Tautologia (logika)

Logika proposizionalean, tautologia edozein interpretazio posibleren arabera beti egia den formula edo enuntziatua da. Hau da, proposizio bakunei eman dakiekeen edozein egia-balio emanda, proposizio konplexua beti egia da. Proposizio konplexu hori tautologia da.

Tautologiaren aurkakoari, hau da, edozein interpretazio posibleren arabera beti gezurra den formula edo enuntziatuari kontraesan deritzo.

Historia

Antzinako grezian tautologia (Grezieratik: ταυτολογία) hitza gauza bera bi aldiz esateagatik baieztatzen zen baieztapen bat deskribatzeko erabiltzen zen. 1800 eta 1940 urteen artean, hitzak esanahi berria irabazi zuen logikan, gaur egun ere erabiltzen dena.

1930eko hamarkadan "tautologia" izena beti egia diren formulentzako aplikatua izaten hasi zen, proposizio-aldaiagen egiazkotasuna alde batera utzita. Logikari buruzko lehen liburuetan (Clarence Irving Lewis eta Cooper Harold Langford-en Symbolic Logic, 1932koa, esaterako) izena unibertsalki baliozkoa den edozein enuntziaturako erabiltzen da.

Geroago, tautologiak lokikoki baliozkoa den formula proposizionalari erreferentzia egiten dio, baina "tautologia" eta "lokikoki baliozkoa" desberdinduz lehen mailako logikan.

Logika proposizionala

Artikulu nagusia: Logika proposizional

Logika proposizionalaren oinarrizko unitateak (unitate atomikoak) proposizioak dira. Lokailu logikoekin proposizioak lotuz gero, formula edo enuntziatu bat lortzen da. Horrela, formularen egiazkotasuna ondorioztatu daiteke proposizio bakoitza egia edo gezurra balitz bezala aztertuz.

Horrela, A eta B proposizioak eta konjuntzio ($\land$), disjuntzio ($\lor$) eta ukapena (edo ezeztapena) ($\neg$) adierazten duten lokailuak erabiliz, honako enuntziatua sor daiteke: $(A\land B)\lor (\neg A\land \neg B)$ ("A eta B edo ez A eta ez B" esanahia izango duena).

Egia-taulak

Artikulu nagusia: Egia-taula

Enuntziatu desberdinak ebazteko hainbat metodo daude, haien artean, egia-taulak egitea. Egia tauletan, proposizio ezberdinek har ditzaketen balioak kontuan hartu eta horren araberako taula bat egiten da. Horrela, modu finitu eta mekanikoan erabakitzen da formula tautologia bat den ala ez.

n aldagai dituen formula batek 2ⁿ interpretazio edo emaitza posible izango ditu. Horregatik, aldagaien hazkunde txiki batek asko handitu dezake interpretazio kopurua.

Adibideak

Tautologien kopurua infinitua da. Hona hemen adibide batzuk:

• $(A\lor \neg A)$ ("A edo ez A"). Kasu honetan, A egia izatekotan "ez A" gezurra izango da edo alderantziz. Esaterako, "katua beltza da edo katua ez da beltza". Hau da bere egia-taula:

$A$	$\neg A$	$(A\lor \neg A)$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$

• $(P\land Q)\rightarrow P$ ("P eta Q-k P inplikatzen du"). Hau da bere egia-taula:

$P$	$Q$	$(P\land Q)$	$(P\land Q)\rightarrow P$
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

• $((P\lor Q)\land \neg P)\rightarrow Q$ ("P edo Q eta ez Pk inplikatzen du Q"). Hau da bere egia-taula:

$P$	$\neg P$	$Q$	$(P\lor Q)$	$((P\lor Q)\land \neg P)$	$((P\lor Q)\land \neg P)\rightarrow Q$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$

Kanpo estekak

• Datuak: Q209555