Opérations sur les équivalents

Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.

Règles simples

Produit

Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}g_{2}$.

On en déduit, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ :

• pour tout $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$, $\lambda f\,{\underset {a}{\sim }}\,\lambda g$ ;
• pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}$.

Quotient

En supposant, pour que les quotients soient définis, que $f_{2}$ et $g_{2}$ ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :

si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {f_{1}}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {g_{1}}{g_{2}}}$.

En particulier :

si $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {1}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g_{2}}}$.

Puissances

En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ alors, pour tout $\alpha \in \mathbb {C}$, $f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }$.

Composition

Composition à droite par une même fonction

Si $\lim _{a}h=b$ et si $f\,{\underset {b}{\sim }}\,g$ alors $f\circ h\,{\underset {a}{\sim }}\,g\circ h$.

Quelques cas de composition à gauche

Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

Somme, différence

Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}{\text{ et }}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ et si (au voisinage de a) $g_{1}$ et $g_{2}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}+g_{2}$.

Composition à gauche par le logarithme

En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si $\lim _{a}g=+\infty$ ou $\lim _{a}g=0$ (ou plus généralement : si $g$ « ne s'approche pas » de 1), alors $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.

Composition à gauche par l'exponentielle

${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}\Leftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0$.

Primitives

Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a, alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a.

Démonstration

Supposons $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ avec (par exemple) f et g positives, et soit $\varepsilon >0$. Il existe un intervalle voisinage de a sur lequel on a $|f-g|\leq \varepsilon g$. Alors, pour $x$ dans cet intervalle, on a

$\left|\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t-\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t\right|\leq \varepsilon \int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t,$

ce qui prouve que

$\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t\,{\underset {a}{\sim }}\,\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t.$

Contre-exemples

Somme, différence

Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.

Par exemple, $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $(1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)$.

Composition à gauche par l'exponentielle

De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire ${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}$.

En effet, $f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\not \Rightarrow \lim _{a}(f-g)=0$ (voir supra).

Par exemple, $1\,{\underset {x\to \infty }{=}}\,o(x)$ mais $\lim _{+\infty }1\neq 0$.

Composition à gauche par le logarithme

De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.

En effet, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,1$ alors (voir supra) $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,f-1$, or en général $f-1\,{\underset {a}{\nsim }}\,0$.

Par exemple $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $x\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,0$.

L'hypothèse que $g$ « ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.

Dérivation

Si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que $f'\,{\underset {a}{\sim }}\,g'$.

Par exemple quand x tend vers 0, $f(x)=1+x$ et $g(x)=1$ sont équivalentes, mais $f'(x)=1$ et $g'(x)=0$, donc $f'\,{\underset {0}{\nsim }}\,g'$.