Cruinneadaireachd

’S e geoimeatras air uachdar cruinne a tha cruinneadaireachd agus tha i air leth feumail do mharaireachd agus do reul-eòlas. Air uachdar cruinne ’s e arc prìomh-chearcaill a tha an astar as giorra eadar dà phuing agus a tha a’ gabhail àite loidhne à geoimeatras raoin. Chionns gu bheil na prìomh-chearcallan uile a’ trasnadh, chan eil loidhnichean co-shìnte ann mar a th’ ann an geoimeatras raoin. Mar sin, ’s e geoimeatras neo-Eoclaideach (geoimeatras eileapsach) a tha cruinneadaireachd.

Prìomh-chearcallan agus cearcallan beaga

’S e cearcall a tha eadar-ghearradh cruinne agus raon. Ma tha an raon tro mheadhan na cruinne, tha radius a’ chearcaill agus radius na cruinne co-ionnan agus ’s e prìomh-chearcall a th’ ann (me. AB anns an diagram). Mur eil an raon tro mheadhan na cruinne ’s e cearcall beag a th’ ann (me. CD anns an diagram). Nam biodh loidhne dhìreach ann tro mheadhan M na cruinne a tha ceart-cheàrnach ri raon a’ chearcaill, rachadh e tro uachdar na cruinne aig dà phuing (P agus P′ ) a tha pòlaichean a’ chearcaill. Tha dà chearcall co-shìnte ma tha na h-aon phòlaichean aca. Chan eil ach aon phrìomh-chearcall aig paidhir phòlaichean.

Ceàrn co-chruinnein

Tha ceàrn co-chruinnein ann aig trasnadh dà phrìomh-chearcaill. Thèid mìneachadh air a dhèanamh air mar a leanas.

Beachdaich air na dà phrìomh-chearcall PA agus PB a tha a’ trasnadh aig a’ phuing P. Sgrìobh beantanan PS agus PT don dà phrìomh-chearcall fa leth. Tha PT ceart-cheàrnach do radius MP a’ phrìomh-chearcaill PB agus mar a tha e anns an raon PMB ’s ann a tha e co-shìnte ris an radius MB. Mar an ceudna tha PS co-shìnte ri MA. Tha an ceàrn SPT a’ dèanamh mìneachadh air a’ cheàrn co-chruinnein APB eadar na dà phrìomh-chearcall, agus tha seo agus an ceàrn AMB co-ionnan.

Triantan co-chruinnein

Ma tha trì puingean air uachdar cruinne, faodar dà leth a dhèanamh air a’ chruinne ’s gum bi na trì puingean air an aon leth-chruinne. Ma tha na trì puingean seo air an ceangal le arcan phrìomh-chearcall ’s e triantan co-chruinnein a th’ ann. Anns an diagram, tha AB, BC agus CA na trì taobhan den triantan cho-chruinnein ABC. Tha faide arc a’ phrìomh-chearcaill BC:

BC = r ceàrn BMC

far a bheil r a’ comharrachadh radius na cruinne, agus na ceàrnan air an tomhas le raidianan. Chionns gu bheil r cunbhalach, tha e uaireannan nas goireasaich faide arc a’ phrìomh-chearcaill a thomhas leis a’ cheàrn a nì e aig meadhan na cruinne. Mas e 60° a tha an ceàrn BMC , ’s e 60° a tha faide arc BC.

Triantain cheart-cheàrnach agus triantain cheathramhach

Biodh ABC na triantan co-chruinnein, agus biodh A, B agus C nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob.

• Nam biodh fear de na ceàrnan co-chruinnein 90°, ’s e triantan ceart-cheàrnach a bhiodh ann.
• Nam biodh fear de na taobhan 90°, ’s e triantan ceathramhach a bhiodh ann.

Domhan-fhad agus domhan-leud

Faodar a bheachdachadh air an t-saoghal airson adhbhair ghnìomhaich mar gum biodh e co-chruinnein. Tha e a’ cuartachadh mu thrast-thomhas TD far a bheil T aig a’ Phòl a Tuath agus D aig a’ Phòl a Deas. ’S e an crios-meadhain, no meadhan-chearcall na talmhainn, prìomh-chearcall nam pòlaichean seo.

