Discussion:Théorème des deux carrés de Fermat

Théorème des deux carrés ou théorème des deux carré de Fermat?

Salut,

tu as crée aujourd'hui cet article alors qu'il existait Théorème des deux carrés. J'ai proposé la fusion des 2. Dis moi ce que tu en penses ... @+ Ico83 4 octobre 2006 à 19:32

Personnellement, je suis d'accord avec Ico83. Je n'ai jamais entendu ce théorème être appelé théorème des deux carrés de Fermat, et il me semble donc qu'il faut garder la page Théorème des deux carrés, en transférant bien sûr ton ébauche qui a l'air plus consistante.Salle 5 octobre 2006 à 09:29

Bonjour, ce que je propose, c'est de creer une pages generale sur ce theoreme, et de cree des chapitres sur chaque aspect que tu as evoque: valuation p-adiques, fonctions arithmetiques et le théorème de Fermat de Noël. Qu'en penses-tu ? Ico83 5 octobre 2006 à 11:35

Nos visions différent un peu, le théorème des deux carrés de Fermat, est un vieux et très célèbre théorème qui a eu l'honneur d'être démontré dans des écrits de Lagrange, Euler, Gauss, Dedekind et bien d'autres. C'est en fait l'un des trois théorèmes les plus cités de Fermat.

Je propose comme référence pour étayer mon propos:

• version anglaise
• version italienne
• Version allemande pas d'article mais le théorème est cité sous le nom de Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz

Après, j'ai du mal à lire les autres langues

• Version française Pierre de Fermat#Théorème de Fermat appelé théorème de Fermat par opposition au grand théorème de Fermat et au petit théorème de Fermat.
• Version française Démonstration du théorème de Fermat
• techno-science.net
• Fermat's two square theorem sur everything.com
• Fermat's theorem on sums of two squares sur answer.com
• H. J. S. Smith and the Fermat two squares theorem catalogue du CNRS pour les chercheurs

On peut en citer à la pelle, si c'est nécessaire, je crois qu'il sera difficile de trouver autant de références pour justifier que le théorème des deux carrés tel que décrit est plus notoire que le théorème des deux carrés de Fermat.

De plus, autant il me semble possible d'aborder ce théorème un angle encyclopédique, à la fois sous l'angle didactique, historique, présenter sa motivation, décrire ses applications, autant je suis incapable de le faire pour la vision décrite dans le théorème des deux carrés.

Vous ai-je convaincu? Jean-Luc W 5 octobre 2006 à 12:01

Pour moi, ce que tu appelles théorème des deux carrés de Fermat est une étape dans la démo, ou bien un cas particulier, de ce que tu appelles théorème des deux carrés. Je ne suis pas du tout convaincu de l'intérêt de faire deux pages séparées : mathématiquement, c'est vraiment la même question. En revanche, je suis tout à fait convaincu de l'intérêt des informations historiques que tu apportes ; et qui montrent que le point de vue "cas particulier" est un point de vue moderne ? Pour l'appellation Théorème de Fermat, ne serait-ce pas une désignation anglo-saxonne ? Si Samuel ou Perrin l'adoptent, je serai convaincu que non.Salle 5 octobre 2006 à 17:25

Moi, je propose une page qui contiendra tous les aspects de ce théorème: valuations p-adiques, ce théorème, et l'aspect fonction arithmétique. Mais pourquoi pas une page pour chaque aspect avec une page générale de synthèse ? Ico83 5 octobre 2006 à 20:02

Tu es toujours aussi convaincant Salle, je suis d'accord sur presque tout. 1) deux carrés de Fermat est un étape. Non, c'ets notre seule point de divergence. C'est là que c'est intéressant, ce sont les méthodes utilisées qui en font l'intérêt, c'est pour cette raison qu'il existe autant de démonstrations (descente infini pour Euleur, forme quadratique pour Lagrange, clôture intégrale pour Gauss, et groupe de Galois d'un module pour Dedekind). La fin de la démo est à mon avis sans beaucoup d'intérêt, même le résultat s'énonce moins joliment. Deux pages séparées, ton argument est convaincant, pas de doute j'ai tort. Aie pour l'appellation anglo-saxone, en fait, je n'en sais rien. Ton critère Samuel ou Perrin me convainquent (sauf si dans l'histoire il prend ce nom chez Gauss, Dedekind, Euler ou Lagrange, cela prouverait que ce n'est pas seulement une désignation anglo-saxone, mais là encore, je n'en sais rien). Mes références ne démontre pas l'origine de la désignation donc: à vérifier.

Ico, J'ai retourné ma veste, Salle m'a convaincu pour l'unicité de l'article. Les valuations p-adiques, il n'y a pas grand chose à dire. En fait Salle et moi sommes maintenant d'accord sur tout sauf sur le titre de l'article. Je ne sais pas qui de nous deux a raison, je vais fouiller Jean-Luc W 5 octobre 2006 à 20:11

J'ai vérifié : Perrin de dit pas théorème de Fermat ; Samuel appelle Proposition (Fermat) ce qui est actuellement ici le Théorème des deux carrés de Fermat ; Hardy et Wright ne semblent pas donner quelque nom que ce soit - mais vu que les différentes démos sont éparpillées aux quatre coins du bouquin, ça a pu m'échapper. Bilan, moi, j'appelle le tout Théorème des deux carrés, mais si vous voulez choisir autre chose, pas de problème, on fera de toute façon des redirections.Salle 6 octobre 2006 à 14:32

Doublons Démonstration du théorème de Fermat

L'article mentionné semble devoir être intégré à celui-ci --Epsilon0 4 janvier 2007 à 17:55

Ils sont déjà fusionnés. Le doublon mérite à mon avis d'être détruit. Non seulement il est vide, mais en plus mal nommé. Jean-Luc W (d) 5 février 2008 à 13:44

Remarques d'une contributrice

Suite à une question posée sur sa page de discussion, une contributrice possédant une remarquable érudition associée à une compréhension profonde du sujet émet plusieurs remarques. Elles méritent une intégration rapide dans l'article, en conséquence, je prend la liberté de les retranscrire, avec mes commentaires. Jean-Luc W (d) 6 février 2008 à 11:19

Pauvre Bachet, non mais...

