Totala ordo: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio]

Enhavo forigita Enhavo aldonita

Enteksta

Nuna versio ekde 09:15, 1 jul. 2024

En matematiko, totala ordo^[1], tuteca ordo, linia ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ordorilato, kiu ordigas ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajnaj du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.

Difino

Sur aro $X$ , totala ordo $\leq$ estas parta ordo kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas duargumenta rilato sur X, kiu estas antisimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X:

se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (antisimetrio)

se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiveco)

a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteco)

Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas totale ordita aro,^[2] linie ordita aro, simple ordita aro, aŭ ĉeno.

Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas reciproke komparebla sub la rilato.

Rimarku ke la kondiĉo de totaleco implicas refleksivecon, tio estas a ≤ a. Tial totala ordo estas ankaŭ parta ordo, tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva. Totala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo, kiu estas totala.

Alternative, oni povas difini totale ordan aron kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas

{ a ∨ b, a ∧ b } = { a, b } por ĉiuj a, b.

Ni tiam skribas a ≤ b se kaj nur se a = a ∧ b. Sekvas, ke totale ordita aro estas distribueca latiso.

Se a kaj b estas membroj de aro kiu estas totale ordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton a < b kiel: a ≤ b kaj a ≠ b. Ĉi tiu rilato estas transitiva (a < b kaj b < c implicas ke a < c) kaj, malkiel ≤, triĥotoma (t.e., por ajna elekto de a kaj b validas precize unu el la tri ebloj: a < b, b < a aŭ a = b).

Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj komenci, difinante rilaton < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam la rilato a ≤ b difinita kiel kiel "a < b aŭ a = b", estas totala ordo.

Totale ordaj aroj formas plena subkategorio de la kategorio de parte ordaj aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn f tiaj ke se a ≤ b tiam f(a) ≤ f(b).

Reciproke unuvalora surĵeto inter du totale ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio.

Ekzemploj

La literoj de la alfabeto orditaj laŭ la norma vortara ordo, e.g., A < B < C kaj tiel plu.
Iu ajn subaro de totale ordita aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.
Iu ajn parte ordita aro X kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se a,b estas membroj de X, aŭ a≤b aŭ b≤a aŭ ambaŭ.
Iu ajn aro de kardinaloj aŭ ordaj numeroj (pli forte, tiuj estas bonaj ordoj).
Se $X$ estas iu ajn aro kaj $f$ reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn totale ordita aro al $X$ tiam $f$ produktas totalan ordon sur $X$ per tio fari $x_{1}<x_{2}$ se kaj nur se $x_{1}=f(n_{1})$ kaj $x_{2}=f(n_{2})$ kaj $n_{1}<n_{2}$ .
La leksikographia (vortara, alfabeta) ordo sur la kartezia produto de aro de totale ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas totala ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas totala ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
Naturaj nombroj, entjeraj nombroj, racionalaj nombroj, kaj reelaj nombroj orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj totalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) plej malgranda ekzemplo de totale ordita aro kun certa propraĵo, (totala ordo A estas la plej malgranda kun certa propraĵo se kiam ajn B havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de A al subaro de B).:
- La naturaj nombroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supera limo.
- La entjeroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron kun neniu supra nek suba limo.
- La racionalaj nombroj konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas densa en la senco ke (a, b) estas ne-malplena por ĉiu a < b.
- La reelaj nombroj konstituas la plej malgrandan nelimitan koneksan totale ordan aron. (Vidu pli sube por la difino de la topologio.)

Pluaj konceptoj

Topologio de ordo

Por ĉiu totale ordita aro X ni povas difini la malfermitajn intervalojn (a, b) = {x : a < x kaj x < b}, (−∞, b) = {x : x < b}, (a, ∞) = {x : a < x} kaj (−∞, ∞) = X. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini topologion sur ĉiu totale ordita aro, la ordan topologion.

Notu ke la formala difino de ordita aro kiel aro parigita kun ordo garantias, ke ekzistas unika ordotopologio sur ajna totale ordita aro. Tamen, en praktiko, la distingo inter aro kiu havas ordon sur ĝi difinitan kaj la paro de la aro kaj asociita ordo estas kutime ignorata. Tial por eviti konfuzon kiam pli ol unu ordo estas uzata en kune kun aro estas ordinare paroli pri la ordotopologio produktita de aparta ordo. Ekzemple, se N estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur N produktita de < kaj pri la ordotopologio sur N produktita de > (en ĉi tiu kazo tiuj du topologioj estas identaj, sed tio ne validas ĝenerale).

La ordotopologio povas esti montrita herede normala.

Kompleteco

Totale ordita aro estas kompleta, se ĉiu subaro kiu havas superan limon, ankaŭ havas malplejan superan limon. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:

Se la ordotopologio sur X estas koneksa, X estas kompleta.
X estas koneksa sub la ordotopologio, se kaj nur se ĝi estas kompleta kaj mankas breĉo en X (breĉo estas du punktoj a kaj b en X sen c kontentiganta a < c < b.)
X estas kompleta, se kaj nur se ĉiu limita aro kiu estas fermita en la ordotopologio estas kompakta.

Ĉenoj

Dum el difina vidpunkto, ĉeno nure estas sinonimo por totale ordita aro, la termino kutime priskribas totale orditan subaron de iu parta ordo. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel totale ordita aro. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj parte orditaj per inkludado tiam la totale ordita aro sub inkludo { I_n : n estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ĉeno.

La emo uzi la vorton ĉeno por nomi totale orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj totale orditaj subaroj ludas en la Lemo de Zorn.

Finia totala ordo

Simpla argumento per nombrado konfirmos, ke kiu ajn finia totala ordo (kaj tial kiu ajn subaro de tiu) havas plej malgrandan eron. Tial ĉiu finia totala ordo estas fakte bona ordo. Ĉu per rekta pruvo, ĉu per observado, ke ĉiu bona ordo estas orde izomorfia al orda numero, oni povas montri, ke ĉiu finia totala ordo estas orde izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj ordita per <. Alivorte, totala ordo kun k eroj produktas reciproke unuvalora surĵeto per la unuaj k naturaj numeroj. Tial estas ordinare indeksi finiajn totalajn ordojn aŭ nombreblajn bonajn ordojn per naturaj numeroj per maniero kiu respektas la ordon.

Komparu kun parta ordo, al kiu mankas la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la rilato okazis-antaŭe.

Referencoj

↑ Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: ord/o Ⅰ.5 “ordo estas totala, se por ajnaj elementoj a kaj b validas a ≤ b aŭ b ≤ a.”
↑ Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: ord/i 2 “Provizi aron per ordo”

[1] Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: ord/o Ⅰ.5 “ordo estas totala, se por ajnaj elementoj a kaj b validas a ≤ b aŭ b ≤ a.”

[2] Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: ord/i 2 “Provizi aron per ordo”

[1]

[2]

