Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein
Untervektorraum
.
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen
Gruppen
und .
- Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
- Die
Teilerbeziehung
zwischen den Polynomen und aus .
- Die
Sinusreihe
zu .
- Die
Unabhängigkeit
von Ereignissen
-
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .
Lösung
- Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Mit
ist auch .
- Mit und ist auch .
- Eine
Abbildung
-
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
-
für alle gilt.
- Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
-
gilt.
- Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom
teilt,
wenn es ein Polynom mit
-
gibt.
- Die Sinusreihe ist
-
- Die Ereignisse
und
heißen
unabhängig,
wenn
-
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
in einer kommutativen Gruppe .
- Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
- Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
Lösung
- Es sei eine kommutative Gruppe,
eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten
Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
-
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
- Eine
Dezimalbruchfolge
-
in einem
archimedisch angeordneten Körper
ist eine
Cauchy-Folge.
- Die Funktionen
-
und
-
besitzen für folgende Eigenschaften.
- Es gilt
-
für alle .
- Es ist
-
- Es ist
und .
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
-
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
Lösung
Daraus kann man nichts schließen.
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
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Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
-
und
-
über .
Lösung
Es soll einerseits
-
und andererseits
-
sein. Wegen
-
ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.
Lösung
Die Elemente aus seien mit bezeichnet. Zu jedem sei
-
und
-
die Anzahl der Elemente aus , die auf abgebildet werden
(was sein kann).
Da
-
gelten soll, muss für jedes gelten. Somit gibt es
-
Möglichkeiten für solche Abbildungen.
Lösung
Nach
Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
gibt es nur eine Gruppenstruktur auf derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur als neutrales Element der Multiplikation und
-
als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also
und .
Dann ist
und
bzw.
und
mit
.
Daraus ergibt sich
-
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz
ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Lösung
Lösung
Bestimme die
rationale Zahl,
die im Dezimalsystem durch
-
gegeben ist.
Lösung
Es ist
Lösung
Lösung
Es ist
-
und wegen
ist
-
Bei
ist somit
-
bei
ist ebenfalls
-
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente
und Elemente
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
vom Grad derart gibt, dass
für alle ist.
Lösung
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
ist für alle
für ein festes . Dann ist
-
ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom
-
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist
-
das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja
-
für
und
.
Die Eindeutigkeit folgt aus
Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).
Lösung
-
Es ist , da
-
ist, man also für die konstante Funktion mit dem Wert nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei
-
mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Dann ist auch die Funktion
-
wohldefiniert, nullstellenfrei und nach
Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
auch stetig. Damit gilt
-
Zum Nachweis der Transitivität gelte
-
und
-
mit stetigen nullstellenfreien Funktionen . Dann ist
-
und ist ebenfalls nach
Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
eine stetige nullstellenfreie Funktion.
- Es sei
-
mit stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes
-
Wegen
-
gilt
-
genau dann, wenn
-
ist. Dies bedeutet, dass und die gleichen Nullstellen besitzen.
- Nehmen wir an, dass und im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion mit
-
für alle . Für
bedeutet dies
-
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von bedeutet dies nach
Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2),
dass auch
-
sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von .
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.
Lösung
Die Funktion
-
ist stetig und es ist
und
.
Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein
mit
.
Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.
Vergleiche die beiden Zahlen
-
Lösung
Wegen
-
ist
-
also ist
-
Somit ist
-
und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ist daher
-
Lösung
Der Abstand der beiden Punkte ist
-
Die Kreisgleichung ist somit
-
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
Lösung
Lösung
Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei
-
-
-
-
und
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gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor ist. Dies ergibt insgesamt Möglichkeiten. Bei
-
gibt es drei Möglichkeiten
(nämlich ),
bei
-
gibt es drei Möglichkeiten, bei
-
gibt es drei Möglichkeiten, bei
-
gibt es drei Möglichkeiten und bei
-
gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,
-