Ouch, j'avais raté ta reprise de Théorème des deux carrés (avec de bonnes références, ). Bon, pour répondre à ta question, le problème est que la vie est compliquée. Disons que la vision il y a à peu près 15 ans (exception notable : Jean Itard) était que la seule chose importante faite depuis Euclide et al. jusqu'à Fermat et Descartes était l'algèbre. Avec cette vision (cf. Heath), Bachet et Frenicle et plein d'autres partent à la trappe. Or, il y a chez Bachet plusieurs choses importantes, dont de vraies tentatives sérieuses, rarissimes, d'étendre les livres arithmétiques d'Euclide pour y intégrer, avec des preuves, des problèmes de type Diophante. D'où ses preuves en langage euclidien, pas algébrique, comme celle de 1624 sur le théorème de Bezout (si tu veux, je t'en envoie un extrait ou bien je vais essayer d'en mettre un morceau significatif sur Commons quand j'aurais le temps de scanner correctement).

Oui, c'est limpide. Comme tu peux le constater, je commet très régulièrement cette erreur : Euclide la base, Diophante les arithmes, Viète les arguments spécieux et Fermat la limpidité algébrique (on attache de fait beaucoup d'importance au secrétaire particulier de Fermat, un dénommé Descartes qui rédige agréablement les idées de son maître, tu sais, celui du cogito).

En ce qui concerne ton théorème de Noël : ce qu'il y a dans Diophante, sauf erreur de ma part (disons que je n'ai relu tout Diophante récemment...) et sauf erreur des livres que j'ai sous la main (en particulier Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. 2, chap. 6), c'est le problème V. 12, la division de 1 en deux parties de sorte si on ajoute un nombre $a$ à chaque partie, on ait des carrés (rationnels) - autrement dit, mais vraiment autrement dit et pensé, $2a+1$ représenté comme somme de carrés. Et Diophante dit que $a$ ne doit pas être impair, ok, et il ajoute quelque chose d'autre que personne ne comprend vraiment (texte bizarre, peut-être interpolé), donc que tous les éditeurs (dès la Renaissance jusqu'à nos jours) ont essayé d'interpréter : il s'agit peut-être de restrictions sur la primalité des nombres considérés, peut-être pas ; moi je ne sais pas, je passe.

C'est un peu ce que j'avais compris. Ta formulation est plus plaisante, je m'en vais pomper tout cela.

Bachet ajoute à cela différents exemples numériques, et généralise le problème à la division de tout nombre en deux parties, etc., avec des conditions. Il discute aussi de problèmes liés à celui-ci à plusieurs endroits (ex : produit de somme de carrés est une somme de carrés, etc.).

Sait-il que si a et b sont sommes de deux carrés a/b l'est aussi ?

Comme d'habitude, Fermat rajoute son grain de sel (commentaire à Diophante III, 22), et ce grain de sel est important : il donne le théorème qu'on veut (celui de la lettre de Noel), exprimé en terme d'hypoténuse de triangle rectangle (mais là Bachet a montré le rapport aux sommes de carrés tout à fait clairement, avec preuves, s'il vous plait, voir ta réf. de la note 15...), dans toute sa généralité (y compris le nombre de décompositions en sommes de carrés selon le nombre de facteurs premiers, etc.). La datation exacte est moins nette que ce que tu dis, il a des morceaux (surtout le fait qu'une somme de carrés n'est pas 4n+3, la partie facile), assez tôt. Quoi qu'il en soit, Fermat affirme vraiment avoir une preuve complète, par descente infinie, de ce théorème (dans sa lettre à Carcavi de 1659 par exemple).

Je n'ai pas vu le commentaire ni lu la lettre à Carcavi. J'ai juste lu dans une excellente référence qu'il affirme que x² + n.y² est hors de portée si n est égal à deux ou à trois. Au Michigan ils ont la lettre mais ou trouver le commentaire ?

Donc certainement, Fermat a plus que ce que tu lui accordes, un énoncé complet et une idée de preuve (même s'il n'y a pas de raison de croire que sa preuve serait parfaitement correcte pour nous, va savoir). Et Bachet sur ce coup-là précisément ne me semble pas effectivement un acteur majeur, contrairement au cas de l'identité de Bezout, sauf dans la mesure où il a donné les clés pour envisager ces problèmes sous un aspect arithmétique, euclidien, pas seulemnt algébrique, ce qui est amha fondamental pour Fermat.

Par énoncé complet, tu entends j'imagine : le cas des nombres premiers, le cas des nombres entiers et le nombre de solution dans le cas général ? La preuve que je connais d'Euler à base de petit théorème de Fermat et de descente infinie me semblait à portée de Fermat. Le nombre de solutions, à ma connaissance suppose la compréhension de la notion de fonction arithmétique. Il faut donc utiliser des trucs à la Gauss, Jacobi et Dirichlet qui tournent en vocabulaire moderne autour de la notion d'analyse harmonique d'un groupe fini. Si Fermat prétend qu'il a trouvé, il me semble un peu coquin non ? Je croyais que dans l'ensemble il précisait honnêtement quand il n'y arrivait pas ?

Mais, attention, l'énoncé donnant les nombres exprimables comme somme de deux carrés se trouve en fait aussi avant Fermat chez Albert Girard, dans ses commentaires à Stevin (c. 1625, donc). Pas l'esquisse d'une preuve ici en revanche, juste l'énoncé.

Girard est-il dans un cercle parisien précurseur des copains de Mersenne ?

Après Fermat, Frenicle reprend l'énoncé complet dans son Traité des triangles, sans preuve (il a une approche expérimentale assez développée de cet énoncé, qui figure comme exemple-clé dans sa Méthode des exclusions, et qui lui donne l'énoncé complet correct, mais pas une preuve dans notre sens actuel). Et d'autres après lui, mais je n'ai jamais pisté cela en détail. Jusqu'à Euler, etc...

Fermat n'a pas tous les tords quand il affirme que la vision euclidienne ralentit les progrès diophantiens ?

Voilà l'état des lieux (mais je ne serais pas étonnée de repêcher d'autres auteurs avant le 17e pour l'énoncé lui-même, il y a des bribes chez certains de toute manière).

