Potenzmenge

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge $X$ meist als ${\mathcal {P}}(X)$. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer Menge $X$ ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen $U$ von $X$ besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

${\mathcal {P}}(X):=\{U\mid U\subseteq X\}$.

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge $\emptyset$ und die Menge $X$ Teilmengen von $X$ sind, also Elemente der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind ${\mathfrak {p}}(X),\ 2^{X},\ \mathrm {Pot} (X),\ \Pi (X),\ \wp (X)$ und ${\mathfrak {P}}(X)$.

Beispiele

• ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$
• ${\mathcal {P}}(\{a\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\}{\bigr \}}$
• ${\mathcal {P}}(\{a,b\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}{\bigr \}}$
• ${\mathcal {P}}(\{a,b,c\})={\bigl \{}\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}{\bigr \}}$
• ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\emptyset ))={\bigl \{}\emptyset ,\{\emptyset \}{\bigr \}}$
• ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\{a\}))={\bigl \{}\emptyset ,\{\emptyset \},\{\{a\}\},\{\emptyset ,\{a\}\}{\bigr \}}$

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation $\subseteq$ ist eine Halbordnung auf ${\mathcal {P}}(X)$ (und keine Totalordnung, wenn $X$ mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist $\emptyset$, das größte Element ist $X$.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von ${\mathcal {P}}(X)$ ein Infimum und ein Supremum (in ${\mathcal {P}}(X)$) gibt. Konkret ist für eine Menge $T\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ das Infimum von $T$ gleich dem Durchschnitt der Elemente von $T$, und das Supremum von $T$ ist gleich der Vereinigung der Elemente von $T$, also

$\inf(T)=\bigcap _{M\in T}M\quad {\text{ und }}\quad \mathrm {sup} (T)=\bigcup _{M\in T}M.$

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

$\inf(\emptyset )=X\quad {\text{ und }}\quad \sup(\emptyset )=\emptyset .$

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung ${}^{\mathrm {c} }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ heran, ist $({\mathcal {P}}(X),\cap ,\cup ,^{\mathrm {c} },\emptyset ,X)$ ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf ${\mathcal {P}}(X)$ ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und $X$ ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge $T\subseteq X$ kann man die charakteristische Funktion $\chi _{T}\colon X\to \{0,1\}$ zuordnen, wobei gilt

$\chi _{T}(x):={\begin{cases}1,&x\in T\\0,&x\not \in T\end{cases}}$

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen ${\mathcal {P}}(X)$ und $\{0,1\}^{X}$ (wobei die Notation $B^{A}$ für die Menge aller Funktionen von $A$ nach $B$ benutzt wird). Dies motiviert für ${\mathcal {P}}(X)$ auch die Schreibweise $2^{X}$, denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist $2=\{0,1\}$ (allgemein: $n=\{0,...,n-1\}$).

Die Korrespondenz ${\mathcal {P}}(X)\cong \{0,1\}^{X}$ ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

$|M|$ bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge $M$.

• Für endliche Mengen $X$ gilt: $|{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}$.
• Stets gilt der Satz von Cantor: $|X|<|{\mathcal {P}}(X)|$.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch $2^{|X|}$ für die Mächtigkeit $|{\mathcal {P}}(X)|=\left|2^{X}\right|$ der Potenzmenge einer unendlichen Menge $X$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen $X$, dass $|{\mathcal {P}}(X)|$ die nach $|X|$ nächstgrößere Mächtigkeit ist: $\mathrm {GCH} \implies (|X|<|Y|\implies |{\mathcal {P}}(X)|\leq |Y|).$

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit ${\mathcal {P}}_{\kappa }(X)=\{U\subseteq X:|U|<\kappa \}$ wird von manchen Autoren die Menge derjenigen Teilmengen von $X$ bezeichnet, die weniger als $\kappa$ Elemente enthalten. Beispielsweise wäre dann ${\mathcal {P}}_{3}(\{a,b,c\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}$: Die Menge $\{a,b,c\}$ selbst fehlt, da sie nicht weniger als $3$ Elemente hat. Andere Autoren verstehen unter ${\mathcal {P}}_{\kappa }(X)$ jedoch auch die Menge der Teilmengen von $X$, die genau die Mächtigkeit $\kappa$ haben. In diesem Fall wäre ${\mathcal {P}}_{3}(\{a,b,c\})=\{\{a,b,c\}\}$. Für letztere Variante ist auch die Schreibweise ${\binom {X}{\kappa }}$ gebräuchlich.

Potenzklasse

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation $\in$ stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Ist ${\mathcal {U}}$ die Allklasse, gilt mit diesen Begrifflichkeiten ganz offenbar ${\mathcal {P}}({\mathcal {U}})\subseteq {\mathcal {U}}$, und das Prinzip der Epsilon-Induktion lässt sich kompakt darstellen als die Forderung, dass ${\mathcal {U}}$ die einzige Klasse mit dieser Eigenschaft ist: Ist $A$ eine beliebige Klasse, gilt

${\mathcal {P}}(A)\subseteq A\implies {\mathcal {U}}\subseteq A$.

Sonstiges

• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge $X$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$, also ein Element von ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))$.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Potenzmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen