Totala ordo

En matematiko, tuteca ordo, lineara ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ĉiu duargumenta rilato sur X kiu estas malsimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X:

se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (malsimetrio)

se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiveco)

a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteco)

Aro parigita kun asociita tuteca ordo sur ĝi nomiĝas tutece orda aro, lineare orda aro, simple orda aro, aŭ ĉeno.

Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas reciproke komparebla sub la rilato.

Rimarku ke la kondiĉo de tuteco implicas refleksivecon, tio estas a ≤ a. Tial tuteca ordo estas ankaŭ parta ordo, tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, malsimetria kaj transitiva. Tuteca ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo kiu estas tuteca.

Alternative, oni povas difini tutece orda aro kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas

$\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}$ por ĉiuj a, b.

Ni tiam skribas a ≤ b se kaj nur se $a=a\wedge b$. Sekvas, ke tutece orda aro estas distribueca latiso.

Se a kaj b estas membroj de aro kiu estas tutece ordita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton a < b kiel: a ≤ b kaj a ≠ b. Ĉi tiu rilato estas transitiva (a < b kaj b < c implicas ke a < c) kaj, malkiel ≤, triĥotoma (t.e., ekzakte unu de a < b, b < a kaj a = b veras). Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj starti per ekelekti < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam se ni difinas a ≤ b signifi a < b aŭ a = b , tiam ≤ povas esti montrita esti tuteca ordo.

Tutece ordaj aroj formas plena subkategorio de la kategorio de parte ordaj aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn $f$ tiaj ke se a ≤ b tiam f(a) ≤ f(b).

Reciproke unuvalora surĵeto inter du tutece ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio.

Ekzemploj

• La literoj de la alfabeto orditaj laŭ la norma vortara ordo, e.g., A < B < C kaj tiel plu.

• Iu ajn subaro de tutece orda aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.

• Iu ajn parte orda aro X kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se a,b estas membroj de X, aŭ a≤b aŭ b≤a aŭ ambaŭ.

• Iu ajn aro de kardinaloj aŭ ordaj numeraloj (pli forte, tiuj estas bonaj ordoj).

• Se $X$ estas iu ajn aro kaj $f$ reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn tutece orda aro al $X$ tiam $f$ produktas tutecan ordadon sur $X$ per tio fari $x_{1}<x_{2}$ se kaj nur se $x_{1}=f(n_{1})$ kaj $x_{2}=f(n_{2})$ kaj $n_{1}<n_{2}$.

• La leksikographia (vortara, alfabeta) ordo sur la Kartezia produkto de aro de tutece ordaj aroj indicita per orda numeralo, mem estas tuteca ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas tuteca ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produkto de numerebla nombro de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).

• Naturaj nombroj, entjeraj nombroj, racionalaj nombroj, kaj reelaj nombroj orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj tutecaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) plej malgranda ekzemplo de tutece orda aro kun certa propraĵo, (tuteca ordo A estas la plej malgranda kun certa propraĵo se kiam ajn B havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de A al subaro de B).:
  • La naturaj nombroj konstituas la plej malgrandan tutece ordan aron sen supera limo.
  • La entjeroj konstituas la plej malgrandan tutece ordan aron kun neniu supra nek suba limo.
  • La racionalaj nombroj konstituas la plej malgrandan tutece ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas densa en la senco ke (a, b) estas ne-malplena por ĉiu a < b.
  • La reelaj nombroj konstituas la plej malgrandan nelimitan koneksan tutece ordan aron. (Vidu pli sube por la difino de la topologio.)

