Möbius-kuvaus

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Määritelmä

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon ad − bc ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty konformaaleina kaikkialla paitsi kun $z=-d/c$, jolloin on määritelty, että $f(z)=\infty$. Ne ovat konformisia bijektioita ${\overline {\mathbb {C} }}$→${\overline {\mathbb {C} }},$ missä ${\overline {\mathbb {C} }}$ tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Ominaisuuksia

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa
$w=z+a$, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa $w=az$ ja operaatio "inversio" on muotoa $w=1/z.$ Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Kaksoissuhde

Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot a₁, a₂, a₃ ja a₄ kompleksilukuja, joille a_j ≠ a_k kun j ≠ k. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

$[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]={\frac {(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})}{(a_{1}-a_{3})(a_{2}-a_{4})}}.$

Jos jokin a_i = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun a_i → ∞.
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa w = f(z)
[w, w₁, w₂, w₃] = [z, z₁, z₂, z₃].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon D(0, 1) ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = -1 ja ylemmän puolitason reunapisteet w₁ = -1, w₂ = 0, w₃ = 1. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä z₁ pisteen z₂ kautta pisteeseen z₃ jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä w₁ pisteen w₂ kautta pisteeseen w₃ jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla w yhtälöstä

${\frac {(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})}{(w-w_{2})(w_{1}-w_{3})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{2})(z_{1}-z_{3})}}$

missä w₁, w₂, w₃, z₁, z₂ ja z₃ ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme

${\frac {(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)}}={\frac {(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)}}$ ⇔ ${\frac {w+1}{2w}}={\frac {(z-1)(i+1)}{2(z-i)}}$ ⇔

$(w+1)(z-i)=w(z-1)(i+1)$ ⇔

$wz-iw+z-i=zwi+zw-iw-w$ ⇔ $z-i=w(iz-1)$ ⇔

$w={\frac {z-i}{iz-1}}$

Katso myös

• Funktioteoria
• Laajennettu kompleksitaso

Kirjallisuutta

• R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
• L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).