Elemento maximal e minimal

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, un elemento maximal dun subconxunto $S$ dalgúns conxuntos preordenados é un elemento de $S$ que non é menor que calquera outro elemento en $S$ . Un elemento minimal dun subconxunto $S$ de algún conxunto preordenado está definido dualmente como un elemento de $S$ que non é maior que calquera outro elemento en $S$ .

As nocións de elementos maximal e minimal son máis febles que as de elemento maior e menor que tamén se coñecen, respectivamente, como máximo e mínimo. O máximo dun subconxunto $S$ dun conxunto preordenado é un elemento de $S$ que é maior ou igual a calquera outro elemento de $S,$ e o mínimo de $S$ volve a definirse de forma dual. No caso particular dun conxunto parcialmente ordenado, mentres que pode haber como moito un máximo e como moito un mínimo pode haber varios elementos maximais ou minimais. ^[1] ^[2] Nos conxuntos totalmente ordenados, coinciden as nocións de elemento maximal e máximo, e de elemento minimal e mínimo.

Como exemplo, na colección $S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}$ ordenado por inclusión, o elemento {d, o} é mínimal xa que non contén conxuntos na colección, o elemento {g, o, a, d } é maximal xa que non hai conxuntos na colección que o conteñan, o elemento {d, o, g} non é ningún non é nin minimal nin maximal e o elemento {o, a, f } pola contra ten as dúas propiedades é minimal e maximal. En contraste, non existe nin un máximo nin un mínimo para $S.$

O lema de Zorn afirma que todo conxunto parcialmente ordenado para o cal cada subconxunto totalmente ordenado ten un elemento maiorante contén polo menos un elemento maximal. Este lema é equivalente ao teorema da boa orde (ou de Zermelo) e ao axioma de escolla ^[3] e implica resultados importantes noutras áreas matemáticas como o teorema de Hahn-Banach, o teorema de Kirszbraun, o teorema de Tychonoff, a existencia dunha base de Hamel para cada espazo vectorial e a existencia dun pechamento alxébrico para todo corpo.

Definición

Sexa $(P,\leq )$ un conxunto preordenado e sexa $S\subseteq P.$

Un elemento maximal de S en relación a ≤ é un elemento $m\in S$ tal que

se

s\in S

satisfai

m\leq s,

entón necesariamente

s\leq m.

Do mesmo xeito, un elemento minimal de S en relación a ≤ é un elemento $m\in S$ tal que

se

s\in S

satisface

s\leq m,

entón necesariamente

m\leq s.

De forma equivalente, $m\in S$ é un elemento minimal de $S$ en relación a $\,\leq \,$ se e só se $m$ é un elemento máximo de $S$ en relación a $\,\geq ,\,$ onde por definición, $q\geq p$ se e só se $p\leq q$ (para todos os $p,q\in P$ ).

Se o subconxunto $S$ non se especifica entón debe supoñerse que $S:=P.$

Se o conxunto preordenado $(P,\leq )$ tamén é un conxunto parcialmente ordenado (ou, de xeito máis xeral, se a restrición $(S,\leq )$ é un conxunto parcialmente ordenado) entón $m\in S$ é un elemento maximal de $S$ se e só se $S$ non contén ningún elemento estritamente maior que $m;$ explicitamente, isto significa que non existe ningún elemento $s\in S$ tal que $m\leq s$ e $m\neq s.$ A caracterización de elementos minimais obtense mediante o uso de $\,\geq \,$ en lugar de $\,\leq .$

Existencia e unicidade

Existencia: non ten por que existir un elemento maximal (nin minimal por dualidade).

Exemplo 1: Sexa $S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R}$ onde $\mathbb {R}$ denota os números reais. Para tódolos $m\in S,$ $s=m+1\in S$ mais $m<s$ (é dicir, $m\leq s$ mais non $m=s$ ).
Exemplo 2:Sexa $S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},$ onde $\mathbb {Q}$ denota os números racionais e onde ${\sqrt {2}}$ é irracional.

Unicidade: en xeral $\,\leq \,$ é só unha orde parcial en $S.$ Se $m$ é un elemento maximal e $s\in S,$ entón pode ser posible que nin $s\leq m$ nin $m\leq s.$ Isto deixa aberta a posibilidade de que existan máis dun elemento maximal (ou minimal por dualidade).

Exemplo 3: No valado $a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,$ todos os $a_{i}$ son minimais e todos os $b_{i}$ son maximais, como se mostra na imaxe.
Exemplo 4: Sexa A un conxunto con polo menos dous elementos e sexa $S=\{\{a\}~:~a\in A\}$ o subconxunto do conxunto de partes $\wp (A)$ composto por subconxuntos unitarios, parcialmente ordenados por $\,\subseteq .$ Este sería un poset discreto onde non hai dous elementos comparables e, polo tanto, todos os elementos $\{a\}\in S$ son maximais (e neste caso tamén minimais); a maiores, para calquera distintos $a,b\in A,$ nin $\{a\}\subseteq \{b\}$ nin $\{b\}\subseteq \{a\}.$

Elementos maiores

Para un conxunto parcialmente ordenado $(P,\leq ),$ o núcleo irreflexivo de $\,\leq \,$ denotase como $\,<\,$ e defínese por $x<y$ se $x\leq y$ e $x\neq y.$ Para membros arbitrarios $x,y\in P,$ aplícase exactamente un dos seguintes casos:

$x<y$ ;
$x=y$ ;
$y<x$ ;
$x$ e $y$ son incomparables.

