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§ IV.

Propagation du mouvement dans le sens de la profondeur du fluide, abstraction faite, comme précédemment, de l’une des dimensions horizontales.

(25) Pour simplifier la question, nous nous bornerons à considérer les molécules situées au-dessous de l’ébranlement primitif, à une profondeur très - grande par rapport à la largeur de cet ébranlement. Quelle que soit la forme du corps dont l’immersion a produit les ondes, s’il est symétrique par rapport à un axe vertical, et qu’on prenne cette droite pour axe des $z,$ les molécules situées sur cet axe n’auront aucune vîtesse horizontale ; ainsi, en supposant la symétrie du segment plongé, nous aurons seulement à examiner les lois des vîtesses dans le sens vertical, ou les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dz}}.$ Or, en faisant $x=0$ dans l’équation (11) du n^o 10, et négligeant $\alpha$ relativement à $z,$ on a

$\varphi ={\frac {gt}{\pi \,z}}.\iint f\alpha .e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4z}}}cos.{\frac {gt^{2}\alpha \left(1-v^{2}\right)}{4z^{2}}}dv\,d\alpha \,;$

remplaçant de plus le cosinus compris sous cette double intégrale par l’unité, et faisant $\int f\alpha \,d\alpha =\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {A}$ représente l’aire du segment plongé, il vient

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}v^{2}}{4z}}dv\,;$

l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ Cepen-