@@ Linio 1: / Linio 1: @@
+En [[matematiko]], '''totala ordo'''<ref>[[Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto]]: [http://vortaro.net/#ordo ord/o Ⅰ.5] “ordo estas totala, se por ajnaj elementoj ''a'' kaj ''b'' validas ''a'' ≤ ''b'' aŭ ''b'' ≤ ''a''.”</ref>, '''tuteca ordo''', '''linia ordo''' aŭ '''simpla ordo''' sur [[Aro (matematiko)|aro]] ''X'' estas ordorilato, kiu ordigas ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajnaj du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.
-{{polurinda|Tuteca ordo}}
-En [[matematiko]], '''tuteca ordo''', '''lineara ordo''' aŭ '''simpla ordo''' sur [[aro]] ''X'' estas ĉiu [[duargumenta rilato]] sur ''X'' kiu estas [[Malsimetria rilato|malsimetria]], [[Transitiva rilato|transitiva]], kaj [[Tuteca rilato|tuteca]]. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj ''a'', ''b'' kaj ''c'' en ''X'':
+== Difino ==
-: se ''a'' ≤ ''b'' kaj ''b'' ≤ ''a'' tiam ''a'' = ''b'' ([[Malsimetria rilato|malsimetrio]])
+Sur aro <math>X</math>, '''totala ordo''' <math>\le</math> estas [[parta ordo]] kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas [[duargumenta rilato]] sur ''X'', kiu estas [[Antisimetria rilato|antisimetria]], [[Transitiva rilato|transitiva]], kaj [[Tuteca rilato|tuteca]]. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj ''a'', ''b'' kaj ''c'' en ''X'':
+: se ''a'' ≤ ''b'' kaj ''b'' ≤ ''a'' tiam ''a'' = ''b'' ([[Antisimetria rilato|antisimetrio]])
 : se ''a'' ≤ ''b'' kaj ''b'' ≤ ''c'' tiam ''a'' ≤ ''c'' ([[Transitiva rilato|transitiveco]])
 : ''a'' ≤ ''b'' aŭ ''b'' ≤ ''a'' ([[Tuteca rilato|tuteco]])
-Aro pariĝita kun asociita tuteca ordo sur ĝi nomiĝas '''tutece orda aro''', '''lineare orda aro''', '''simple orda aro''', aŭ '''ĉeno'''.
+Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas '''totale ordita aro''',<ref>[[Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto]]: [http://vortaro.net/#ordi ord/i 2] “Provizi aron per ordo”</ref> '''linie ordita aro''', '''simple ordita aro''', aŭ '''ĉeno'''.
-Rilata propraĵo de [[Tuteca rilato|tuteco]] povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas '''reciproke komparebla''' sub la rilato.
+Rilata propraĵo de [[tuteca rilato|tuteco]] povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas '''reciproke komparebla''' sub la rilato.
-Rimarku ke la kondiĉo de ''tuteco'' implicas [[Refleksiva rilato|refleksiveco]]n, tio estas ''a'' ≤ ''a''. Tial tuteca ordo estas ankaŭ [[parta ordo]], tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, malsimetria kaj transitiva. Tuteca ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo kiu estas tuteca.
+Rimarku ke la kondiĉo de ''totaleco'' implicas [[Refleksiva rilato|refleksiveco]]n, tio estas ''a'' ≤ ''a''. Tial totala ordo estas ankaŭ [[parta ordo]], tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva. Totala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo, kiu estas totala.
-Alternative, oni povas difini tutece orda aro kiel aparta speco de [[latiso]], nome unu en kiu ni havas
+Alternative, oni povas difini totale ordan aron kiel aparta speco de [[Latiso (matematiko)|latiso]], nome unu en kiu ni havas
-: <math>\{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\}</math> por ĉiuj ''a'', ''b''.
+: { ''a'' ∨ ''b'', ''a'' ∧ ''b'' } = { ''a'', ''b'' } por ĉiuj ''a'', ''b''.
-Ni tiam skribas ''a'' ≤ ''b'' se kaj nur se <math>a = a\wedge b</math>.  Sekvas, ke tutece orda aro estas [[distribueca latiso]].
+Ni tiam skribas ''a'' ≤ ''b'' se kaj nur se ''a = a ∧ b''.  Sekvas, ke totale ordita aro estas [[distribueca latiso]].
-Se ''a'' kaj ''b'' estas membroj de aro kiu estas tutece ordita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton ''a'' < ''b'' kiel: ''a'' ≤ ''b'' kaj ''a'' ≠ ''b''. Ĉi tiu rilato estas transitiva (''a'' < ''b'' kaj ''b'' < ''c'' implicas ke ''a'' < ''c'') kaj, malkiel ≤, trieropiĝa (t.e., ekzakte unu de ''a'' < ''b'', ''b'' < ''a'' kaj ''a'' = ''b'' veras). Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj starti per ekelekti < kiel transitivan trieropan duargumentan rilaton; tiam se ni difinas ''a'' ≤ ''b'' signifi ''a'' < ''b'' aŭ ''a'' = ''b'' , tiam ≤ povas esti montrita esti tuteca ordo.
