Lankide:Amartin97/Proba orria

Radiana

Radianaren definizio grafikoa.

Radiana planoan angeluak neurtzeko unitatea da Nazioarteko Unitate Sisteman (frantsesezko Système international d'unités-tik SI laburtuta). Radianaren sinboloa rad da.

Zirkunferentzia unitario baten (hau da, erradio gisa 1 duen zirkunferentziaren) arku-luzeraren zenbakizko neurria eta radianetan neurtutako angelu subtenditua berdinak dira.

Unitatea, hasiera batean, SIko unitate betegarria zen, baina 1995ean, kategoria hori aldatu, eta unitate deribatu bihurtu zuten.

Unitate hau, gehienbat, fisikan, kalkulu infinitesimalean, trigonometrian... erabiltzen da.

Definizioa

Angeluak neurtzeko unitatea da; zirkunferentziaren erradioaren luzera bera duen zirkunferentzia-arku batek mugatzen duen angeluaren baliokidea da (rad).

Radian segundo karratuko: azelerazio angeluarra neurtzeko unitatea.

Radian segundoko: abiadura angeluarra neurtzeko unitatea.

Historia

Roger Cotes matematikaria.

Roger Cotes matematikari eta fisikariak erabili zuen lehenbizikoz, 1714an, radiana angeluak neurtzeko unitate gisa. Unitate hau Radian izendatu baino lehen, angelu baten neurri zirkular modura ezagutzen zen.

Angeluak arkuaren luzerarekin neurtzeko ideia beste matematikari batzuek ere erabiltzen zuten garai hartan. Adibidez, al-Kashi-k (Kristo aurreko 1400. urtean) diametro zatiak erabili zituen unitate gisa; diametroaren zati bat 1/60 radian balio zuen.

1873. urteko ekainaren 5ean agertu zen radian terminoa lehenengo aldiz prentsan, James Thomson-ek (Lord Kelvin-en anaia) ezarritako azterketaren galderetan, alegia. 1874an, radian izena hartu zuen nazioarteko mailan magnitude horrek. 1890ean Longmans-en eskolan Trigonometria irakasgaian radiana erabiltzen zen angeluak neurtzeko unitate gisa.

Analisi dimentsionala

Radiana neurketa-unitatea izan arren, magnitude adimentsionala da. Sarrerako definiziotik ikus dezakegu: zirkunferentziaren erdiko angelu subtenditua, radianetan neurtua, arku itxiaren luzeraren eta zirkuluaren erradioaren luzeraren arteko erlazioaren berdina da.

Nahiz eta koordenatu polarrek eta esferikoek radianak erabiltzen dituzten koordenatuak bi eta hiru dimentsiotan deskribatzeko, unitatea erradioaren koordenatutik dator; orduan,adimentsionala izaten jarraituko du.

Graduen eta radianen arteko konbertsioa

Radianak	Graduak	Radianen eta graduen arteko erlazioa
0	$0^{\circ }$
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{\circ }$
${\frac {\pi }{5}}$	$36^{\circ }$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{\circ }$
1	$57,3^{\circ }$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{\circ }$
${\frac {2\pi }{5}}$	$72^{\circ }$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{\circ }$
${\frac {2\pi }{3}}$	$120^{\circ }$
${\frac {4\pi }{5}}$	$144^{\circ }$
${\pi }$	$180^{\circ }$
${\frac {3\pi }{2}}$	$270^{\circ }$
${2\pi }$	$360^{\circ }$

Graduak eta radianak angeluak neurtzeko erabiltzen dira. Graduen eta radianen arteko baliokidetasuna jarraian ikusiko dugu. 360 gradu eta 2π radian baliokideak izango dira . (Gogora dezagun π-ren hurbilketa gisa 3,14 zenbakia erabiltzen dugula.)

Konbertsioa egiteko, kontuan hartu behar dugu 180 gradu π radianen baliokidea dela. Hurrengo pausoa hiruko erregela bat planteatzea eta ebaztea da. Konbertsioa nola egiten den hobeto ulertzeko, hona adibide batzuk:

1. adibidea

38 gradu radian bihurtuko ditugu.

Lehenik, hiruko erregela planteatuko dugu; $x$, radianen posizioan kokatuko dugu.

${\frac {\pi }{180}}={\frac {x}{38}}$

Ondoren, $x$ bakanduko dugu, eta zatikia sinplifikatuko.

