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Algèbre dendriforme

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En mathématiques, une algèbre dendriforme est un module A sur un anneau commutatif R muni de deux opérations bilinéaires et , appelées respectivement opération gauche et opération droite, satisfaisant les relations suivantes

On remarque que le produit

est associatif. Donc A est une algèbre associative (sans unité) dont le produit a été dichotomisé. L'algèbre dendriforme libre sur un module V, notée Dend(V), peut être décrite en termes d'arbres binaires planaires enracinés, d'où le qualificatif dendriforme, de la racine grecque dend-.

Ce type d'algèbres, découvert par Jean-Louis Loday en 1995, est en relation avec de nombreux autres types comme les algèbres associatives (voir ci-dessus), les algèbres pré-Lie (en), les algèbres de Leibniz, les algèbres de Zinbiel. Par exemple, l'opération est une opération pré-Lie (son associateur est symétrique en les deux dernières variables). Si les opérations gauche et droite satisfont à la relation de symétrie , alors on a une algèbre de Zinbiel.


Références

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  • (en) Jean-Louis Loday, « Algèbres ayant deux opérations associatives (digèbres) », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 321, no 2,‎ , p. 141--146
  • (en) Jean-Louis Loday, « Dialgebras », Springer Lecture Notes in Maths, vol. 1763,‎ , p. 7-66