’S e domhan-loidhne no meridian a tha gach leth-phrìomh-chearcall bho T gu D. Chionns gu bheil iad uile air prìomh-chearcallan tro pòlaichean a’ chrios-mheadhain, tha iad uile ceart-cheàrnach ris. Tha co-chòrdadh eadar-nàiseanta ann gu bheil am prìomh-mheridian am fear tron Amharclann Greenwich an Sasainn agus faodar suidheachadh gach meridian eile a thomhas leis a’ cheàrn co-chruinnein eadar esan agus am prìomh-mheridian. ’S e domhan-fhad mar ainm air a’ cheàrn co-chruinnein seo agus tha e air a thomhas bho 0° gu 180° iar, no ear, air Greenwich. Ma tha am prìomh-mheridian a’ trasnadh a’ chrios-mheadhain aig L, agus meridian eile a’ trasnadh aig K, tha an ceàrn co-chruinnein eatorra agus an ceàrn KML co-ionnan.

Tha feum air dara co-chomharra gus àite sam bith a lorg air loidhne an domhan-fhaid. Tha na cearcallan beaga co-phòlarach nas freagarraich agus iadsan co-shìnte ris a’ chrios-meadhain. Tha suidheachadh cearcaill bhig air a sheulachadh gu h-iomlan le faide arc air an domhan-loidhne eadar an cearcall beag agus an crios-mheadhain. Mar eisimpleir, tha puing A air a’ chearcall bheag AB a tha astar AK (no BL) bhon chrios-mheadhain. ’S e seo an ceàrn KMA (no LMB) agus ’s e domhan-leud a theirear ris. Tha domhan-leud air a thomhas bho 0° gu 90° tuath (no deas) air a’ chrios-mheadhain.

Chionns gu bheil radius na talmhainn mu 6,380 km (aig a’ chrios-mheadhain), ’s ann mu thimcheall 100 km a tha astar arc 1°. Tha puing ceàirn air a roinn na 60 mionaidean agus gach mionaid air a roinn na 60 diog. Nam biodh feum ann ach an dealachadh a dhèanamh eadar mionaidean arc agus mionaidean uarach, theireadh arc-mhionaid agus arc-dhiog ris. ’S ann mu thimcheall 30 m a tha astar arc-dhiog. Thathar a’ lorg àite sam bith air an talamh gu h-eagnaidh, mar eisimpleir:

2° 9′ 31.43″ I, 55° 57′ 26.81″ T

63° 42′ 34.84″ I, 44° 39′ 32.73″ T

far a bheil ′ agus ″ a’ comharrachadh mhionaidean agus dhiogan, agus I, E, T no D a’ comharrachadh iar/ear air Greenwich agus tuath/deas air a’ chrios-mheadhain.

Triantanachd cho-chruinnein

Biodh ABC na triantan co-chruinnein, agus biodh A, B agus C nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob an triantain. Biodh a, b agus c nam faide arc mu choinneimh nan ceàrnan A, B agus C fa leth. Gabhar a dhearbhadh gu bheil:

Foirmle bunaiteach triantanachd cho-chruinnein (am foirmle co-shìneiseach)

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\,$

Am foirmle sìneiseach

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}\,$

Foirmlean eile le sìneasan agus co-shìneasan

$\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A\,$

$\sin a\cos C=\cos c\sin b-\sin c\cos b\cos A\,$

Foirmle nan ceithir pàirtean

$\cos a\cos C=\sin a\cot b-\sin C\cot B\,$

Samhlachasan Dhelambre

$\sin {\tfrac {1}{2}}c\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)=\cos {\tfrac {1}{2}}C\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)$

$\sin {\tfrac {1}{2}}c\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)=\sin {\tfrac {1}{2}}C\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)$

$\cos {\tfrac {1}{2}}c\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)=\cos {\tfrac {1}{2}}C\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)$

$\cos {\tfrac {1}{2}}c\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)=\sin {\tfrac {1}{2}}C\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)$

Samhlachasan Napier

$\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c$

$\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c$

$\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C$

$\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C$