Dado un subconxunto $S\subseteq P$ e algúns $x\in S,$

se o caso 1 nunca aplica a ningún $y\in S,$ entón $x$ é un elemento maximal de $S,$
se os casos 1 e 4 nunca aplican a ningún $y\in S,$ entón chamamos a $x$ elemento maior de $S.$

Así, a definición de elemento maior é máis forte que a de elemento maximal.

Se $P$ satisfai a condición de cadea ascendente, un subconxunto $S$ de $P$ ten un elemento maior se, e só se, ten un elemento maximal.

Se as nocións de elemento maximal e elemento maior coinciden en cada subconxunto de dous elementos $S$ de $P$ entón $\,\leq \,$ é unha orde total en $P.$ ^{[proof 1]}

Conxuntos dirixidos

Nun conxunto dirixido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) ten un elemento maiorante común dentro do conxunto. Se un conxunto dirixido ten un elemento maximal, tamén é o seu maior elemento, ^{[proof 2]} e, polo tanto, o seu único elemento maximal. Para un conxunto dirixido sen elementos maximais ou maiores, consulte os exemplos 1 e 2 anteriores.

Temos conclusións semellantes para elementos mínimos.

Atópase máis información introdutoria na teoría da orde. .

Propiedades

Cada subconxunto finito non baleiro $S$ ten elementos maximais e minimais. Un subconxunto infinito pode non ter ningún deles, por exemplo, os enteiros $\mathbb {Z}$ coa orde habitual.
O conxunto de elementos maximais dun subconxunto $S$ é sempre unha anticadea, é dicir, non hai dous elementos maximais diferentes de $S$ que sexan comparables. O mesmo aplícase aos elementos minimais.

Exemplos

Na eficiencia de Pareto, un óptimo de Pareto é un elemento maximal en relación á orde parcial da mellora de Pareto, e o conxunto de elementos maximais chámase fronteira de Pareto.
Na teoría da decisión, unha regra de decisión admisible é un elemento maximal en relación á orde parcial da regra de decisión dominante.
Na teoría moderna de carteiras, o conxunto de elementos maximais en relación á orde do produto sobre risco e rendibilidade chámase fronteira eficiente.
Na teoría de conxuntos, un conxunto é finito se e só se toda familia de subconxuntos non baleira ten un elemento minimal cando se ordena pola relación de inclusión.
En álxebra abstracta, o concepto de máximo común divisor é necesario xeneralizalo ao concepto de máximos comúns divisores cando temos sistemas numéricos nos que os divisores comúns dun conxunto de elementos poden ter máis dun elemento maximal.
En xeometría computacional, os máximos dun conxunto de puntos son maximais en relación á orde parcial por dominación de coordenada.

Nocións relacionadas

Un subconxunto $Q$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ dise que é cofinal se para cada $x\in P$ hai algún $y\in Q$ tal que $x\leq y.$ Todo subconxunto cofinal dun conxunto parcialmente ordenado con elementos maximais debe conter todos os elementos maximais.

Un subconxunto $L$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ dise que é un conxunto inferior de $P$ se está pechado embaixo: se $y\in L$ e $x\leq y$ entón $x\in L.$ Cada conxunto inferior $L$ dun conxunto ordenado finito $P$ é igual ao conxunto inferior máis pequeno que contén todos os elementos maximais de $L.$

Notas

↑ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. American Mathematical Society. p. 181. ISBN 978-0-8218-4789-3. .
↑ Scott, William Raymond (1987). Group Theory. Dover. p. 22. ISBN 978-0-486-65377-8.
↑ Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.

↑ Se $a,b\in P$ son incomparables, daquela $S=\{a,b\}$ tería dous elementos maximal, mais ningún elemento maior, contradicindo a coincidencia. $\blacksquare$
↑ Sexa $m\in D$ maximal. Sexa un $x\in D$ arbitrario. Daquela o elemento maiorante común $u$ de $m$ e $x$ satisfai $u\geq m$ , así $u=m$ por maximalidade. Posto que $x\leq u$ cúmprese por definición de $u$ , temos que $x\leq m$ . De aquí que $m$ é o elemento maior. $\blacksquare$

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. American Mathematical Society. p. 181. ISBN 978-0-8218-4789-3. .

[2] Scott, William Raymond (1987). Group Theory. Dover. p. 22. ISBN 978-0-486-65377-8.

[3] Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.

[4] Se $a,b\in P$ son incomparables, daquela $S=\{a,b\}$ tería dous elementos maximal, mais ningún elemento maior, contradicindo a coincidencia. $\blacksquare$

[5] Sexa $m\in D$ maximal. Sexa un $x\in D$ arbitrario. Daquela o elemento maiorante común $u$ de $m$ e $x$ satisfai $u\geq m$ , así $u=m$ por maximalidade. Posto que $x\leq u$ cúmprese por definición de $u$ , temos que $x\leq m$ . De aquí que $m$ é o elemento maior. $\blacksquare$

[1]

[2]

[3]

[proof 1]

[proof 2]