+Se ''a'' kaj ''b'' estas membroj de aro kiu estas totale ordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton ''a'' < ''b'' kiel: ''a'' ≤ ''b'' kaj ''a'' ≠ ''b''. Ĉi tiu rilato estas transitiva (''a'' < ''b'' kaj ''b'' < ''c'' implicas ke ''a'' < ''c'') kaj, malkiel ≤, [[triĥotomo|triĥotoma]] <!--nePIVa vorto analoga al PIVa diĥotoma/dikotoma--> (t.e., por ajna elekto de ''a'' kaj ''b'' validas precize unu el la tri ebloj: ''a'' < ''b'', ''b'' < ''a'' aŭ ''a'' = ''b'').
+Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj komenci, difinante rilaton < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam la rilato ''a'' ≤ ''b'' difinita kiel kiel "''a'' < ''b'' aŭ ''a'' = ''b''", estas totala ordo.
-Tutece ordaj aroj formas [[Subkategorio|plena subkategorio]] de la [[Kategorio (matematiko)|kategorio]] de [[Parta ordo|parte ordaj]] aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiu respektas la ordojn, t.e. mapojn <math>f</math> tiaj ke se ''a'' ≤ ''b'' tiam ''f(a)'' ≤ ''f(b)''.
+Totale ordaj aroj formas [[Subkategorio|plena subkategorio]] de la [[Kategorio (matematiko)|kategorio]] de [[Parta ordo|parte ordaj]] aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn ''f'' tiaj ke se ''a'' ≤ ''b'' tiam ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'').
-Reciproke unuvalora surĵeto inter du tutece ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio.
+[[Reciproke unuvalora surĵeto]] inter du totale ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas [[izomorfio]] en ĉi tiu kategorio.
-==Ekzemplo==
+==Ekzemploj==
 * La literoj de la alfabeto orditaj laŭ la norma vortara ordo, e.g., ''A'' < ''B'' < ''C'' kaj tiel plu.
+* Iu ajn subaro de totale ordita aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.
+* Iu ajn parte ordita aro ''X'' kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se ''a'',''b'' estas membroj de ''X'', aŭ ''a''≤''b'' aŭ ''b''≤''a'' aŭ ambaŭ.
+* Iu ajn aro de [[kardinala nombro|kardinalo]]j aŭ [[numero (matematiko)|ordaj numeroj]] (pli forte, tiuj estas [[Bona ordo|bonaj ordoj]]).
+* Se <math>X</math> estas iu ajn aro kaj <math>f</math> reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn totale ordita aro al <math>X</math> tiam <math>f</math> produktas totalan ordon sur <math>X</math> per tio fari <math>x_1 < x_2</math> se kaj nur se <math>x_1 = f(n_1)</math> kaj <math>x_2 = f(n_2)</math> kaj <math>n_1 < n_2</math>.
+* La [[leksikografia ordo|leksikographia (vortara, alfabeta) ordo]] sur la [[kartezia produto]] de aro de totale ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas totala ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas totala ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
+* ''[[Naturaj nombroj]]'', ''[[entjeraj nombroj]]'', ''[[racionalaj nombroj]]'', kaj ''[[reelaj nombroj]]'' orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj totalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) ''plej malgranda'' ekzemplo de totale ordita aro kun certa propraĵo, (totala ordo ''A'' estas la ''plej malgranda'' kun certa propraĵo se kiam ajn ''B'' havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de ''A'' al subaro de ''B'').:
+**La ''naturaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen [[supera limo]].
+**La ''entjeroj'' konstituas la plej malgrandan totale ordan aron kun neniu supra nek [[suba limo]].
+**La ''racionalaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas ''densa'' en la senco ke (''a'', ''b'') estas ne-malplena por ĉiu ''a'' < ''b''.
+**La ''reelaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan nelimitan [[koneksa spaco|koneksan]] totale ordan aron. (Vidu pli sube por la difino de la topologio.)
+==Pluaj konceptoj==
-* Iu ajn subaro de tutece orda aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.
-* Iu ajn parte orda aro ''X'' kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se ''a'',''b'' estas membroj de ''X'', aŭ ''a''≤''b'' aŭ ''b''≤''a'' aŭ ambaŭ.
-* Iu ajn aro de [[kardinalo]]j aŭ [[Orda numeralo|numeroj]] (pli forte, ĉi tiuj estas [[Bona ordo|bonaj ordoj]]).
-* Se ''X'' estas iu ajn aro kaj ''f'' reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn tutece orda aro al ''X'' tiam ''f'' produktas tutecan ordadon sur ''X'' per tio fari x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> se kaj nur se x<sub>1</sub> = f(_n1_) kaj _x2_ = f(_n2_) kaj _n1_ < _n2_.
-* La [[leksikografia ordo|leksikographia (vortara, alfabeta) ordo]] sur la [[Kartezia produkto]] de aro de tutece ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas tuteca ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas tuteca ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produkto de numerebla nombro de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
