Θεώρημα

Μια διαισθητική (όχι αξιωματική) απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος με αναδιάταξη τεσσάρων ίσων ορθογώνιων τριγώνων.

Στα μαθηματικά, ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που αποδεικνύεται με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα αξιώματα.

Στην τυπική μαθηματική λογική, η έννοια θεώρημα μπορεί να ερμηνευθεί ως μια μαθηματική πρόταση που μπορεί να παραχθεί σύμφωνα με τους συμπερασματικούς κανόνες ενός συγκεκριμένου τυπικού συστήματος. Οι προτάσεις μιας θεωρίας όπως εκφράζονται σε μια τυπική γλώσσα ονομάζονται τα στοιχειώδη θεωρήματά της, και λέγεται ότι είναι αληθή.

Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από συμπερασματικούς κανόνες και αξιώματα χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Αυτό δεν έχει να κάνει με τη σημασιολογία της γλώσσας: η έκφραση που προκύπτει από μια παραγωγή είναι συντακτική συνέπεια όλων των εκφράσεων που προηγούνται. Στα μαθηματικά, η παραγωγή ενός θεωρήματος ερμηνεύεται συχνά ως απόδειξη της αλήθειας της έκφρασης που προκύπτει, αλλά διαφορετικά παραγωγικά συστήματα μπορούν να δώσουν άλλες ερμηνείες, ανάλογα με το νόημα των κανόνων παραγωγής.

Οι αποδείξεις των θεωρημάτων έχουν δυο μέρη, που λέγονται υποθέσεις και συμπεράσματα. Η απόδειξη ενός μαθηματικού θεωρήματος είναι ένα λογικό επιχείρημα που επιδεικνύει ότι τα συμπεράσματα είναι αναγκαία συνέπεια των υποθέσεων, με την έννοια ότι αν οι υποθέσεις είναι αληθείς, τότε και τα συμπεράσματα πρέπει επίσης να είναι αληθή, χωρίς περαιτέρω υποθέσεις. Η έννοια του θεωρήματος είναι επομένως θεμελιωδώς συμπερασματική, σε αντίθεση με την έννοια μιας επιστημονικής θεωρίας, η οποία είναι εμπειρική.

Τρόπος έκφρασης

Αν και μπορούν να γραφούν σε τελείως συμβολική μορφή με χρήση, για παράδειγμα, του προτασιακού λογισμού, τα θεωρήματα πιο συχνά γράφονται σε φυσική γλώσσα όπως π.χ. τα Ελληνικά ή τα Αγγλικά. Το ίδιο ισχύει και για τις αποδείξεις, που συχνά εκφράζονται ως λογικά οργανωμένα και καθαρά διατυπωμένα, άτυπα επιχειρήματα που σκοπό έχουν να δείξουν ότι μπορεί να κατασκευαστεί μια τυπική συμβολική απόδειξη. Τέτοια επιχειρήματα είναι τυπικά πιο εύκολα να ελεγχθούν από τα αμιγώς συμβολικά. Πράγματι, πολλοί μαθηματικοί θα εξέφραζαν προτίμηση για μια απόδειξη που όχι μόνο δείχνει την εγκυρότητα ενός θεωρήματος, αλλά επίσης εξηγεί με κάποιο τρόπο γιατί είναι προφανώς αλήθεια. Σε κάποιες περιπτώσεις μια εικόνα αρκεί για να αποδείξει ένα θεώρημα.

Λόγω του ότι τα θεωρήματα βρίσκονται στον πυρήνα των μαθηματικών, είναι επίσης κεντρικά και στην αισθητική τους. Θεωρήματα συχνά περιγράφονται ως προφανή, ή δύσκολα ή βαθιά, ή ακόμα και όμορφα. Οι υποκειμενικές αυτές κρίσεις ποικίλουν όχι μόνο από άτομο σε άτομο, αλλά επίσης και με το χρόνο. Για παράδειγμα, καθώς μια απόδειξη απλοποιείται ή κατανοείται καλύτερα, ένα θεώρημα που ήταν κάποτε δύσκολο μπορεί να γίνει προφανές. Από την άλλη, ένα βαθύ θεώρημα μπορεί να τεθεί με απλό τρόπο, αλλά η απόδειξή του μπορεί να εμπεριέχει εκπληκτικές και ευφυείς συνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων περιοχών των μαθηματικών. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα ενός τέτοιου θεωρήματος.

Τυπικές και άτυπες έννοιες

Στη λογική, τα περισσότερα θεωρήματα έχουν τη μορφή υποθετικών προσδιορισμών: αν Α, τότε Β. Ένα τέτοιο θεώρημα δεν ισχυρίζεται ότι το Β είναι πάντα αληθές, παρά μόνο ότι το Β θα πρέπει να ισχύει αν και το Α είναι αληθές. Σ' αυτή την περίπτωση το Α λέγεται η υπόθεση του θεωρήματος (εδώ η υπόθεση είναι τελείως διαφορετική από μια εικασία) και Β το συμπέρασμα. Το θεώρημα «Αν n είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε ο n/2 είναι φυσικός αριθμός» είναι ένα τυπικό παράδειγμα, στο οποίο η υπόθεση είναι ότι το n είναι άρτιος φυσικός αριθμός, και το συμπέρασμα είναι ότι το n/2 είναι επίσης φυσικός αριθμός.

Για να είναι δυνατό να αποδειχθεί, ένα θεώρημα θα πρέπει να είναι δυνατό να εκφραστεί ως μια ακριβής, τυπική πρόταση. Παρ' όλα αυτά, τα θεωρήματα εκφράζονται συνήθως σε φυσική γλώσσα αντί σε κάποια τελείως συμβολική μορφή, με την πρόθεση ότι ο αναγνώστης μπορεί να παράγει την τυπική διατύπωση από την άτυπη. Επιπλέον, υπάρχουν συχνά υποθέσεις που κατανοούνται από τα συμφραζόμενα, χωρίς να διατυπώνονται ρητά.

Επίπεδος χάρτης με πέντε χρώματα έτσι ώστε ποτέ δύο περιοχές με το ίδιο χρώμα δεν συνορεύουν. Είναι δυνατό να χρωματιστεί αντίστοιχα με μόνο τέσσερα χρώματα. Το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων διατυπώνει ότι τέτοια χρωματίσματα είναι δυνατά για κάθε επίπεδο χάρτη, αλλά κάθε γνωστή απόδειξη περιλαμβάνει υπολογιστική αναζήτηση που είναι υπερβολικά χρονοβόρα να ελεγχθεί με το χέρι.

Συχνά στα μαθηματικά επιλέγεται ένας αριθμός υποθέσεων που θεωρούνται αληθείς σε μια δεδομένη θεωρία, και στη συνέχεια λέγεται ότι η θεωρία αποτελείται από όλα τα θεωρήματα που αποδεικνύονται με αυτές τις υποθέσεις. Στην περίπτωση αυτή οι υποθέσεις που απαρτίζουν τη θεμελιακή αυτή βάση, λέγονται αξιώματα (ή αιτήματα) της θεωρίας. Το γνωστικό πεδίο των μαθηματικών που μελετά τα τυπικά αξιωματικά συστήματα και τις αποδείξεις που μπορούν να γίνουν εντός τους, λέγεται θεωρία αποδείξεων.

Ορισμένα θεωρήματα είναι προφανή, με την έννοια ότι έπονται από ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς. Κάποια άλλα λέγονται βαθειά: οι αποδείξεις τους μπορεί να είναι εκτεταμένες και δύσκολες, να χρησιμοποιούν περιοχές των μαθηματικών που θεωρούνται μακρινές από τη διατύπωση του θεωρήματος, ή να καταδεικνύουν εκπληκτικές διασυνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών. Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά να έχει βαθιά απόδειξη. Κλασσικό παράδειγμα είναι το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και υπάρχει πλήθος άλλων παραδειγμάτων από απλά, αλλά δύσκολα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών και τη συνδυαστική, ανάμεσα σε άλλες περιοχές.

Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων και η εικασία του Κέπλερ. Και τα δύο γνωρίζουμε ότι ισχύουν, ανάγοντάς τα σε υπολογιστική αναζήτηση, που στη συνέχεια επαληθεύεται με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή. Αρχικά, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδεχόντουσαν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά τα τελευταία χρόνια έχει γίνει περισσότερο αποδεκτή. Ο μαθηματικός Ντόρον Ζάιλμπέργκερ έχει φτάσει να ισχυριστεί ότι αυτά είναι πιθανώς τα μόνα μη προφανή αποτελέσματα που έχουν ποτέ αποδειχθεί από μαθηματικούς. Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε σαφείς υπολογισμούς, όπως οι πολυωνυμικές ταυτότητες, οι τριγωνομετρικές ταυτότητες, και οι υπεργεωμετρικές ταυτότητες

