Équation de Ponce

En géométrie différentielle, l'équation de Ponce donne l'équation du cercle osculateur à une courbe en un point quand la courbe est le graphe d'une fonction sous certaines conditions.

Plus précisement, soit une fonction $f:I\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$. Son graphe ${\mathcal {G}}_{f}:=\{(x,f(x))|x\in I\}$ décrit une courbe. Si la fonction $f$ admet une dérivée seconde non-nulle en un point $t\in I$ alors l'équation du cercle osculateur est donné par l'équation de Ponce:

${\bigg (}x-t+{\frac {(1+f'(t)^{2})^{2}}{f''(t)}}f'(t){\bigg )}^{2}+{\bigg (}y-f(t)-{\frac {(1+f'(t)^{2})^{2}}{f''(t)}}{\bigg )}^{2}={\frac {(1+f'(t)^{2})^{5}}{f''(t)^{2}}}$.

Ou si l'on note $\alpha ={\frac {(1+f'(t)^{2})^{2}}{f''(t)}}$:

${\bigg (}x-t+\alpha f'(t){\bigg )}^{2}+{\bigg (}y-f(t)-\alpha {\bigg )}^{2}=\alpha ^{\frac {5}{2}}{\sqrt {f''(t)}}$.

Exemples

1. L'équation du cercle osculateur en $(t,f(t))$ pour $t=0$ et $f(x)=x^{2}$ est $x^{2}+{\bigg (}y-{\frac {1}{2}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{4}}$.
2. L'équation du cercle osculateur en $(t,f(t))$ pour $t={\frac {k\pi }{2}}$ avec $k\in 2\mathbb {Z} +1$ et $f(x)=\sin(x)$ est ${\bigg (}x-{\frac {k\pi }{2}}{\bigg )}^{2}+y^{2}=1$.

Références

https://www.overleaf.com/read/dffbxpvkkhrg