Je crois que l'on irait alors trop loin pour un article de vulgarisation. Partages tu mon opinion?

Dernier détail : Bachet meurt un peu trop tôt pour être visible dans l'académie mathématique parisienne, qui se met à vraiment bien marcher vers 1637. Avant cela, il est en contact avec Mersenne, Billy (qui sera en contact avec l'académie et Fermat en particulier), etc. Mais on ne le rencontre pas comme correspondant de Fermat.

J'avais remarqué que des sources indiscutables en font mention. En conséquence, j'ai un peu évacué ton copain. Mea culpa mea maxima culpa. Perseverare etc...

Pour finir : Je trouve Bachet très bon en fait (non, ceci n'est pas un point de vue neutre ), prouver Bézout dans un style purement euclidien n'a rien de trivial et c'est le seul modèle disponible de preuve arithmétique à cette époque.

Message passé.

Voilà, voilà. Tu vas finir par me convaincre subrepticement de lancer dans les articles Frenicle (attention, dates fausses, venant d'une confusion de Condorcet qui a écrit sa notice avec son frère, Nicolas Frenicle, le poète), Fermat, Bachet surtout, etc. Pour l'instant, j'ai évité, cela ressemble trop à du travail ! Toutes mes amitiés, --Cgolds (d) 5 février 2008 à 18:45

Je suis sur que si j'arrive à t'attirer dans ce piège éhonté, WP aura enfin des articles où les aspects historique et épistémologiques seront exemplaires. Maintenant, devant un grand jury, je plaiderais non coupable, ayant commencé l'article bien avant ta lumineuse arrivée sur WP. Il ne tient qu'à nous de transformer à tes yeux ce passe temps en délicieux dilettantisme. Merci infiniment pour ces remarquables précisions. Jean-Luc W (d) 6 février 2008 à 11:19

Modification de l'importance

suite à l'avis de Claudeh5 exprimé ici. Jean-Luc W (d) 15 février 2008

Relecture au 15/02/08

Comme d'habitude ça m'a l'air plutôt réussi. Quelques remarques sur la première partie :

• je n'aime pas les énoncés encadrés (qui font très mise en page rigolote pour les enfants), ni les nombres écrits en toute lettre (rigorisme typographique qui me semble excessif, pourquoi ne pas aller jusqu'à remplacer « si p est égal à a²+b² alors il est aussi égal à b²+a² » par « si un nombre premier est somme d'un premier carré par un autre carré, il l'est aussi du deuxième par le premier » ?), et encore moins la cohabitation des deux.
• je suis assez dubitatif sur la partie histoire, à partir des trois nouvelles formes quadratiques d'Euler. On vient de calculer un symbole de Legendre, ok, une généralisation, c'est de pouvoir tous les calculer, et donc la réciprocité. Mais il me semble qu'une généralisation encore plus naturelle, et plus facile à énoncer (et équivalente ? je ne sais jamais) c'est le problème de la représentation des nombres par les formes binaires, ternaires, etc. Gauss consacre une large part de son bouquin à ça, propose (pour les formes binaires) toutes les bonnes notions de formes réduites, l'algorithme de réduction. Il me semblerait profitable d'en parler. Alors que Dedekind, Kummer, Hilbert comme successeurs du théorème de Fermat, sûrement, mais je ne sais pas si on peut tracer le fil jusque-là de manière convaincante si rapidement, et en tout cas, à l'heure actuelle, à mon goût, on tombe dans le name-dropping peu éclairant. Donc, je préconiserais, quitte à couper plus tôt dans l'histoire, de n'évoquer que des choses dont le lien est visible - bien sûr ce qui est visible pour Mme X ne le sera pas forcément pour M. Y, je sais.

La suite à venir. Salle (d) 15 février 2008 à 17:04

Je vais arrêter pour ce soir, mais la démo du paragraphe Euler et la descente infinie me paraît incomplète : on montre que q₁ n'est pas somme de 2 carrés, alors qu'il faudrait le montrer pour q₁', non ? Salle (d) 15 février 2008 à 17:55

Est telle plus claire maintenant ? Jean-Luc W (d) 16 février 2008 à 10:28

Oui. Avant d'aller profiter du soleil, une petite chose : pour la troisième conséquence de l'identité de Brahmagupta, on devrait préciser contient un facteur premier qui n'est pas somme de deux carrés (sinon, je prend q₁ lui-même), non ? Ah oui, j'ai oublié de le dire hier : j'ai bien aimé la preuve sans les groupes (ou sans arithmétique modulaire) dans Fermat et les résidus, je ne connaissais pas, elle sort d'où ? Salle (d) 16 février 2008 à 15:35

La preuve sans les groupes sort de la plume du grand Euler La preuve p 494. Elle est un peu rédigée en latin, j'espère que ma traduction ne te choques pas trop. Je l'avais pompé dans un premier temps sur la wikipedia anglaise, mais finalement j'ai trouvé la version anglaise peu claire, d'où un retour aux sources.

Je ne vois pas la nécessité de l'ajout. La proposition précédente montre que si m.q est somme de deux carrés, si m l'est aussi, s'il est premier alors q est somme de deux carrés. Il faut ajouter un petit quelque chose pour montrer que si m n'est pas somme de deux carrés, alors q contient un facteur qui n'est pas somme de deux carrés (le facteur proposé est d'ailleurs premier). Peut-être que q est somme de deux carrés, peut-être que l'est q₁ que q₂ ne l'est pas et que q₃ est égal à q₂. Cette configuration est plus tard prouvée impossible, mais à ce stade on ne le sait pas encore. Si tu penses que l'exposé est plus clair avec l'ajout du mot premier, faisons comme cela (hier quand j'ai réfléchi à tes remarques, j'ai imaginé ajouter une indication de primalité, mon humeur du matin a modifié cette idée). S'il existe une faute de logique, pour l'instant je ne la vois pas. Jean-Luc W (d) 16 février 2008 à 16:51