-* ''Naturaj nombroj'', ''(entjeroj, entjeras)'', ''racionalaj nombroj'', kaj ''reelaj nombroj'' (mendita, ordita) per la kutima malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj tutecaj ordoj. Ĉiu de ĉi tiuj povas esti montrita al esti la unika (al en izomorfio) ''(plej minuskla, plej malgranda)'' ekzemplo de tutece orda aro kun certa propraĵo, (tuteca ordo ''A'' estas la ''(plej minuskla, plej malgranda)'' kun certa propraĵo se ĉiam ''B'' havas la propraĵo, estas (mendi, ordo) izomorfio de ''A'' al subaro de ''B'').:
-**La ''naturaj nombroj'' ampleksi la (plej minuskla, plej malgranda) tutece orda aro sen [[supera baro]].
-**La ''(entjeroj, entjeras)'' ampleksi la (plej minuskla, plej malgranda) tutece orda aro kun neniu supra nek suba baro.
-**La ''racionalaj nombroj'' ampleksi la (plej minuskla, plej malgranda) tutece orda aro sen supra aŭ suba baro, kiu estas ''densa'' en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) (''a'', ''b'') estas ne-malplena por ĉiu ''a'' < ''b''.
-**La ''reelaj nombroj'' ampleksi la (plej minuskla, plej malgranda) nebarita [[Konekteco|koneksa]] tutece orda aro. (Vidi pli sube por la difino de la topologio.)
-==Plui konceptoj==
 ===Topologio de ordo===
+Por ĉiu totale ordita aro ''X'' ni povas difini la '''malfermitajn [[Intervalo (matematiko)|intervalojn]]''' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' kaj ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} kaj (−∞, ∞) = ''X''. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini [[topologio]]n sur ĉiu totale ordita aro, la [[orda topologio|ordan topologion]].
+Notu ke la formala difino de ordita aro kiel aro parigita kun ordo garantias, ke ekzistas unika [[ordotopologio]] sur ajna totale ordita aro. Tamen, en praktiko, la distingo inter aro kiu havas ordon sur ĝi difinitan kaj la paro de la aro kaj asociita ordo estas kutime ignorata. Tial por eviti konfuzon kiam pli ol unu ordo estas uzata en kune kun aro estas ordinare paroli pri la ordotopologio produktita de aparta ordo. Ekzemple, se '''N''' estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur '''N''' produktita de < kaj pri la ordotopologio sur '''N''' produktita de > (en ĉi tiu kazo tiuj du topologioj estas identaj, sed tio ne validas ĝenerale).
-Por ĉiu tutece orda aro ''X'' ni povas difini la '''malfermitajn [[Intervalo (matematiko)|intervalojn]]''' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' kaj ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} kaj (−∞, ∞) = ''X''. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini [[topologio]]n sur ĉiuorda aro, la [[topologio de ordo]].
-(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la formala difino de orda aro kiel aro paris kun (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) garantias (tiu, ke, kiu) estas unika (mendi, ordo) topologio sur (ĉiu, iu) orda aro. Tamen, en praktiko la distingo inter aro kiu havas (mendi, ordo) difinis sur ĝi kaj la paro de la aro kaj asociita (mendi, ordo) estas kutime ignorita. De ĉi tie al eviti konfuzo kiam pli ol unu (mendi, ordo) estas estante uzita en (konjunkcio, aŭo, kajo) kun ara ĝi estas komuna al (konversacii, konversacio, prelego) pri la (mendi, ordo) topologio konkludis per aparta (mendi, ordo). Ekzemple se '''N''' estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol ni povus referi al la (mendi, ordo) topologio sur '''N''' konkludis per < kaj la (mendi, ordo) topologio sur '''N''' konkludis per > (en ĉi tiu (kesto, okazo) ili okazi al esti identa sed estos ne en ĝenerala).
-La (mendi, ordo) topologio (majo, povas) esti montrita al esti [[Hausdorff-a spaco|Hausdorff-a (_T2_).]]
-===Pleneco===
-Tutece orda aro estas dirita al esti plenumi se ĉiu subaro (tiu, ke, kiu) havas supera baro, havas supremo. Estas nombro de rezultoj rilatante propraĵoj de la (mendi, ordo) topologio al la pleneco de X:
-*Se la (mendi, ordo) topologio sur ''X'' estas koneksa, ''X'' estas plenumi.
-*''X'' estas koneksa sub la (mendi, ordo) topologio se kaj nur se ĝi estas plenumi kaj estas ne ''breĉo'' en ''X'' (breĉo estas du punktoj ''a'' kaj ''b'' en ''X'' sen ''c'' (veriganta, kontentiganta) ''a'' &lt; ''c'' &lt; ''b''.)
