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P0-matrice

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En mathématiques, une P0-matrice est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont positifs. Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire. Une notion voisine est celle des P-matrices.

Définition

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On note ci-dessous la sous-matrice de formée de ses éléments avec indices de ligne dans et indices de colonne dans

P0-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle est une P0-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

  1. tous les mineurs principaux de sont positifs : pour tout non vide, ,
  2. pour tout vecteur non nul, on peut trouver un indice tel que et ,
  3. pour tout non vide, les valeurs propres réelles de sont positives,
  4. pour toute matrice diagonale définie positive , est inversible.

On note l'ensemble des P0-matrices d'ordre quelconque. On appelle P0-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à .

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966[1]), qui ont aussi montré l'équivalence entre les définitions 1 et 2. L'expression 4 de la P0-matricité est due à Chen et Harker (1993[2]).

Propriétés immédiates

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De la définition 1, on déduit que

  • si et seulement si ,
  • Si est symétrique, alors si et seulement si est semi-définie positive,
  • est un fermé de ,
  • si est semi-définie positive, alors

Complexité

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Vérifier qu'une matrice donnée dans est une P0-matrice est un problème co-NP-complet[3].

  1. (en) M. Fiedler, V. Pták (1966). Some generalizations of positive definiteness and monotonicity. Numerische Mathematik, 9, 163–172. doi
  2. (en) B. Chen, P.T. Harker (1993). A non-interior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14, 1168–1190. doi
  3. (en) P. Tseng (2000). Co-NP-completeness of some matrix classification problems. Mathematical Programming, 88, 183–192.

Articles connexes

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Ouvrages généraux

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  • (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
  • (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.