Satz von Euler (Vierecksgeometrie)
Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der eine grundlegende Identitätsgleichung über den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines Vierecks und den Längen seiner beiden Diagonalen angibt. Der Satz ist einer der vielen Beiträge des großen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie.
Formulierung des Satzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz lautet wie folgt:[1]
- Gegeben sei ein konvexes Viereck der euklidischen Ebene.
- Auf den beiden Diagonalen und seien bzw. die beiden Mittelpunkte.
- Dann gilt:
- oder
- .
Folgerung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung.
Denn im Falle, dass ein Parallelogramm ist, folgt , also , sowie und und damit oder .
Hilfssatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz von Euler lässt sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten:
Die soeben genannte Gleichung – welche offenbar eine andere Version der Apollonios-Gleichung darstellt – wurde schon von Apollonios von Perge angegeben. Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden.[2][3]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873).[4]
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Einzelnachweise und Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 65
- ↑ Riecke, op. cit., S. 31, 65
- ↑ Der Hilfssatz lässt sich sowohl aus dem Satz von Stewart als auch mit dem Kosinussatz herleiten.
- ↑ Vgl. Artikel über Riecke auf Wikisource