Ορολογία

Τα θεωρήματα συχνά υποδηλώνονται από αρκετούς άλλους όρους. Η ίδια η ετικέτα Θεώρημα φυλάσσεται για τα σημαντικότερα αποτελέσματα, ενώ τα αποτελέσματα που είναι λιγότερο σημαντικά ή διακρίνονται με άλλους τρόπους ονομάζονται από την ακόλουθη ορολογία:

• Η πρόταση είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη. Η λέξη πρόταση μερικές φορές χρησιμοποιείται για το δηλωτικό μέρος ενός θεωρήματος.
• Το λήμμα είναι ένα "προθεώρημα", μία δήλωση που σχηματίζει μέρος της απόδειξης ενός μεγαλύτερου θεωρήματος. Η διάκριση μεταξύ των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι μάλλον αυθαίρετη, μιας και το μείζον αποτέλεσμα του ενός μαθηματικού είναι η ελάσσων αξίωση ενός άλλου. Το Λήμμα του Γκάους και το λήμμα του Τσορν, για παράδειγμα, είναι αρκετά ενδιαφέροντα ώστε μερικοί συγγραφείς να τα παρουσιάζουν χωρίς να έχουν πρόθεση να τα χρησιμοποιήσουν στην απόδειξη κάποιου θεωρήματος.
• Το πόρισμα είναι μια πρόταση που συνεπάγεται με μικρή ή και καθόλου απόδειξη από ένα άλλο θεώρημα ή ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση Β είναι πόρισμα της πρότασης Α αν η Β μπορεί γρήγορα να συναχθεί από την Α.
• Η Αξίωση (ή αίτημα) είναι ένα απαραίτητο ή ανεξάρτητα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που μπορεί να είναι μέρος της απόδειξης μιας άλλης δήλωσης. Παρά το όνομα, οι αξιώσεις πρέπει να αποδειχθούν.

Υπάρχουν και άλλοι όροι, που χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά, οι οποίοι προσδίδονται συμβατικά σε αποδεδειγμένες δηλώσεις, έτσι ώστε ορισμένα θεωρήματα να αναφέρονται με ιστορικά ή συνηθισμένα ονόματα. Για παράδειγμα:

• Ταυτότητα, που χρησιμοποιείται για θεωρήματα τα οποία δηλώνουν μια ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων. Παραδείγματα αποτελούν η ταυτότητα του Όιλερ και η ταυτότητα Βαντερμόντ.
• Κανόνας, που χρησιμοποιείται για ορισμένα θεωρήματα, όπως ο κανόνας Μπέυζ και ο κανόνας του Κράμερ, που αποδεικνύουν χρήσιμους τύπους.
• Νόμος. Παράδειγμα αποτελούν ο Νόμος των μεγάλων αριθμών, ο Νόμος των συνημιτόνων και ο Νόμος μηδέν-ένα του Κολμογκόροφ.
• Αρχή. Παραδείγματα αποτελούν η Αρχή του Χαρνάκ, η Αρχή του ελαχίστου άνω φράγματος, και η Αρχή της θυρίδας.
• Το Αντίστροφο ενός άλλου θεωρήματος. Για παράδειγμα, αν ένα θεώρημα δηλώνει ότι το Α έχει σχέση με το Β, τότε το αντίστροφό του θα δήλωνε ότι το Β έχει σχέση με το Α. Το αντίστροφο ενός θεωρήματος δεν είναι απαραιτήτως πάντα αληθές.

Λίγα πασίγνωστα θεωρήματα έχουν ακόμα πιο ιδιοσυγκρατικά ονόματα. Ο Αλγόριθμος διαίρεσης είναι ένα θεώρημα που εκφράζει το αποτέλεσμα της διαίρεσης στους φυσικούς αριθμούς και τους γενικότερους δακτυλίους. Το Παράδοξο των Μπανάχ–Τάρσκι είναι ένα θεώρημα στη θεωρία μέτρου του οποίου το αποτέλεσμα αποτελεί παράδοξο καθώς βρίσκεται σε αντίθεση με την κοινή διαίσθηση για τον όγκο στον τρισδιάστατο χώρο.

Μία μη-αποδεδειγμένη δήλωση που πιστεύεται πως είναι αληθής καλείται εικασία (ή ενίοτε υπόθεση, αλλά με διαφορετικό νόημα από το παραπάνω). Για να θεωρηθεί εικασία, μια δήλωση πρέπει συνήθως να προταθεί δημόσια, οπότε το όνομα του ατόμου που έκανε την πρόταση μπορεί να προσκολληθεί στην εικασία, όπως με την εικασία του Γκόλντμπαχ. Άλλες διάσημες εικασίες αποτελούν η εικασία του Κόλατζ και η υπόθεση Ρίμαν.