Computational differential geometry tools for surface interrogation, fairing, and design

Abstract

This thesis presents a set of new mesh processing methods which are based on computational differential geometry techniques. The underlying idea of the methods consists of using proper discrete approximations of differential surface properties. The methods developed in the thesis contribute to the areas of curvature feature detection, mesh parameterization, fair mesh generation, mesh denoising, and free-form and variational mesh deformations. Comparisons of the developed methods with several state-of-the-art techniques and algorithms are done. The results of numerous numerical experiments demonstrate significant advantages of the proposed methods over conventional techniques. Applications of the methods are discussed and demonstrated. The main contributions of the thesis are as follows: Similarity-based Mesh Denoising. A new, powerful, and high quality feature preserving mesh/soup denoising technique and a new scheme for comparing different mesh/soup smoothing methods are proposed. The technique is based on a similarity-weighted averaging procedure and a new and robust similarity measuring scheme. Fair Mesh Generation via Elastica. A new numerical scheme for generating fair meshes is developed. Applications to shape restoration are considered. The scheme is build upon a discrete approximation of Willmore row. A tangent speed component is introduced to the discrete Willmore row in order to improve the quality of the evolving mesh and to increase computational stability. Fast and Robust Detection of Feature Lines on Meshes. A new, fast, and robust crest line detection method is developed. Applications to feature-adaptive mesh simplification and segmentation are considered. A novel thresholding scheme and a simple new formula for computing directional curvature derivatives are also introduced. Fast Low-Stretch Mesh Parameterization. A new, fast, simple, and valid low-stretch mesh parameterization scheme and its application for efficient remeshing are proposed by using a moving mesh approach. The scheme is based on a weighted quasi-conformal parameterization which equalizes the local stretch distribution. Particularly, the scheme does not generate regions of undesirable high anisotropic stretch. Free-Form Skeleton-driven Mesh Deformations. A new and powerful approach for generating natural-looking large-scale mesh deformations is proposed. An interesting feature of the approach consists of preserving original shape thickness. New self-intersection fairing schemes are also developed. Multiresolutional and variational extensions of the approach are considered.

Diese Dissertation stellt neue Bearbeitungsmethoden für Dreiecksnetze vor, die auf Techniken der rechnergestützten Differentialgeometrie basieren. Die zugrundeliegende Idee dieser Methoden ist, geeignete diskrete Näherungen für analytische Flächeneigenschaften zu verwenden. Die Methoden, die in dieser Dissertation entwickelt werden, stellen einen Beitrag zu folgenden Gebieten dar: Erkennung von Flächencharakteristika, Parametrisierung von Dreiecksnetzen, Erzeugung von ästhetischen Dreiecksnetzen, Entfernen von Rauschen in Dreiecksnetzen und Deformation von Dreiecksnetzen für freie Gestaltung mit Variationsmethoden. Vergleiche der entwickelten Methoden mit aktuellen Techniken und Algorithmen werden angestellt. Die Ergebnisse der zahlreichen numerischen Experimente zeigen eine hohe Leistung der vorgeschlagenen Methoden. Anwendungen der Methoden werden besprochen und vorgeführt. Die Hauptbeiträge der Dissertation sind folgende: ähnlichkeitsbasiertes Entfernen von Rauschen in Dreiecksnetzen. Eine neue, leistungsfähige Technik zum Entfernen von Rauschen in Dreiecksnetzen mit und ohne Konnektivität mit qualitativ hochwertiger Bewahrung von Flächencharakteristika und ein neues Schema für das Vergleichen unterschiedlicher Dreiecksnetz-Glättungsmethoden werden vorgeschlagen. Die Technik basiert auf einer nach Ähnlichkeit gewichteten Mittelung und einem neuen und robusten Schema zur Messung von Ähnlichkeit. Erzeugung von ästhetischen Dreiecksnetzen mit Elastica. Ein neues, numerisches Schema für das Erzeugen ästhetischer Dreiecksnetze wird entwickelt. Anwendungen zur Gestalt-Rekonstruktion werden betrachtet. Das Schema gründet auf einer diskreten Näherung des Willmore-Flusses. Eine Tangentialgeschwindigkeitskomponente wird im diskreten Willmore-Fluss eingeführt, um die Qualität des entstehenden Dreiecksnetzes zu verbessern und die Berechnungsstabilität zu erhöhen. Schnelles und robustes Erkennen von charakteristischen Linien auf Dreiecksnetzen. Eine neue, schnelle und robuste Methode zum Erkennen von Kammlinien wird entwickelt. Anwendungen auf Dreiecksnetzvereinfachung und -segmentierung unter Berücksichtigung von Flächencharakteristika werden betrachtet. Ein neues Schwellwert-Schema und eine einfache neue Formel für das Berechnen von Richtungsableitungen von Krümmung werden auch eingeführt. Schnelle Parametrisierung mit geringer Streckung von Dreiecksnetzen. Ein neues, schnelles, einfaches und gültiges Schema zur Parametrisierung mit geringer Streckung von Dreiecksnetzen und seine Anwendung für effizientes Neuvernetzen werden vorgeschlagen, indem man eine "moving mesh" Methode verwendet. Die Methode basiert auf einer gewichteten quasi-konformen Parametrisierung, die die lokale Streckung gleichmäßig verteilt. Insbesondere erzeugt die Methode keine Regionen unerwünscht hoher anisotroper Streckung. Freiform, Skelett-kontrollierte Deformation von Dreiecksnetzen. Eine neuer und leistungsfähiger Ansatz für das Erzeugen natürlich wirkender, groß- maßstäblicher Deformationen von Dreiecksnetzen wird vorgeschlagen. Eine interessante Eigenschaft des Ansatzes ist das Bewahren der ursprünglichen Dicke des Körpers. Außerdem werden neue Techniken zum Glätten von Selbst-Überschneidungen entwickelt. Erweiterungen um Auflösungs-Hierarchien und Variationsverfahren des Ansatzes werden betrachtet.