Pluaj konceptoj

Topologio de ordo

Por ĉiu tutece orda aro X ni povas difini la malfermitajn intervalojn (a, b) = {x : a < x kaj x < b}, (−∞, b) = {x : x < b}, (a, ∞) = {x : a < x} kaj (−∞, ∞) = X. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini topologion sur ĉiuorda aro, la topologio de ordo.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la formala difino de orda aro kiel aro paris kun (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) garantias (tiu, ke, kiu) estas unika (mendi, ordo) topologio sur (ĉiu, iu) orda aro. Tamen, en praktiko la distingo inter aro kiu havas (mendi, ordo) difinis sur ĝi kaj la paro de la aro kaj asociita (mendi, ordo) estas kutime ignorita. De ĉi tie al eviti konfuzo kiam pli ol unu (mendi, ordo) estas estante uzita en (konjunkcio, aŭo, kajo) kun ara ĝi estas komuna al (konversacii, konversacio, prelego) pri la (mendi, ordo) topologio konkludis per aparta (mendi, ordo). Ekzemple se N estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol ni povus referi al la (mendi, ordo) topologio sur N konkludis per < kaj la (mendi, ordo) topologio sur N konkludis per > (en ĉi tiu (kesto, okazo) ili okazi al esti identa sed estos ne en ĝenerala).

La (mendi, ordo) topologio (majo, povas) esti montrita al esti Hausdorff-a (_T2_).

Pleneco

Tutece orda aro estas dirita al esti plenumi se ĉiu subaro (tiu, ke, kiu) havas supera baro, havas supremo. Estas nombro de rezultoj rilatante propraĵoj de la (mendi, ordo) topologio al la pleneco de X:

• Se la (mendi, ordo) topologio sur X estas koneksa, X estas plenumi.
• X estas koneksa sub la (mendi, ordo) topologio se kaj nur se ĝi estas plenumi kaj estas ne breĉo en X (breĉo estas du punktoj a kaj b en X sen c (veriganta, kontentiganta) a < c < b.)
• X estas plenumi se kaj nur se ĉiu barita ara tio estas (fermita, fermis) en la (mendi, ordo) topologio estas kompakta.

Ĉenoj

Dum de difina punkto de vido, ĉeno estas nure (sinonimo, samsencaĵo) por tutece orda aro la (termo, membro, flanko, termino) estas kutime kutima priskribi tutece (mendita, ordita) subaro de iu parta ordo. Tial la reelaj nombroj devus (kredeble, verŝajne) esti priskribita kiel tutece orda aro. Tamen, se ni estita al konsideri ĉiuj (subaroj, subaras) de la (entjeroj, entjeras) parte (mendita, ordita) per inkluziveco tiam la tutece orda aro sub inkluziveco { Mi_n : n estas natura nombro} difinis en pli supre ekzemplo devus ofte nomiĝi ĉeno.

La _preferential_ uzi de ĉeno al referi al tutece (mendita, ordita) subaro de parta ordo verŝajna (tigoj, tigas) de la grava rolo tia tutece (mendita, ordita) (subaroj, subaras) ludi en Lemo de Zorn.

Finiaj tutecaj ordoj

Simpla (kalkulo, kalkulanta) argumento estos kontroli (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) finia tuteca ordo (kaj de ĉi tie (ĉiu, iu) subaro _thereof_) havas plej malgranda ero. Tial ĉiu finia tuteca ordo estas fakte bone (mendi, ordo). Ĉu per direkta pruvo aŭ per observanta (tiu, ke, kiu) ĉiu bone (mendi, ordo) estas (mendi, ordo) izomorfia al orda numeralo unu (majo, povas) montri (tiu, ke, kiu) ĉiu finia tuteca ordo estas (mendi, ordo) izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj (mendita, ordita) per <. En alia (vortoj, vortas) tuteca ordo kun k eroj estas konkludita per reciproke unuvalora surĵeto kun la unua k naturaj nombroj. De ĉi tie ĝi estas komuna al indeksaj finiaj tutecaj ordoj aŭ numerebla bone (mendas, ordoj) per naturaj nombroj en (modo, maniero) kiu (respektoj, respektas) la (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo).

Kontrasto kun parta ordo, kiu (malhavas, mankoj, mankas) la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la okazis-antaŭ rilato.