Tiens, je n'avais jamais ouvert de texte d'Euler. Le mélange d'allemand et latin est un peu rude pour moi. Pour le reste, j'avais tort en disant (sinon, je prend q₁ lui-même). Cependant, je reviens avec un autre argument : comme tu le dis, on exhibe dans la démo un facteur premier non somme de carrés ; donc je suggère l'ajout du mot premier en vertu du principe qui recommande que les énoncés correspondent le mieux possibles aux preuves, sauf raison particulière (et en espérant aussi qu'il y aura moins de chance que le lecteur inattentif remplace comme moi le contient un facteur par pour tout facteur). Mais ce n'est certes pas un problème majeur. Ca n'a rien à voir, mais tu me dois aussi une réponse sur espace euclidien, si tu as le temps. Salle (d) 20 février 2008 à 19:10

Ouaip, Euler dans le texte, c'est un peu cocasse. J'achète ta suggestion, j'ai ajouté premier, c'est plus clair. J'avais laissé passé espace euclidien, je regarde demain. Jean-Luc W (d) 20 février 2008 à 19:51

Vous êtes mignons, mais si on en revenait plutôt à ce qu'écrit Euler ? Anne, 8/7/16

waring

Bonjour. Pour ma part, je verrais bien une sortie de cet article sur le problème de waring.Claudeh5 (d) 17 février 2008 à 11:40

Dans le fond, la première grande réponse à la théorie algébrique des nombres est apportée en élucidant la structure des anneaux d'entiers algébriques. Le premier chemin d'accès est l'étude des formes quadratiques (binaire, ternaire ...) qui offre une réponse pour Waring dans le cas n = 2. Ensuite, les avancés se traduisent par des résultats sur le grand théorème de Fermat, les lois de réciprocités et le cas général des équations diophantiennes d'ordre deux. Pour de nouveaux succès clairs sur Waring, il faut attendre plus longtemps : Hilbert.

Vous avez raison sur le court terme, les progrès se traduisent dans un premier temps sur Waring. Puis pendant 80 ans, c'est moins clair. Enfin, de toute manière le combat change de camp et le bon axe devient la géométrie algébrique.

Le dernier paragraphe doit ouvrir sur les généralisations et se doit de montrer une filiation limpide. Ma solution n'est pas la bonne. Ni toi ni Salle, pourtant spécialiste de la théorie des corps de classes (un héritier direct des questions de cette nature), ne trouvez la filiation limpide. Waring est sur le court terme un héritier direct, mais entraine une présentation un peu anecdotique de la théorie algébrique des nombres et des questions que se posent les grands noms du XIX^e siècle. Je réfléchis encore à une solution qui permet à la fois d'illustrer une filiation limpide et pas trop anecdotique. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 13:06

Bon, je vois bien où tu veux en venir, mais je te rappelle que le théorème des 2 carrés est du 17e siècle. Une généralisation, certes, mais pas la géométrie algébrique ! ou alors tu vas bientôt nous faire un article sur les tenseurs en les faisant remonter aux grecs d'avant euclide ! Donc la généralisation "naturelle" est "combien faut-il de carrés pour écrire tous les nombres entiers comme somme de carrés ?" et la seconde est "combien faut-il de puissances n pour écrire tous les nombres entiers comme somme de tels puissances ? Quec ela débouche par la suite sur l'étude des formes quadratiques, ternaires, ... c'est normal mais la géométrie algébrique, pas encore ! il faut rester modeste. Je prends peur et je sors mon révolver, comme Göring, quand j'entends "géométrie algébrique".Claudeh5 (d) 17 février 2008 à 21:37

seconde remarque: concernant Fermat, il ne faut jamais oublier qu'il ne publiait pas ses démonstrations. Il les gardait pour lui et parfois les a montré à ses amis. Mais ce qu'il y a de remarquable c'est que lorsqu'il a affirmé avoir une démonstration d'une proposition, la proposition s'est avérée vraie, souvent par une démonstration publiée longtemps après sa mort (1665) et d'un tout autre style. Et quand on a retrouvé, c'est arrivé, sa démonstration, elle s'est avérée parfaitement exacte et remarquable par son élégance et les moyens mis en oeuvre. De ce point de vue, il faut relire la préface de la théorie des nombres de Legendre. On ne peut donc absolument pas affirmer que Fermat ne savait démontrer les théorèmes et propositions qu'il énonçait. Pour reprendre l'affaire des nombres de Fermat, il n'a jamais affirmé qu'il en avait une démonstration, seulement qu'il les croyait premiers (d'une manière plus subtil que les chinois qui croyaient que 2^2^m+1 était toujours premier): il pensait que 2^2^2....2^m+1 était premier.Claudeh5 (d) 17 février 2008 à 21:47

Sur le fond, pour la première partie tu as raison. Qui trop embrasse ... Je cherche donc une solution de cette nature. Petit détail amusant, pour André Weil, la géométrie algébrique nait à la fin du XVIII^e siècle sous la plume d'Euler pour généraliser la question des deux carrés. Il découvre la puissance des courbes elliptiques et en fait son cheval de bataille. J'ai, j'espère à juste titre, omis ce détail dans l'article. Pour Euler, Lagrange, Legendre et Gauss, la démarche est déjà inverse. Ils cherchent tous à comprendre les mécanismes sous-jacents aux comportement des entiers. Cela débouche sur les formes quadratiques à deux et trois variables chez Gauss, avec comme conséquence le théorème des trois carrés. Gauss exprime déjà que le grand théorème de Fermat est en lui même artificiel, il existe plein d'équations diophantiennes difficile. C'est la raison qui, plus tard, retient Hilbert d'en faire un de ses problèmes du siècle. Il transforme donc la question en : Existe-t-il un algorithme qui permette de résoudre les équations diophantiennes polynomiales?

