Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion , die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[ 1] [ 2]
Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man verallgemeinertes Pochhammer-Symbol .
Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:
(
x
,
n
)
≡
Γ
(
x
+
n
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}
Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann
(
x
,
n
)
≡
x
(
x
+
1
)
⋯
(
x
+
n
−
1
)
{\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)}
.
Man hat also eine Identität
(
x
,
n
)
=
x
n
¯
{\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}}
mit der steigenden Faktoriellen .
Das Pochhammer-Symbol wird auch als
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich
(
x
1
,
…
,
x
r
)
n
:=
∏
i
=
1
r
(
x
i
)
n
.
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{r})_{n}:=\prod \limits _{i=1}^{r}(x_{i})_{n}.}
Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole
Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion .
Ist
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, so kann
(
x
,
n
)
{\displaystyle (x,n)}
als Polynom in
x
{\displaystyle x}
dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.
Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen :
(
x
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
1
(
1
−
x
,
n
)
{\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}}
Divisionsregel:
(
x
,
n
)
(
x
,
m
)
=
(
x
+
m
,
n
−
m
)
;
n
>
m
{\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m}
(
x
,
n
)
(
x
,
m
)
=
1
(
x
+
m
,
m
−
n
)
;
m
>
n
{\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n}
Spezielle Werte:
(
1
,
n
)
=
n
!
{\displaystyle (1,n)=n!}
(
1
2
,
n
)
=
2
−
n
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!}
(
0
,
0
)
=
1
{\displaystyle (0,0)=1}
Weitere Identitäten:
(
x
,
N
−
k
)
=
(
x
,
N
)
(
−
1
)
k
(
−
x
−
N
+
1
,
k
)
{\displaystyle (x,N-k)={\frac {(x,N)(-1)^{k}}{(-x-N+1,k)}}}
(
x
,
m
)
(
x
+
m
,
n
)
=
(
x
,
m
+
n
)
{\displaystyle (x,m)(x+m,n)=(x,m+n)}
Das
q
{\displaystyle q}
- Pochhammer-Symbol[ 3] ist das
q
{\displaystyle q}
- Analog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei
q
{\displaystyle q}
- Analoga klassischer Formeln. Hierbei wird das
q
{\displaystyle q}
- Analogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang
lim
q
→
1
1
−
q
n
1
−
q
=
n
{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}
,
über folgende Formel definiert:
[
n
]
q
=
1
−
q
n
1
−
q
=
1
+
q
+
q
2
+
⋯
+
q
n
−
1
{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}}
Das
q
{\displaystyle q}
- Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen
q
{\displaystyle q}
definiert:
(
a
;
q
)
n
=
∏
k
=
0
n
−
1
(
1
−
a
q
k
)
=
(
1
−
a
)
(
1
−
a
q
)
(
1
−
a
q
2
)
⋯
(
1
−
a
q
n
−
1
)
{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})}
mit der Zusatzbedingung:
(
a
;
q
)
0
=
1
{\displaystyle (a;q)_{0}=1}
.
Sie werden auch
q
{\displaystyle q}
- Reihen genannt und
(
a
;
q
)
n
{\displaystyle (a;q)_{n}}
als
(
a
)
n
{\displaystyle (a)_{n}}
abgekürzt, z. B.
(
q
;
q
)
n
=
(
q
)
n
=
∏
k
=
1
n
(
1
−
q
k
)
=
(
1
−
q
)
(
1
−
q
2
)
⋯
(
1
−
q
n
)
{\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}
.
Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.
Das
q
{\displaystyle q}
- Pochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:
(
a
;
q
)
∞
=
∏
k
=
0
∞
(
1
−
a
q
k
)
{\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}
Der Spezialfall
ϕ
(
q
)
=
(
q
;
q
)
∞
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
q
k
)
{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}
wird als Eulersches Produkt[ 4] bezeichnet.
Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:
[
q
(
ε
)
;
q
(
ε
)
]
∞
=
2
1
/
3
|
ε
|
1
/
12
(
1
−
ε
2
)
1
/
6
q
(
ε
)
−
1
/
24
π
−
1
/
2
K
(
ε
)
1
/
2
{\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }=2^{1/3}|\varepsilon |^{1/12}(1-\varepsilon ^{2})^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/24}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}
[
q
(
ε
)
2
;
q
(
ε
)
2
]
∞
=
|
sin
[
2
arcsin
(
ε
)
]
|
1
/
6
q
(
ε
)
−
1
/
12
π
−
1
/
2
K
(
ε
)
1
/
2
{\displaystyle [q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=|\sin[2\arcsin(\varepsilon )]|^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/12}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}
[
q
(
ε
)
;
q
(
ε
)
2
]
∞
=
2
1
/
4
|
cot
[
2
arctan
(
ε
)
]
|
1
/
12
q
(
ε
)
1
/
24
{\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon )]|^{1/12}q(\varepsilon )^{1/24}}
q
(
ε
)
=
exp
[
−
π
K
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
−
1
]
{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}
K
(
w
)
=
∫
0
π
/
2
[
1
−
w
2
sin
(
α
)
2
]
−
1
/
2
d
α
{\displaystyle K(w)=\int _{0}^{\pi /2}[1-w^{2}\sin(\alpha )^{2}]^{-1/2}\,\mathrm {d} \alpha }
Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.
Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen[ 5] als Koeffizienten:
(
x
;
x
)
∞
−
1
=
∑
k
=
0
∞
P
(
k
)
x
k
{\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}}
Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.
Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:
(
x
;
x
)
∞
=
∑
k
=
0
∞
[
x
K
(
2
k
)
−
x
F
(
2
k
+
1
)
−
x
K
(
2
k
+
1
)
+
x
F
(
2
k
+
2
)
]
{\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}}
Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:
F
(
n
)
=
1
2
n
(
3
n
−
1
)
{\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}
K
(
n
)
=
1
2
n
(
3
n
+
1
)
{\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)}
Diese Tatsache[ 6] basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler .
Das Eulersche Produkt[ 7] kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:
(
x
;
x
)
∞
=
ϑ
00
(
x
)
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
2
/
3
[
ϑ
00
(
x
)
4
−
ϑ
01
(
x
)
4
16
x
]
1
/
24
=
ψ
R
(
x
2
)
ϑ
00
(
x
)
ϑ
01
(
x
)
4
6
{\displaystyle (x;x)_{\infty }=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}}}
Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:
(
x
;
x
)
∞
=
3
−
1
/
2
x
−
1
/
24
ϑ
10
(
1
6
π
;
x
1
/
6
)
=
2
−
1
/
6
x
−
1
/
24
ϑ
10
(
x
)
1
/
6
ϑ
00
(
x
)
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
2
/
3
{\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}
Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung[ 8] zu den Thetafunktionen:
(
x
;
x
2
)
∞
=
ψ
R
(
x
2
)
−
1
ϑ
00
(
x
)
−
1
ϑ
01
(
x
)
2
6
=
2
1
/
6
x
1
/
24
ϑ
10
(
x
)
−
1
/
6
ϑ
00
(
x
)
−
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
1
/
3
{\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})^{-1}\vartheta _{00}(x)^{-1}\vartheta _{01}(x)^{2}}}=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}
Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π . Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:
(
x
;
x
)
∞
(
x
;
x
2
)
∞
=
ϑ
01
(
x
)
{\displaystyle (x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\vartheta _{01}(x)}
Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:
ϑ
01
(
x
)
=
1
−
2
∑
n
=
1
∞
[
x
◻
(
2
n
−
1
)
−
x
◻
(
2
n
)
]
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
−
x
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}x^{\Box (2n-1)}-x^{\Box (2n)}{\bigr ]}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}
ϑ
00
(
x
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
x
◻
(
n
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
+
x
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}
ϑ
10
(
x
)
=
2
x
1
/
4
+
2
x
1
/
4
∑
n
=
1
∞
x
2
△
(
n
)
=
2
x
1
/
4
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
+
x
2
n
)
2
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}
Die Ramanujansche Ψ-Funktion
ψ
R
(
x
)
{\displaystyle \psi _{R}(x)}
ist über jene Formel definiert:
ψ
R
(
x
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
x
△
(
n
)
{\displaystyle \psi _{R}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{\bigtriangleup (n)}}
Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:
R
(
x
)
=
x
1
/
5
[
1
+
∑
n
=
1
∞
x
2
△
(
n
)
(
x
;
x
)
n
]
[
1
+
∑
n
=
1
∞
x
◻
(
n
)
(
x
;
x
)
n
]
−
1
=
x
1
/
5
(
x
;
x
5
)
∞
(
x
4
;
x
5
)
∞
(
x
2
;
x
5
)
∞
(
x
3
;
x
5
)
∞
=
{\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=}
=
tan
⟨
1
2
arccot
{
ϑ
01
(
x
1
/
5
)
[
5
ϑ
01
(
x
5
)
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
]
2
ϑ
01
(
x
5
)
[
ϑ
01
(
x
)
2
−
ϑ
01
(
x
1
/
5
)
2
]
+
1
2
}
⟩
=
{\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}
=
tan
⟨
1
2
arccot
{
1
2
[
ϑ
00
(
x
1
/
10
)
ϑ
01
(
x
1
/
10
)
ϑ
10
(
x
1
/
10
)
ϑ
00
(
x
5
/
2
)
ϑ
01
(
x
5
/
2
)
ϑ
10
(
x
5
/
2
)
]
1
/
3
+
1
2
}
⟩
=
{\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
)
2
]
}
1
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
)
2
]
}
2
/
5
=
{\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=}
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
1
/
2
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
/
2
)
2
]
}
2
/
5
cot
{
1
2
arccot
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
1
/
2
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
/
2
)
2
]
}
1
/
5
{\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.
Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:
△
(
n
)
=
1
2
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}
◻
(
n
)
=
n
2
{\displaystyle \Box \,(n)=n^{2}}
↑ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten . Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
für den Binomialkoeffizienten,
[
x
]
n
{\displaystyle [x]_{n}}
für die fallende Faktorielle und
[
x
]
n
+
{\displaystyle [x]_{n}^{+}}
für die steigende Faktorielle.
↑ Eric W. Weisstein: Pochhammer Symbol. In: MathWorld . Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: q -Pochhammer Symbol. In: MathWorld . Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch).
↑ Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function , doch ist dieser Begriff mehrdeutig.
↑ 3.3 Partitions of Integers. Abgerufen am 30. August 2021 .
↑ Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch).