Ακτίνα (θεωρία γράφων)

Στην θεωρία γράφων, η ακτίνα ενός γράφου $G=(V,E)$ είναι η ελάχιστη εκκεντρότητα $\epsilon (v)$ από όλες τις κορυφές $v\in V$, δηλαδή

$\mathrm {rad} (G)=\min _{v\in V}\epsilon (v)$.

Ισοδύναμα, ορίζεται ως

$\mathrm {rad} (G)=\min _{v\in V}\max _{u\in V}d(u,v)$,

όπου $d(u,v)$ είναι η απόσταση των κορυφών $u$ και $v$ στον γράφο $G$, δηλαδή το μήκος του συντομότερου μονοπατιού μεταξύ τους (ή $\infty$ αν δεν υπάρχει).

Κάθε κορυφή $v\in V$ για την οποία $\epsilon (v)=\mathrm {rad} (G)$ λέγεται κεντρική και το σύνολο αυτών των κορυφών λέγεται κέντρο του $G$.

Παραδείγματα

• Η ακτίνα του παρακάτω γράφου είναι $2$, καθώς οι εκκεντρότητες είναι $\epsilon (v_{1})=3$, $\epsilon (v_{2})=3$, $\epsilon (v_{3})=4$, $\epsilon (v_{4})=2$, $\epsilon (v_{5})=2$, $\epsilon (v_{6})=3$, $\epsilon (v_{7})=4$, $\epsilon (v_{8})=3$.

Αριστερά ο αρχικός γράφος και δεξιά οι αποστάσεις σε κόκκινο από την κορυφή $v_{5}$, που δίνει την ελάχιστη εκκεντρότητα.

• Ο κύκλος $C_{n}$ έχει ακτίνα $\lfloor n/2\rfloor$.

Αριστερά ο αρχικός γράφος και δεξιά οι αποστάσεις σε κόκκινο για μία από τις κορυφές του κύκλου $C_{7}$.

• Ο πλήρης γράφος έχει ακτίνα $1$, καθώς όποια κορυφή και να διαλέξουμε οι αποστάσεις τις προς όλες τις κορυφές είναι $1$.

Αριστερά ο αρχικός γράφος και δεξιά οι αποστάσεις σε κόκκινο για μία από τις κορυφές του πλήρους γράφου $K_{6}$.

Δείτε επίσης

• Απόσταση (θεωρία γράφων)
• Εκκεντρότητα (θεωρία γράφων)
• Διάμετρος (θεωρία γράφων)