Sur la deuxième partie, nous sommes encore d'accord. Le plus rigolo est que la conjecture que tu indiques est la seule fausse de Fermat. Il a été plus loin, il indiquait au sujet de la primalité des nombres de Fermat : Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer... cette belle proposition que je vous ai envoyée... . J'ai volontairement choisi dans les démonstrations élémentaires celles qui utilisent le petit théorème de Fermat (Euler en propose aussi une autre à l'aide du théorème de Wilson) et la descente infinie et la démonstration de Fermat de l'unicité de la solution si p est premier. Trouves-tu que l'article reflète suffisamment l'idée que tu exprimes ? Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 09:00

IP

Hum, désolée, je vois que vu l'heure tardive, une de mes modifications a été faite sous IP 82.123.100.117 (comme par hasard, celle qui a enlevé un paragraphe sur Viète et le développement de l'algèbre un peu trop général par rapport au sujet de l'article et fait plusieurs déplacements). Mais c'était bien moi, --Cgolds (d) 26 février 2008 à 11:16

Aussi étonnant que cela puisse paraître, le lecteur avisé avait déjà sa petite idée. Aucune justification n'était nécessaire, cet élagage judicieux se comprenait de lui-même. Jean-Luc W, 11 h 31

Numérotation des pbs

Avis bienvenu sur le problème suivant (j'y ai passé plusieurs heures hier, bouark) : j'ai commencé par donner la numérotation des pbs de Diophante d'après Ver Ecke, parce que c'est la traduction française dont l'on dispose (je ne crois pas en ligne, mais c'est aussi celle de l'édition de Tannery, en latin !, qui elle est en ligne...). Mais dans la discussion par exemple de Fermat, c'est celle de Bachet (édition latine de 1621) qui apparaît bien sûr. Je ne sais pas quelle est la bonne solution : les deux ? Si oui, laquelle on met dans le texte, laquelle en note ? Je vais entrer le 17e et peut-être un peu plus aujourd'hui, désolée d'être longue mais les vérifications prennent un temps fou (comme mes petits délires de numérotation). --Cgolds (d) 28 février 2008 à 14:01

A mon avis, tu te trompes de cible. Tu ne travailles pas pour les copains du CNRS mais pour le vaste publique. L'objectif est de créer la nouvelle mouture de, disons le Grand Dictionnaire universel du XIXe siècle, il fournit une information vulgarisée et de qualité pour l'éducation des masses. La meilleure solution me semble les notes en bas de page pour une lisibilité plaisante. Comme tu manies avec aisance l'adjonction des références au sein du texte, tu maintiens l'agrément. Mais si tu abuses, tu ne gagneras pas le public des chercheurs : quel hurluberlu irait chercher des informations à vocation professionnelles dans WP ?, mais tu perdras celui du grand public.Jean-Luc W (d) 28 février 2008 à 14:34

Prenons par exemple le XVIIe, l'axe choisi est celui des énoncés. Il est différent du précédent, et surement plus pertinent. Girard propose un énoncé complet. Voilà qui m'intéresse! Ensuite, que vient faire Mersenne et ses copains ? Pourquoi Bachet n'est-il pas anecdotique avec son identité de Brahmagupta ? Quel importance est celle de l'énoncé d'un problème ? Je sais bien que tu connais pertinemment les réponses et que l'axe maintenant choisi est meilleur. En revanche, je pense que tu peux faire œuvre utile en vulgarisant beaucoup plus ce qui doit apparaître pour toi comme une évidence : Un énoncé à la Bachet ou à la Frenicle modifie profondément la donne. Expliciter cela sans pour autant allonger le paragraphe me semble autrement plus important qu'une numérotation simple. Ton publique n'a aucune idée de l'importance et de la nature des énoncés. Tu vas penser que cela impose un revers total de la version précédente : aucune importance, l'article est fait pour être bonifié. Jean-Luc W (d) 28 février 2008 à 15:51

Je vise un public général, promis, juré (enfin, disons, celui qui a envie de lire cet article !). C'est justement à cause de cela que j'essaie de simplifier, mais je trouve que donner la référence à une proposition précise des Arithmétiques peut être intéressante et de toute façon, cela va bien avec l'idée de donner les sources. Mais justement, j'hésite parce que les versions accessibles physiquement car sur le web ne sont pas les versions linguistiquement accessibles (scrongneugneu). A part cela, tu as raison, on peut décider plus tard. Quant à ta question pourquoi nouvelle donne, hum, hum, pas trivial (et en fait, franchement, on ne connaît pas toute la réponse à cette question). Tu vas voir ce que je compte faire là-dessus et tu dis si cela va (en fait, j'ai l'intention de te suivre de très près, a h, ah, c'est plus amusant comme cela, c'est juste le titre que j'ai changé, au moins provisoirement).--Cgolds (d) 28 février 2008 à 18:55

Petites remarques du jour

J'aime beaucoup le paragraphe sur les preuves, je retrouve la qualité des magnifiques passages de Un théorème de Fermat et ses lecteurs. Bravo Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 13:48

Suppression de la géométrie chez Lagrange

Après relecture des textes, etc., et discussion avec Jean-LucW, on constate qu'il n'y a pas de géométrie dans Lagrange, « Recherches d'arithmétique », cette interprétation des formes quadratiques par un réseau arrive en principe chez Gauss, à la fin des années 1820, et est reprise plus tard à plus grande échelle par Minkowski dans sa Geometrie der Zahlen (géométrie des nombres). De plus, chez Lagrange, les formes sont strictement arithmétiques, c'est-à-dire à coefficients entiers. J'ai donc enlevé la description géométrique des formes dans le paragraphe sur Lagrange, on le fera réapparaître plus tard (et bien sûr, on donnera une preuve géométrique du théorème avec les réseaux, voir Scharlau et Oploka, par exemple). --Cgolds (d) 11 mai 2008 à 23:51

Euler et la descente infinie

Suite à ma récente bévue, je prends des gants cette fois : quelle est la source de ce paragraphe-ci ? C'est pour savoir si on ne pourrait pas, sans être infidèle à Euler, prendre d'entrée de jeu (toujours en raisonnant par l'absurde) le plus petit p (non somme de 2 carrés et possédant des multiples sommes de 2 carrés premiers entre eux), donc faire la descente non pas sur n mais sur q. Anne 4/7/12

La source est là p. 19 et précédentes (mis en référence dans notre article. Euler commence par démontrer

1. (Prop. II) Si a²+b²=pq avec p non somme de deux carrés, alors il existe un facteur premier de q qui n'est pas somme de deux carrés
2. (Prop III) Si a et b sont premiers entre eux et si a²+b² est divisible par p alors il existe c et d tels que c²+d² est divisible par p et inférieur à p²/2 (il ne précise pas qu'il peut prendre c et d premiers entre eux mais l'utilise pas la suite)