-*''X'' estas plenumi se kaj nur se ĉiu barita ara tio estas (fermita, fermis) en la (mendi, ordo) topologio estas kompakta.
-===Ĉenoj===
+La ordotopologio povas esti montrita [[herede normala]].
-Dum de difina punkto de vido, '''ĉeno''' estas nure (sinonimo, samsencaĵo) por '''tutece orda aro''' la (termo, membro, flanko, termino) estas kutime kutima priskribi tutece (mendita, ordita) subaro de iu [[parta ordo]]. Tial la reelaj nombroj devus (kredeble, verŝajne) esti priskribita kiel '''tutece orda aro'''. Tamen, se ni estita al konsideri ĉiuj (subaroj, subaras) de la (entjeroj, entjeras) ''parte (mendita, ordita)'' per inkluziveco tiam la tutece orda aro sub inkluziveco { ''Mi''<sub>''n''</sub> : ''n'' estas natura nombro} difinis en pli supre ekzemplo devus ofte nomiĝi ĉeno.
+=== Kompleteco===
-La _preferential_ uzi de ĉeno al referi al tutece (mendita, ordita) subaro de parta ordo verŝajna (tigoj, tigas) de la grava rolo tia tutece (mendita, ordita) (subaroj, subaras) ludi en [[Lemo de Zorn]].
+Totale ordita aro estas '''kompleta''', se ĉiu subaro kiu havas [[supera limo|superan limon]], ankaŭ havas [[malpleja supera limo|malplejan superan limon]]. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:
+*Se la ordotopologio sur ''X'' estas koneksa, ''X'' estas kompleta.
+*''X'' estas koneksa sub la ordotopologio, se kaj nur se ĝi estas kompleta kaj mankas ''breĉo'' en ''X'' (breĉo estas du punktoj ''a'' kaj ''b'' en ''X'' sen ''c'' kontentiganta ''a'' &lt; ''c'' &lt; ''b''.)
+*''X'' estas kompleta, se kaj nur se ĉiu limita aro kiu estas fermita en la ordotopologio estas kompakta.
-===Finiaj tutecaj ordoj===
+=== Ĉenoj ===
+Dum el difina vidpunkto, '''ĉeno''' nure estas sinonimo por '''totale ordita aro''', la termino kutime priskribas totale orditan subaron de iu [[parta ordo]]. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel '''totale ordita aro'''. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj ''parte orditaj'' per inkludado tiam la totale ordita aro sub inkludo { ''I''<sub>''n''</sub> : ''n'' estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ''ĉeno''.
+La emo uzi la vorton ''ĉeno'' por nomi totale orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj totale orditaj subaroj ludas en la [[Lemo de Zorn]].
-Simpla (kalkulo, kalkulanta) argumento estos kontroli (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) finia tuteca ordo (kaj de ĉi tie (ĉiu, iu) subaro _thereof_) havas plej malgranda ero. Tial ĉiu finia tuteca ordo estas fakte bone (mendi, ordo). Ĉu per direkta pruvo aŭ per observanta (tiu, ke, kiu) ĉiu bone (mendi, ordo) estas (mendi, ordo) izomorfia al [[orda numeralo]] unu (majo, povas) montri (tiu, ke, kiu) ĉiu finia tuteca ordo estas (mendi, ordo) izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj (mendita, ordita) per <. En alia (vortoj, vortas) tuteca ordo kun k eroj estas konkludita per reciproke unuvalora surĵeto kun la unua k naturaj nombroj. De ĉi tie ĝi estas komuna al indeksaj finiaj tutecaj ordoj aŭ numerebla bone (mendas, ordoj) per naturaj nombroj en (modo, maniero) kiu (respektoj, respektas) la (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo).
+=== Finia totala ordo ===
-Kontrasto kun [[parta ordo]], kiu (malhavas, mankoj, mankas) la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la okazis-antaŭ rilato.
+Simpla argumento per nombrado konfirmos, ke kiu ajn finia totala ordo (kaj tial kiu ajn subaro de tiu) havas plej malgrandan eron. Tial ĉiu finia totala ordo estas fakte bona ordo. Ĉu per rekta pruvo, ĉu per observado, ke ĉiu bona ordo estas orde izomorfia al [[numero (matematiko)|orda numero]], oni povas montri, ke ĉiu finia totala ordo estas orde izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj ordita per <. Alivorte, totala ordo kun k eroj produktas [[reciproke unuvalora surĵeto]] per la unuaj k naturaj numeroj. Tial  estas ordinare indeksi finiajn totalajn ordojn aŭ nombreblajn bonajn ordojn per naturaj numeroj per maniero kiu respektas la ordon.
+Komparu kun [[parta ordo]], al kiu mankas la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la rilato [[okazis-antaŭe]].
-== Vidu ankaŭ jenon: ==
+== Referencoj ==
-[[Kategorio:Orda teorio]]
+{{referencoj}}
-[[Kategorio:Matematiko]]
-[[Kategorio:Aroteorio]]
+[[Kategorio:Ordoteorio]]
-[[en:Total order]]
-[[es:Orden total]]
-[[fr:Ordre total]]
-[[it:Ordine totale]]
-[[pl:Porządek liniowy]]
-[[ru:Вполне упорядоченное множество]]
-[[zh:全序关系]]