Théorème de doublement de dimension
En probabilités, les théorèmes de doublement de dimension sont deux résultats sur la dimension de Hausdorff de l'image d'un mouvement brownien. Les deux théorèmes disent en substance que la dimension d'un ensemble double presque sûrement sous le mouvement brownien.
Le premier théorème est également appelé théorème de McKean (1955) et a été écrit par Henry McKean. Le deuxième théorème est un renforcement du théorème précédent et est aussi appelé théorème de Kaufman (1969) car il est de Robert Kaufman[1].
Énoncé
[modifier | modifier le code]Pour un mouvement brownien et un ensemble on définit l'image de sous , soit
Théorème de McKean
[modifier | modifier le code]Soit un mouvement brownien de dimension . Soit , alors[2]
-presque sûrement.
Théorème de Kaufman
[modifier | modifier le code]Soit un mouvement brownien de dimension . Alors -presque sûrement, pour tout ensemble , que[3]
Remarques
[modifier | modifier le code]La différence entre les deux théorèmes est la suivante : dans le théorème de McKean, le -ensemble négligeable (l'ensemble sur lequel l'énoncé n'est pas vérifié) dépend du choix de l'ensemble . Le résultat de Kaufman est valable pour tous les ensembles en même temps. Le résultat de Kaufman peut donc aussi être utilisé pour des ensembles aléatoires .
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press,
- (en) René L. Schilling et Lothar Partzsch, Brownian Motion, De Gruyter,
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Robert Kaufman, Une propriété métrique du mouvement brownien, vol. 268, coll. « C. R. Acad. Sci. Paris », , p. 727-728
- Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, , p. 114
- Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, , p. 279