Ensuite s'installe une descente infinie :

• On suppose que a et b sont premiers entre eux et que a²+b² possède un diviseur p qui ne soit pas somme de deux carrrés.
• Comme a et b sont premiers entre eux et a²+b² est divisible par p, il existe c et d premiers entre eux tels que c²+d² s'écrive pq et soit inférieur à p²/2
• Comme p n'est pas somme de deux carrés, il existe r diviseur de q (donc inférieur à p/2) qui ne soit pas une somme de deux carrés et qui divise c²+d²
• On recommence la descente avec c²+d² et r

il me semble que la descente se fait sur le facteur et non sur la somme. Mais Euler ne cherche pas à prendre le plus petit facteur. La démonstration mise en boite est donc assez éloignée de celle d'Euler. HB (discuter) 9 juillet 2016 à 11:04 (CEST)

Il me semble que la section qui s'intitule "Euler et la descente infinie" devrait être beaucoup plus centrée sur l'argument d'Euler. La version actuelle est un pot pourri de divers morceaux d'arguments, sans chronologie. La mention du résidu quadratique n'a rien à faire ici, cette notion n'est pas utilisée ici par Euler. Le paragraphe qui commence par "Une fois ce résultat établi…" n'a rien à faire ici. La preuve de la Proposition 4 d'Euler actuellement dans la boîte déroulante n'a pas grand-chose à voir avec son argument, et manifestement leurs auteurs ne se sont jamais donné la peine de lire les articles originaux. Il semble que leur objectif n'a jamais été d'être fidèles à Euler, mais d'obtenir une preuve pas trop longue et se terminant par une utilisation de la méthode de descente infinie. Or la structure originale de la preuve d'Euler, qui est complètement oblitérée ici, permet d'obtenir la démonstration complète (suffisance et nécessité) la plus simple que je connaisse du théorème des deux carrés, qui ne fait usage que du petit théorème de Fermat. L'utilisation des différentes Propositions (et Corollaires) aboutissant au lemme (Proposition 4 du premier article), avec l'utilisation du résultat du deuxième article ("Chaque nombre premier de la forme 4n+1 est somme de deux carrés"), permet en effet de montrer la nécessité de la condition du théorème des deux carrés, sans faire appel au théorème de Wilson ni à la notion de résidu quadratique (il suffit de savoir qu'un entier de la forme 4n+3 n'est pas somme de deux carrés!). S'il n'y a pas d'objection, je me propose dans un premier temps de remplacer ce qu'il y a dans la boîte déroulante par le résumé détaillé (et pas par la preuve détaillée, que chacun peut reconstruire) de l'argument d'Euler. Sapphorain (discuter) 9 juillet 2016 à 11:18 (CEST)

Caractérisations des sommes de deux carrés premiers entre eux

(en) William J. LeVequeWilliam J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, Dover, 2014 (1^re éd. 1977) (lire en ligne), p. 182, démontre directement que pour tout entier naturel n (non nécessairement premier),

n = a² + b² avec a et b premiers entre eux si et seulement si –1 est un carré mod n.

Où pourrait-on insérer ça harmonieusement et utilement ? Anne, 1/8/16, 20 h 24

Oui c'est intéressant. En utilisant ce résultat pour n=p premier, on peut maintenant compléter une version du théorème des deux carrés sous la forme: "-1 est reste quadratique modulo p si et seulement si p=2 ou p est de la forme 4k+1", qui se démontre assez facilement avec le théorème dit "de Wilson" (et en fait dû à Lagrange), (p-1)! est congruent à -1 modulo p. C'est sans doute essentiellement ce que fait LeVeque sous une forme plus élaborée (il compte les solutions), mais le livre n'est pas entièrement accessible avec le lien que tu donnes.

Si on ne s'intéresse qu'au théorème des 2 carrés "sec" (sans le nombre de solutions), je remarque par ailleurs que le Th. 7.4 du LeVeque pour n=p premier peut aussi se montrer assez simplement, en n'utilisant essentiellement que les argument d'Euler pour démontrer sa Proposition 4. Sapphorain (discuter) 2 août 2016 à 10:08 (CEST)

"Fermat et les résidus" : titre plus adéquat ?

Le faudrait-il vraiment? C'est évidemment difficile de faire un article historique, tout en y insérant des remarques sur les simplifications possibles grâce à des résultats ultérieurs. On risque de subir les effets d'un paradoxe temporel… Sapphorain (discuter) 7 août 2016 à 12:25

Il y a 2 problèmes :

• mon lemme de Thue, mal placé parce qu'il casse à la fois la chronologie et la logique — notre échange ci-dessus ne m'avait pas donné la bonne idée ; finalement je crois que le mieux serait de lui dédier une courte section juste avant « Généralisation à tous les entiers », et de ne laisser dans « Fermat et les résidus » qu'une version faible « si n est somme de deux carrés premiers entre eux alors –1 est un carré modulo n », sans la réciproque ;
• le titre (du 13/2/8) de cette section : on ne voit pas trop le lien avec son contenu, à part « petit théorème de Fermat ».

Pour le premier, si tu es d'accord sur le principe et si tu n'as pas de meilleure idée, je vais rédiger un « premier jet » (modifiable…). Pour le second problème, je sèche. Anne, 7/8/2016, 20 h 32

Je me demande s'il est approprié d'insérer cette nouvelle section que tu vas faire sur le lemme de Thue avant (avant la section 3.3 actuelle). Il me semble que ça casserait quand même la chronologie. Juste après aussi d'ailleurs. Logiquement il faudrait la mettre après Gauss, ce qui impliquerait quelques problèmes supplémentaires de renvois d'une section à l'autre. Quant au titre "Fermat et les résidus" il me semble qu'il convient (à peu près). Il faudrait en tout cas conserver "Fermat".Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 10:20

• Je ne proposais pas de mettre Thue avant 3.3, ni juste après, mais entre 3.7 et 3.8. Mais tu as raison : chronologiquement, ça devrait plutôt être entre 3.6 et 3.7. Ce serait aussi cohérent logiquement, puisque c'est une preuve expéditive du même résultat que Zagier.
• Si on garde le titre "Fermat et les résidus", que pourrait-on ajouter, dans le texte de cette section, pour le justifier mieux ?

