Beweis (PDF-Datei; 131 kB)