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Produit tensoriel d'algèbres

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En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.

Définition

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Soit un anneau commutatif. Soient deux -algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de -algèbres est donnée par deux morphismes

et .

On peut les considérer comme des -modules et construire le produit tensoriel . Lorsque et commutent à , c'est-à-dire lorsque pour tout , on a et , on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

.

pour tous et . La structure de -module plus cette loi de composition interne fait de une -algèbre.

Il existe des homomorphismes de -algèbres canoniques , définis respectivement par et .

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de -algèbre à gauche lorsque est commutatif, et une structure de -algèbre à droite lorsque est commutatif.


Exemples:

  • Produit tensoriel d'algèbres de matrices
  • Produit tensoriel d'algèbres centrales simples
  • .

Propriété universelle

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Lorsque et sont commutatifs, le produit tensoriel est leur somme catégorielle dans la catégorie des -algèbres commutatives:

Si et sont des homomorphismes de -algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de -algèbres tel que et pour tous .

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

Références

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(en) Serge Lang, Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.