Anne, 8/8/16, 11 h 58

Ou alors: ==Fermat et son petit théorème== ? Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 12:37 (CEST)

Preuve en une phrase de Don Zagier

Un peu courte cette phrase. Si Marcel Proust avait été mathématicien, il aurait fait mieux. Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 14:59

Si c'est juste une boutade, tu peux la virer (ainsi que ma réponse). Si c'est parce que tu trouves que les explications qui suivent cette citation ne sont pas assez développées, je trouve qu'au contraire, les allonger dénaturerait cette preuve, qui se veut justement la plus courte possible. Anne, 18 h 14

Non non, cet argument est effectivement divin et les explications ne sont pas trop sommaires, mais je voulais simplement faire remarquer que n'importe quelle preuve peut s'écrire en une seule phrase pour autant que l'on sache écrire de longues phrases, et que celle de Zagier n'est pas particulièrement courte bien que sa démonstration elle-même le soit. Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 19:51 (CEST)

Lettre à Goldbach du 6 mars 1742

La référence n'est pas adéquate il me semble. Mais c'est intéressant. Euler montre en utilisant le petit théorème de Fermat (Theorema) que la somme de deux carré aa+bb ne peut pas être divisible par un nombre premier 4n-1 sans que a et b le soient. Il en déduit (Coroll.1) que aa+bb n'est divisible par aucun 4n-1, premier ou pas premier, d'où (Coroll.2) tous ses diviseurs sont des 4n+1. Il indique ensuite (Coroll.3) "Si donc une somme de deux carrés aa+bb ne peut pas être divisible par un nombre qui ne soit pas lui-même somme de deux carrés (ce que je crois pouvoir montrer), il suit que tout nombre 4n+1 s'écrit comme somme de deux carrés".

(Il me semblait qu'il n'y avait pas besoin de référence: comme (p-1)/2 est impair, aa congru à -1 modulo p impliquerait a^{p-1} congru à -1 et contredirait le petit théorème de Fermat). Sapphorain (discuter) 9 août 2016 à 11:13

A mon avis, cette lettre d'Euler n'est pas adéquate comme référence pour simplement justifier ce qu'on veut ici, c'est-à-dire que modulo un premier p de la forme 4n-1, aucun carré n'est congru à -1 modulo p (ceci se vérifie en une ligne comme je l'ai fait ci-dessus). Ça me paraît être "un gros marteau pour écraser une mouche": le théorème d'Euler qu'elle contient me semble beaucoup plus général et ne m'apparaît pas comme un énoncé équivalent. Je n'exclut pas qu'il soit un énoncé équivalent, mais si c'est le cas l'argument pour le vérifier n'est pas immédiat. Sapphorain (discuter) 9 août 2016 à 17:16

J'avais compris ton argument puis, grâce à cette traduc de E134, fini par comprendre celui d'Euler, bien plus tordu pour nous il est vrai, mais apparemment plus naturel pour lui, et l'intérêt de cette ref est que c'est la première preuve publiée de cet énoncé, clairement équivalent à celui annoncé (par la même bidouille qu'au début du § Fermat et les résidus). On utilise plusieurs fois dans l'article « ce genre d'équivalence » ; il faudrait la formuler une bonne fois pour toutes pour pouvoir y faire référence mais je n'arrive pas à trouver une formulation qui englobe toutes ces utilisations.

Dans ses corollaires de ce théorème, Euler « is being just a little bit sloopy, and may be overlooking a condition. He probably means that a and b are relatively prime », comme dit Sandifer à propos d'autres négligences plus loin dans dans E134.

Anne, 18 h 10

Je ne comprends pas comment la section "Fermat et les résidus" te permet d'écrire, dans "Généralisation à tous les entiers" que -1 est un carré modulo n'. Sapphorain (discuter) 9 août 2016 à 18:44

C'est pour ne pas réécrire la « bidouille » (qui est présente dans LeVeque p. 181-182, et qui est la même que celle à laquelle je fais allusion ci-dessus pour l'équivalence entre l'énoncé que tu démontres et le théorème pas « beaucoup plus général » d'Euler) que j'aimerais bien la « formuler une bonne fois pour toutes pour pouvoir y faire référence ». On a vu au début de "Fermat et les résidus" que si un entier m est somme de deux carrés premiers entre eux alors –1 est un carré modulo m. Anne, 19 h 18.

Quoique très intéressant comme tu le remarques, je pense au risque de me répéter que ce travail d'Euler n'a pas sa place dans la section "Fermat et les résidus", et a fortiori pas comme renvoi depuis une implication pour laquelle il n'est absolument pas nécessaire. D'autre part la "bidouille" du LeVeque que tu mentionnes, qui bien sûr est intéressante aussi, fait usage comme tu l'as déjà remarqué du Lemme de Thue qui est bien postérieur, et n'a donc pas sa place non plus dans cette section "Fermat" (à moins qu'on décide de revenir à une situation où on ne se soucie plus de la chronologie). Sapphorain 22 h 24‎

Mais non, voyons ! relis la « bidouille » (que j'ai surnommée comme ça parce qu'elle est complètement élémentaire), expliquée dans LeVeque p. 181-182 et au début de Théorème des deux carrés de Fermat#Fermat et les résidus, et qui prouve que si un entier m est somme de deux carrés premiers entre eux alors –1 est un carré modulo m. Elle est complètement indépendante du lemme de Thue. Anne, 22 h 39

Ach, je n'avais pas remarqué que ton incompréhension passagère de la bidouille allait jusqu'à nier une équivalence qu'elle entraîne. J'ai une très haute estime de toi, donc il me suffit de patienter. Anne, 22 h 56

J'espère même que quand tu auras tilté, tu trouveras la bonne « formulation générique » de la bidouille à laquelle j'aspire. Anne, 23 h

Ok ok, je croyais que ce que tu appelais la "bidouille" était le Th. 7.4 du LeVeque dont nous avons parlé avant. Mea culpa. Je vais remodifier.

