Matrice hamiltonienne
En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :
et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, est hamiltonienne si et seulement si :
Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Soit une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
- où sont des matrices n×n. Alors est une matrice hamiltonienne à condition que soient symétriques et que .
- La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
- La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
- Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
- Les valeurs propres de sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.
L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie [1].
Opérateurs hamiltoniens
[modifier | modifier le code]Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique . Une application linéaire est appelée opérateur hamiltonien par rapport à si l'application est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :
Soit une base de V telle que soit écrite . un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
- (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1er février 2005, Pages 385-390
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hamiltonian matrix » (voir la liste des auteurs).