$x={\frac {38\pi }{180}}={\frac {19\pi }{90}}$

Bukatzeko, $x$-ren balio hamartarra lortuko dugu:

$x=0,6632$ radian.

2. adibidea

2,4 radian gradu bihurtuko ditugu.

Lehenik, hiruko erregela planteatuko dugu; eta $x$, graduen posizioan kokatuko.

${\frac {\pi }{180}}={\frac {2,4}{x}}$

Ondoren, $x$ bakanduko dugu, eta zatikia sinplifikatuko.

$x={\frac {180\times 2,4}{\pi }}$

Azkenik, $x$-ren balio hamartarra lortuko dugu:

$x=137,50987$gradu. Hori adierazteko beste era bat hau da: $x=137^{\circ }30'36''$.

Radianetan neurtzearen abantailak

Kalkuluan eta geometriaz besteko matematika arloetan radianak erabiltzen dira graduak erabili beharrean. Izan ere, unitate honek formulak modu dotoreagoan idaztea ahalbidetzen du.

Funtzio trigonometrikoak erabiltzen dituzten emaitzak sinpleak eta dotoreak dira argumentu gisa radianak erabiltzen direnean. Horren adibide bat serieak dira. Funtzio trigonometrikoen Taylor-en garapenetan radianak erabiltzen dira argumentu moduan; izan ere, graduak erabiliko balira, emaitza askoz nahasiagoak lortuko lirateke. Adibidez:

$\sin {x_{rad}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...$

$\sin {x_{deg}}={\frac {\pi }{180}}x-({\frac {\pi }{180}})^{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+({\frac {\pi }{180}})^{5}{\frac {x^{5}}{5!}}-({\frac {\pi }{180}})^{7}{\frac {x^{7}}{7!}}+...$

Sinu- eta kosinu- funtzioen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio garrantzitsuak radianetan adierazten dira eleganteak izan daitezen; adibidez Euler-en formula.

Dena kontuan hartuta, radiana oso erabilgarria da angeluak neurtzeko; izan ere, kalkuluak asko errazten ditu. Radianen balio erabilienak π-ren zatitzaile edo multiplo gisa adieraz daitezke, eta, horri esker, kalkuluak errazten dira.

Erabilera fisikan

Radiana, fisikan, asko erabiltzen da angeluak neurtzeko. Adibidez, abiadura angeluarraren unitatea radian zati segundo da: ${rad}/{s}$.

Biraren eta radianaren arteko erlazioa abiadura angeluarraren kasuan: ${bira}/{s}=2\pi {rad}/{s}$.

Modu berean, azelerazio angeluarraren unitatea radian zati segundo karratu da: ${rad}/{s^{2}}$.

Bi uhinen arteko fase-diferentzia adierazteko ere erabiltzen dira radianak. Adibidez, bi uhinen arteko fase-diferentzia $k\times 2\pi$ bada, non eskalar bat den k, uhin horiek fasean daudela jotzen da. Aldiz, fase-diferentzia $k\times 2\pi +\pi$ bada, non eskalar bat den k, aurkako fasean daudela jotzen da.

Estereorradiana

Estereorradiana angelu solidoak neurtzeko unitatea da Nazioarteko Unitate Sisteman. Angelu solidoa jatorri berean hasten diren eta gainzal kurbatu mugatu batetik iragaten diren zuzenerdi guztiek osatutako hiru dimentsioko espazio zatia da. Estereorradianaren sinboloa sr da.

Askotan (radianarekin gertatzen den bezala), unitate osagarrien artean sailkatzen da, beste batzuetan, aldiz, unitate eratorrien artean.

Estereorradianaren definizio grafikoa.

Hainbat angelu solidoren radian kopurua.

Estereorradian bat, zirkunferentzia baten, erradioaren karratuko azaleradun gainazala definitzen duen angelu solidoa da.

$\Omega ={\frac {S}{r^{2}}}$

$\Omega :{\text{Angelu solidoa}}$

$S:{\text{Gainazalaren azalera}}$

$\Omega :{\text{Erradioa}}$

Ondorioz, zirkunferentzia osoaren angelu solidoa honela kalkulatzen da radianetan:

${\textstyle \Omega _{\text{gainazal osoa}}={\frac {S_{\text{gainazala}}}{r^{2}}}={\frac {4\pi r^{2}}{r^{2}}}=4\pi \quad sr}$