…. Ce qui me gêne tout de même, c'est qu'on est en train d'assumer que cette équivalence était bien connue d'Euler. Alors que tout indique que ça n'était pas le cas. Sapphorain (discuter) 9 août 2016 à 23:33

Je suis d'accord, puisque son théorème « équivalent » me semble bien plus tordu pour nous mais apparemment plus naturel pour lui. Comment faire ? c'est difficile d'à la fois faire « simple » (subjectivement : pour nous, « modernes ») et respectueux de « l'Histoire » (dont je ne suis pas familière). Dans beaucoup d'articles de wp.fr on dit en gros : « voici les preuves historiques, mais retranscrites dans le langage des congruences ». Est-ce qu'il n'y aurait pas une façon, ici, de dire (en gros) : « voici… , compte tenu de l'équivalence… » Anne, 23 h 46

Oui, peut-être énoncer clairement quelque part (où?) cette équivalence, tout en remarquant qu'Euler ne la connaissait sans doute pas, ou qu'en tout cas il ne semble pas l'avoir utilisée. Je vais aller réfléchir à ça dans mon lit. La nuit porte conseil. Sapphorain (discuter) 9 août 2016 à 23:59

Une rédaction moins « simple » (subjectivement…) que l'actuelle, mais plus « historique » (?), serait de retarder la reformulation « –1 carré mod m » (et l'explicitation de l'équivalence), en la remplaçant, dans tout le § « Fermat et les résidus son petit théorème » par « m divise une somme de deux carrés premiers entre eux ». Ça obligerait à quelques contorsions pour re-rédiger la boîte déroulante, mais dispenserait de s'excuser d'utiliser une notion qu'Euler n'utilisait pas. Anne, 10/8, 9 h 54

En fait, la "contorsion" est plutôt la situation présente de la boîte déroulante. En effet Euler dans sa démonstration (par l'absurde) suppose que p, qui divise chaque $a^{4n}-b^{4n}$, divise chaque $a^{2n}-b^{2n}$ (et aucun $a^{2n}+b^{2n}$). En particulier pour b=a-1. Ainsi le polynôme dont il considère les différences successives est simplement celui qui est noté $Q_{1}$ (au lieu de $Q_{0}$). Sapphorain (discuter) 10 août 2016 à 11:58 (CEST)

(pour Q_0 et Q_1 j'ai mis les 2 versions, mais ça, c'est accessoire). Anne, 20 h 26

Excellent! C'est vrai qu'il suffit de demander b=1, Euler aurait dû y penser! Sapphorain (discuter) 11 août 2016 à 00:58

Il y a pensé (un peu plus tard). Je suis scotchée par son évolution au fil des ans (comme Weil p. 190). Anne, 14/8/16, 0 h 43

Lagrange et les formes quadratiques

Les deux premières phrases de ce § me laissent perplexe. Cf. Weil p. 83 et suivantes + E744. Anne 13/8/16

 : § réécrit. Anne, 16/8

§ Le cas général

Je ne vois pas l'intérêt de la dernière phrase de cette section :

« Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier donné. »

Si on sait le faire pour tout nombre premier congru à 1 mod 4 et si on connaît la décomposition de n en facteurs premiers, alors en déduit (par l'identité de Diophante) toutes les décompositions de n en somme de deux carrés. C'est plus ou moins ce qui est raconté juste avant à partir de

« La question du nombre de paires de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus difficile »

mais il faudrait peut-être l'expliquer mieux pour montrer que justement, ce n'est pas si difficile. Ou au moins (plutôt que de réinventer la roue) fournir une ref consultable en ligne. Anne, 18/2/2018

Fusion entre Théorème des deux carrés de Fermat et Preuves du théorème des deux carrés de Fermat

Discussion transférée depuis Wikipédia:Pages à fusionner
Le contenu de Preuves du théorème des deux carrés de Fermat consiste en l'état à l'énoncé et 1 preuve, qui figure déjà dans l'article principal Théorème des deux carrés de Fermat. Il serait àmha judicieux de fusionner dans l'article principal, l'autre option étant d'élaguer l'article principal pour regrouper toutes les preuves (en gros la section Théorème des deux carrés de Fermat#Démonstrations) dans cet article détaillé, ce qui est donc à discuter (je place également l'annonce sur le projet math). --Cbyd (discuter) 26 avril 2020 à 17:25 (CEST)

Je suis pour ma part plutôt favorable à conserver son intégrité au théorème des deux carrés de Fermat et à faire un redirect de Preuves du théorème des deux carrés de Fermat vers Théorème des deux carrés de Fermat#Démonstrations. HB (discuter) 26 avril 2020 à 17:38 (CEST)

Je plussoie. --Valvino ^(discuter) 26 avril 2020 à 21:51 (CEST)

Idem. J'aime bien le fait que Théorème des deux carrés de Fermat cite la preuve en une phrase de Zagier, je pense qu'il faut la garder. --GrandEscogriffe (causons!) 26 avril 2020 à 22:03 (CEST)

 Cbyd : vois-tu du contenu original à réutiliser dans Preuves du théorème des deux carrés de Fermat, ou es-tu d'accord pour rediriger vers Théorème des deux carrés de Fermat#Démonstrations ? --GrandEscogriffe (causons!) 2 mai 2020 à 00:15 (CEST)

Bonsoir GrandEscogriffe A priori ni l'énoncé ni la preuve ne constituent un contenu original, mais je note que ni la référence Goldman, ni la mention de Liouville n'apparaissent dans l'article principal. Je n'ai pas vérifié si Liouville a réellement produit une démonstration comme annoncé. Dans le doute, d'une part j'ai préféré laisser la porte ouverte si le choix collectif était d'étoffer un article détaillé regroupant toutes les preuves ; d'autre part je pense qu'il y a besoin d'une fusion d'historiques pour créditer l'auteur initial qui semble avoir traduit depuis l'anglais. Mais comme je ne suis pas assez familier de ces choses, je suis venu ici pour consuler des fusionneurs (?) chevronnés.--Cbyd (discuter) 2 mai 2020 à 01:18 (CEST)

j'ai demandé la fusion d'historiques.--Cbyd (discuter) 4 juin 2020 à 22:05 (CEST)