Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Introducción

1.1 Generalidades

Muchos de los fenómenos de la naturaleza se pueden expresar mediante una o más ecuaciones diferenciales. Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de este tipo de ecuaciones. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (Segunda Ley de Newton), son una ecuación diferencial de segundo orden, así como la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión de sonido, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

El estudio de las ecuaciones diferenciales se inició tiempo después de los aportes de Newton, quién demostró las leyes de Kepler a partir de la ley de atracción universal, este estudio ha venido progresando al tiempo con el desarrollo de las ciencias, especialmente en las ciencias naturales. Hoy, las ecuaciones diferenciales se utilizan en el campo de la ingeniería, la química, la agronomía, la economía, entre otras, y hasta en el estudio de fenómenos sociales como la guerra, como se puede observar en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.1

Encontrar el tiempo que demora un cuerpo en tocar el suelo, cuando este cae de la posición de reposo desde una altura h0 y el aire opone una fuerza FR directamente proporcional a la velocidad instantánea.

Figura 1.1. Diagrama de fuerzas que actúan sobre el cuerpo

Fuente: elaboración propia.

Con estediagramaes posiblededucir laecuación de las fuerzas es: F = mg − FR, si x(t) es la distancia recorrida por el cuerpo en un tiempo t, aplicando la segunda Ley de Newton se tiene que:

Lo que implica que el problema anterior se puede expresar mediante la ecuación:

Donde k, es constante de proporcionalidad y m la masa el cuerpo.

Ejemplo 1.2

Sean dos ejércitos A y B, los cuales se enfrentan en un combate. Determinar el número de combatientes de cada ejército que quedan vivos al final del combate.

Para el problema anterior hay que establecer el supuesto que los dos ejércitos son regulares, además, parece razonable pensar que la tasa de bajas del ejército A, es proporcional al número de combatientes vivos que le quedan al ejército B; de igual forma pasa con la tasa de bajas del ejército B, y si consideramos f(t) y g(t) como la cantidad de combatientes que los ejércitos A y B desembarcan en un tiempo t respectivamente; y si x(t) e y(t), es el número de combatientes que le quedan al ejército A y B respectivamente.

Así, teniendo en cuenta lo anterior, es posible describir el problema por medio de la siguiente ecuación:

Ejemplo 1.3

Calcular el tiempo que demora en desocuparse un tanque, en forma de cono, de radio a y altura h, si el orificio de salida del agua que está en la parte inferior del tanque, es un círculo de radio a.

Figura 1.2. Diagrama del problema

Fuente: elaboración propia.

Aplicando el teorema de la energía, se deduce que la velocidad de un cuerpo de masa m que cae desde una altura h es , luego, la velocidad con que cae el delta de volumen ΔV de agua es , si se denomina A0 al área transversal del orificio de salida y a V(t) el volumen del líquido en un tiempo t, se tiene que el número de unidades cúbicas de líquido que sale del tanque por unidad de tiempo es , además, como ΔV= A(t)Δy.

Donde A(t) es el área transversal del ΔV y dividiendo por ΔV se tiene la siguiente ecuación:

Luego cuando Δt → 0 se tiene que:

Con lo que se obtiene:

Como , se deduce que:

Remplazando:

Ejemplo 1.4

Determinar la corriente i(t) que fluye a través de un circuito en serie, con una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C

Figura 1.3. Circuito RLC

Fuente: elaboración propia.

Según la Ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) a través del circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje debido a la capacitancia EC, la resistencia ER y la inductancia EL

Donde:

Donde q(t) es la carga en el capacitor.

Remplazando y sumando se obtiene la siguiente ecuación:

O también se pueden obtener las siguientes ecuaciones:

Existen otros problemas que nos conducen al planteamiento de ecuaciones como:

La ecuación de onda:

O la ecuación de Laplace:

Definición 1.1

Una ecuación diferencial es una expresión algebraica que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto de una o más variables independientes.

Si la ecuación contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto de una única variable independiente, la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria; si, por el contrario, la ecuación contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes respecto de dos o más variables independientes la ecuación se denomina ecuación en derivadas parciales.

Ejemplo 1.5

Las ecuaciones:

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mientras que ecuaciones como:

Son ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales.

Definición 1.2

Se define el orden de una ecuación diferencial, como el orden de la mayor derivada involucrada en la ecuación.

Ejemplo 1.6

En el ejemplo anterior, las ecuaciones de los literales a y d son ejemplos de ecuaciones de orden 2, la ecuación del literal b es una ecuación de orden 3; mientras que las ecuaciones c y e son ecuaciones de orden 1.

Definición 1.3

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n, es lineal si se puede llevar a la forma:

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ,..., + a2(x)y" + a1(x)y′ + a0(x)y = f(x)

Además, si f(x) = 0, se dice que la ecuación lineal es homogénea, de otra forma se denomina no homogénea.

Ejemplo 1.7

La ecuación , es una ecuación lineal de orden 3.

(1.20)

Mientras que la ecuación es de orden 2, además no es una ecuación diferencial lineal.

(1.21)

1.2 Notación y solución de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial de orden n, se puede denotar así:

O también la podemos denotar mediante el símbolo:

En particular una ecuación de orden 1 se puede denotar así:

Definición 1.4

Sea la ecuación diferencial , entonces, la función g(x) es una solución de la ecuación diferencial si y solo si .

Ejemplo 1.8

Verificar que g(x) = cos2x es solución de la ecuación

(1.25)

Como:

Entonces:

Con lo cual se verifica que g(x) es una solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.9

Verificar que es solución de la ecuación x²y" +

(1.28)

Solución:

Como:

Y remplazando en la ecuación se tiene que:

Con lo que es posible concluir que es solución de la ecuación diferencial (1.33)

Una solución como la anterior, se denomina una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial , además, si se toman unos valores particulares para c1 y c2, por ejemplo c1 = 1 c2 = 0, se obtiene la solución

La cual se denomina solución particular de la ecuación diferencial. En general, se tiene la siguiente definición.

