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Q0-matrice

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En mathématiques, une Q0-matrice est une matrice carrée réelle apportant des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Ce sont celles qui assurent l'existence d'une solution dès que le problème est réalisable.

Définitions

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Quelques notations

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Pour un vecteur , la notation signifie que toutes les composantes du vecteur sont positives.

On note l'orthant positif de .

Si est une matrice d'ordre , on note l'image de par  ; c'est un cône polyédrique (donc un fermé).

Problème de complémentarité

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Étant donnés une matrice réelle carrée et un vecteur , un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur tel que , et , ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :

Un point vérifiant et est dit admissible pour le problème et l'ensemble

est appelé l'ensemble admissible de ce problème. On dit que le problème est réalisable si .

Pour , on introduit les deux cônes de suivants

Évidemment , sans que l'on ait nécessairement égalité (c'est ce qui motive l'introduction de la notion de Q0-matrice). Le cône est convexe polyédrique car il s'écrit comme la somme de deux cônes convexes polyédriques :

.

Au contraire, n'est pas nécessairement convexe. En réalité, on montre que est une réunion de cônes convexes polyédriques[1],[2],[3] (disjoints quel que soit si et seulement si est suffisante en colonne[4]) :

,

est la matrice dont les colonnes sont données par

On voit que les deux cônes dont est la somme sont contenus dans  ; on les obtient en prenant et . Ces observations conduisent à la définition suivante.

Q0-matrice — On dit qu'une matrice est une Q0-matrice si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes :

  1. le problème a une solution s'il est réalisable,
  2. ,
  3. est convexe.

On note l'ensemble des Q0-matrices.

  1. Selon Cottle, Pang et Venkateswaran (1989), les cônes ont été introduits par Samelson, Thrall et Wesler (1958) et ont été étudiés dans le contexte des problèmes de complémentarité linéaire par Murty (1972).
  2. (en) H. Samelson, R. M. Thrall et O. Wesler, « A partition theorem for the Euclidean n-space », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 9,‎ , p. 805–807.
  3. (en) K.G. Murty, « On the number of solutions to the complementarity problem and spanning properties of complementarity cones », Linear Algebra and its Applications, vol. 5,‎ , p. 65–108.
  4. (en) R.W. Cottle, J.-S. Pang et V. Venkateswaran, « Sufficient matrices and the linear complementarity problem », Linear Algebra and its Applications, vol. 114,‎ , p. 231–249 (DOI 10.1016/0024-3795(89)90463-1)

Articles connexes

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Bibliographie

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  • (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang et R. E. Stone, The linear complementarity problem, vol. 60, Philadelphia, PA, USA, SIAM, coll. « Classics in Applied Mathematics », .