Coseno

Coseno
	; Gráfica de Coseno
Definición	cos x
Dominio
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	-sen x
Función primitiva	sen x + c
Función inversa	arccos x
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En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo $2\pi$ , además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

$\cos \;x=\cos(-x)$

$\cos \;x=-\cos(x+\pi )$

En trigonometría, el coseno de un ángulo $\alpha$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

\cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {AC}{AB}}

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha .$

Si $B$ pertenece a la circunferencia de radio uno con centro $O=A$ se tiene:

\cos \alpha =b=AC

Ya que $c=AB=1$ .

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${\vec {AB}}$ mediante su descomposición en los vectores ortonormales ${\vec {AC}}$ y ${\vec {CB}}$ .

Cálculo por serie de potencias

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$ . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

\cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots

que en sumatorio sería:

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

En el plano complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

${\cos }\ (z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$
Dada la fórmula de Euler: $e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\operatorname {sen} }\ (z)$ donde $e$ es la base del logaritmo natural, e $i$ es la unidad de los números imaginarios. Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a $e^{-iz}$ se tiene también que: $e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\operatorname {sen} }\ (-z)=$ ${\cos }\ (z)-i{\operatorname {sen} }\ (z)$ Sumando estas dos ecuaciones se tiene: $e^{iz}+e^{-iz}=2{\cos }\ (z)$ donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

Representación gráfica

Relaciones trigonométricas

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

$\cos \;\alpha =\;\;\;\cos \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z}$
Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\cos \;\alpha =-\cos(\alpha +\pi )$ se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${\frac {\pi }{2}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

\cos \alpha =\operatorname {sen} \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)

Coseno de la suma de dos ángulos

$\cos(\alpha +\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$ $\cos(\alpha -\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Coseno del ángulo doble

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha$
Como: $\cos(\alpha +\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$ Bastará con el cambio $\beta =\alpha \,$

Coseno del ángulo mitad

$\cos {\bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\bigg )}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,\,{\frac {\pi }{2}}\,)+2k\pi \\-{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [\;\;\;{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi \end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z}$
Usando las fórmulas: $\operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$ y $\cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta$ resulta: $\cos \left(2\theta \right)=2\cos ^{2}\theta -1$ Representación de $y\;=\;{\sqrt {\frac {1+\cos(2x)}{2}}}.$ y aislando $\operatorname {sen} \theta$ : $\vert \cos \theta \vert ={\sqrt {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$ El cambio $\theta ={\frac {\alpha }{2}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: $0<\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}})+2k\pi ,$ $0>\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi$ donde $k\in \mathbb {Z}$ .

Suma de funciones como producto

$\cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$ $\cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)$
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Producto de funciones como suma

\cos(A)\cos(B)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)

\cos(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)+\cos(A-B)\right)

Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

Ángulos en Rad (X)	Ángulos en Grados (X°)	Cos(X)
${\frac {\pi }{6}}$	30°	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
${\frac {\pi }{4}}$	45°	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$
${\frac {\pi }{3}}$	60°	${\frac {1}{2}}$
${\frac {\pi }{2}}$	90°	$0$
$\pi$	180°	$-1$
$2\pi$	360°	$1$