Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 26/08/2015.
Μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση
d
:
V
×
V
⟶
R
{\displaystyle d:V\times V\longrightarrow \mathbb {R} }
V
≠
∅
{\displaystyle V\neq \emptyset }
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle x,y,z\in V\,}
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0\,}
αν και μόνο αν
x
=
y
{\displaystyle x=y\,}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}
τριγωνική ανισότητα )Η τιμή d (x ,y ) ονομάζεται απόσταση των x , y , (ενν. μέσω της μετρικής d ). Οποιοδήποτε σύνολο εφοδιασμένο με μία μετρική ονομάζεται μετρικός χώρος .
Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
για κάθε
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
x και για κάθε y , η τριγωνική ανισότητα δίνει
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
x
)
≥
d
(
x
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)}
2
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle 2d(x,y)\geq 0}
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
Η Διακριτή μετρική :
d
(
x
,
y
)
=
{
0
x
=
y
1
x
≠
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}}
Η μετρική στο
R
n
:
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}
d
∞
(
x
,
y
)
=
max
{
|
x
i
−
y
i
|
:
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle d_{\infty }(x,y)=\max {\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}}}
