Transformée de Fourier-Mukai

La transformée de Fourier-Mukai est un analogue en géométrie algébrique de la transformée de Fourier usuelle utilisée en analyse. Elle a été introduite par Shigeru Mukai.

Définition

Soit $X$ une variété abélienne et ${\hat {X}}$ sa variété abélienne duale. On note ${\mathcal {P}}$ le fibré de Poincaré sur $X\times {\hat {X}}$, normalisé de façon à être trivial sur les fibres $X\times 0$ et $0\times {\hat {X}}$. Soient $p$ et ${\hat {p}}$ les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

$R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})$

On a un foncteur similaire en sens inverse $R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X)$.

Propriétés

Soit $g$ la dimension de $X$.

On a une propriété d'involutivité :

$R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]$

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

$R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})$

$R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]$

Références

• Shigeru Mukai, Duality between $D(X)$ and $D({\hat {X}})$ with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)