Théorème de Laguerre

En mathématiques, le théorème de Laguerre est un théorème d'analyse pour approcher les zéros d'un polynôme. Ce théorème doit son nom à Edmond Laguerre.

Théorème de Laguerre (cas réel) —  Si ${\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ est un polynôme unitaire de degré $n$, ayant $n$ racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle $[u,v]$ où $u$ et $v$ sont les racines du polynôme

$nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)$

Ce théorème est un cas réel du théorème de Gauss-Lucas^[Comment ?].

Théorème de Laguerre (cas complexe) —  Soit $f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}$ un polynôme unitaire de degré $n$ à coefficients complexes. Considérons un point $z_{0}$ tel que ${\textstyle f'(z_{0})\neq 0}$. Alors, il existe au moins une racine de $f$ dans le disque fermé centré en $z_{0}$ et de rayon ${\textstyle n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}}$.

Démonstration

On peut supposer $f(z_{0})\neq 0$ et écrire $f(z)$ sous la forme ${\textstyle f(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-\zeta _{k})}$. On a alors :

$f'(z_{0})=\sum _{i=0}^{n}\displaystyle \prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}(z_{0}-\zeta _{j})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(z_{0})}{z_{0}-\zeta _{k}}}$

Donc,

${\frac {f'(z_{0})}{f(z_{0})}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z_{0}-\zeta _{k}}}$

Et il vient

${\frac {|f'(z_{0})|}{|f(z_{0})|}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{|z_{0}-\zeta _{k}|}}\leq {\frac {n}{\min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|}},$

Autrement dit,

$\min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|\leq n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}},$

ce qui termine la preuve.