Système de Garside

Définition

Un système de Garside est la donnée d'un couple $(M,\Delta )$ où

1. $M$ est un monoïde simplifiable, sans élément inversible autre que 1 et admettant des PPCM et des PGCD (pour la divisibilité) ;
2. $\Delta$ est un élément de Garside :
   • ${\rm {{Div}_{L}\ \Delta ={\rm {{Div}_{R}\ \Delta }}}}$ (et on écrit par la suite ${\rm {{Div}\ \Delta }}$ pour cet ensemble) ;
   • ${\rm {{Div}\ \Delta }}$ engendre $M$ ;
   • ${\rm {{Div}\ \Delta }}$ est fini.

où ${\rm {{Div}_{L}\ \Delta }}$ (resp. ${\rm {{Div}_{R}\ \Delta }}$) désigne l'ensemble des diviseurs à gauche (resp. à droite) de $\Delta$.

Exemple

Le monoïde des tresses à trois brins $B_{3}^{+}$ présenté par $\langle \sigma _{1},\sigma _{2};\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle ^{+}$ et l'élément $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}$ forment un système de Garside.