Definición 1.5

Sea , una ecuación diferencial ordinaria de orden n, entonces, G(x,c1,c2,c3,...,cn); donde las ci son constantes arbitrarias, se denomina una familia n-paramétrica de soluciones si .

Además, un miembro de dicha familia se denomina solución particular de la ecuación y se define solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.10

Verificar que es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial

(1.34)

Solución:

Como:

Además, es fácil ver que:

Entonces:

Con lo cual se concluye que:

Luego:

Es solución de la ecuación diferencial:

Se observa que y = 1, es también solución de la ecuación diferencial, pero es una solución que no se obtiene de la familia, a dicha solución se denomina solución singular de la ecuación.

En general se enuncia la siguiente definición:

Definición 1.6

Si y = g(x) es una solución de la ecuación diferencial , que no está en la familia de soluciones y = g(x) se afirma que es una solución singular de la ecuación.

1.3 Problema de valor inicial

En la sección 1.1, se vio que muchos problemas pueden escribirse en términos de ecuaciones diferenciales; pero, a su vez estos tienen unas condiciones iniciales, lo que conduce a establecer la siguiente definición:

Definición 1.7

Se dice que un problema es de valor inicial si se puede escribir de la forma:

Resolver:

En particular un problema de valor inicial de orden 1 se escribe así;

Ejemplo 1.11

Resolver, la ecuación diferencial , sujeta a y(0) = 1, y′(0) = 4

(1.42)

Solución:

El lector podrá verificar, de una manera muy fácil, que y = c1 cos2t + c2sen2t es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial, con lo cual se escoge si es posible, un miembro de la familia que cumpla las condiciones iniciales.

Puede ocurrir que ningún miembro de la familia cumpla con las condiciones del problema, esto no significa necesariamente que el problema no tenga solución, como se verá en un ejemplo posterior.

Es claro que: y(0) = c1 = 1, y y′(0) = 2c2 = 4, con lo que se concluye que la solución del problema de valor inicial es: y = cos2t + 2sen2t

Ejemplo 1.12

Resolver, la ecuación diferencial

Solución:

El lector verificará que es una familia de soluciones de la ecuación diferencial , que además no existe un valor de c tal que y(0) = −1.

Es decir, no existe ningún miembro de esa familia que satisfaga el problema; sin embargo, se observa que y = −1, es una solución del problema, pues , además y(0) = −1.

En general, no siempre que encontremos una familia de soluciones podemos garantizar que en ella se encuentre la solución a un problema de valor inicial; además, otro problema al que nos enfrentamos cuando estamos resolviendo un problema de valor inicial es saber, inicialmente, si este tiene solución y, en caso de tenerla, saber si la solución es única.

En este sentido, el siguiente teorema da las condiciones necesarias, pero no suficientes, para que un problema de valor inicial tenga una única solución.

Teorema 1.1

Sea el problema de valor inicial:

Resolver , sujeta a y(x0) = y0, si , son continuas en una región R = (a, b)x(c, d), entonces existe una única solución y = g(x), definida en un intervalo contenido en (a, b) y que contiene a x0

Figura 1.4. Diagrama que ilustra el teorema

Fuente: elaboración propia.

Es de observar que el teorema afirma que si se cumplen las condiciones, entonces el problema tiene una única solución, por lo tanto, si no se cumplen las condiciones el problema puede tener o no solución única.

Ejemplo 1.13

Demostrar que el problema de valor inicial del ejemplo 1.12 tiene una única solución.

Solución:

Claramente, f(x, y) = y² − 1, con lo cual , que son continuas en todo el espacio ², por lo tanto la solución y = − 1, es única solución.

Ejemplo 1.14

Verifique y = g1(x) = 0 e y = g(x) = (x − 2)³, son soluciones del problema de valor inicial.

Y determine por qué el ejemplo no contradice el teorema de unicidad.

Solución:

además y(2) = g1(2) = 0 luego y = g1(x) = 0 es solución al problema. Por otra parte, tenemos que si y = (x − 2)³, entonces, y¹/³ = (x − 2) y y(2) = 0. Por lo tanto, y = g2(x) = (x − 2)³ es también solución de la ecuación diferencial, es claro que el ejemplo no contradice el teorema de unicidad, por cuanto: f(x, y) = 3y²/³ es continua en ², pero , no es continua en ninguna región rectangular de ², que contenga al punto (2, 0).

Por último, es importante anotar que en la mayoría de los problemas de valor inicial, primero se encuentra una familia de soluciones y luego se elige de ella el miembro que satisface las condiciones del problema. Por lo tanto, en los capítulos siguientes nos dedicaremos a aprender métodos para hallar una familia de soluciones de una ecuación diferencial dada.

Para las ecuaciones diferenciales de orden 1, solamente tenemos método algebraico para tres tipos de ellas: Variables Separables, Exactas y Lineales.

Sin embargo, existen algunas ecuaciones que sin ser ninguna de estas, mediante un cambio de variables es posible llevar a una de estas; tal es el caso de las ecuaciones de orden 1 que se conocen como homogéneas que mediante un cambio de variable se pueden llevar a separables, algunas que sin ser exactas mediante un factor integrante se pueden llevar a exactas y algunas que sin ser lineales mediante un cambio de variables se pueden llevar a lineales, tal es el caso de la ecuaciones de Bernoulli, Ricatti y Clairaut. Estas ecuaciones se estudiarán como casos particulares de las anteriores.

Ejercicios 1.1

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