התפשטות ג'אול

התפשטות ג'אול, שבה גז בנפח V_i = V₀ מתפשט לנפח V_f = 2V₀ במיכל מבודד תרמית.

התפשטות חופשית של גז אידיאלי המושגת באמצעות הזזת הבוכנה מהר יותר מהמולקולה המהירה ביותר של הגז, כך שהגז לא מבצע עבודה, והטמפרטורה והאנרגיה הפנימית נותרות קבועות.

התפשטות ג'אול (נקראת גם התפשטות חופשית) היא תהליך בלתי-הפיך בתרמודינמיקה, שבו נפח של גז נשמר בצדו האחד של מיכל מבודד תרמית (באמצעות מחיצה), כאשר בצדו האחר של המיכל שורר ואקום. לאחר מכן המחיצה בין שני החלקים של המיכל נפתחת במהירות, והגז ממלא את המיכל כולו באופן ספונטני. בתהליך זה האנטרופיה עולה, והאנרגיה החופשית של הלמהולץ (כלומר כמות האנרגיה שניתן להפיק מהגז לצורך ביצוע עבודה מכנית שימושית) פוחתת.

התפשטות ג'אול, שניתן לראות בה ניסוי מחשבה מעניין המערב גזים אידיאליים, היא תרגיל שימושי בתרמודינמיקה קלאסית. היא מספקת דוגמה נוחה לחישוב השינויים בגדלים תרמודינמיים יסודיים, וממחישה את הגידול באנטרופיה של היקום הנגרם על ידי תהליך זה, שבטבעו היסודי אינו הפיך. ניסוי התפשטות ג'אול אמיתי בהכרח מערב גזים ריאליים; במקרה זה, הירידה בטמפרטורה בסיום התהליך מהווה מדד לחוזק כוחות המשיכה הבין-מולקולריים.

סוג זה של התפשטות נקרא על שם ג'יימס ג'אול שעשה שימוש בהתפשטות הזאת ב-1845, במסגרת מחקריו על שווה הערך המכני של החום.

הפקת אנטרופיה

אנטרופיה היא פונקציית מצב, כך שהשינוי באנטרופיה ניתן לחישוב באופן ישיר מהמצב ההתחלתי והסופי של המערכת. לפיכך, על מנת לחשב את שינוי האנטרופיה ניתן לבחור כל מסלול במישור P-V, כך שניתן לבחור מסלול שרירותי משיקולי נוחות חישובית. עבור גז אידיאלי, השינוי באנטרופיה בהתפשטות ג'אול זהה לזה שבהתפשטות איזותרמית, שבה כל החום שנכנס מומר לעבודה (זהו מסלול אינטגרציה אפשרי אחד):

$\Delta S=\int _{i}^{f}dS=\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {P\,dV}{T}}=\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {nR\,dV}{V}}=nR\ln {\frac {V_{f}}{V_{i}}}.$

בעבור גז אידיאלי מונואטומי, האנטרופיה כפונקציה של האנרגיה הפנימית U, הנפח V ומספר המולים n ניתנת לחישוב על ידי משוואת סאקר-טטרוד:

$S=nR\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {4\pi m}{3h^{2}}}{\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {5}{2}}nR.$

כאשר m היא מסת חלקיק של הגז ו-h הוא קבוע פלאנק. בעבור גז מונואטומי אידיאלי מתקיים U = (3/2)nRT = nC_VT כאשר C_V הוא קיבול החום המולרי בנפח קבוע. במונחים של תרמודינמיקה קלאסית האנטרופיה של גז אידיאלי היא:

$S(V,T)=S_{0}+nR\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)+nC_{V}\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)$

ניתן לראות שהכפלת הנפח תוך שמירה על טמפרטורה קבועה מובילה לעלייה באנטרופיה בשיעור של (ΔS = nR ln(2. תוצאה זו תקפה במידה שווה גם כאשר הגז אינו חד-אטומי, שכן התלות בנפח של האנטרופיה זהה עבור כל הגזים האידיאליים.

דרך שנייה להעריך את שינוי האנטרופיה מערבת בחירת מסלול המורכב משלב ראשון של התפשטות אדיאבטית הפיכה ומשלב שני של חימום בנפח קבוע. תחילה נאפשר למערכת לעבור התפשטות אדיאבטית שבה הנפח מוכפל. במהלך ההתפשטות, המערכת מבצעת עבודה וטמפרטורת הגז צונחת, כך שאנו חייבים לספק לה חום השווה לעבודה שביצעה על מנת להחזיר אותה לאותו מצב סופי כמו במקרה של התפשטות ג'אול.

במהלך ההתפשטות האדיאבטית ההפיכה, חום לא יוצא ולא נכנס, כך ש-dS = 0. מהביטויים הקלאסיים לתלות הטמפרטורה בנפח בתהליך אדיאבטי ניתן למצוא שהטמפרטורה המתקבלת לאחר הכפלת הנפח היא:

$T=T_{i}({\frac {V_{f}}{V_{i}}})^{1-\gamma }=T_{i}2^{-2/3}$

כאשר $\gamma ={\frac {5}{3}}$ הוא האינדקס האדיאבטי של גז חד-אטומי. כעת, חימום הגז עד לטמפרטורה ההתחלתית מגדיל את האנטרופיה בשיעור:

$\Delta S=n\int _{T}^{T_{i}}C_{V}{\frac {\mathrm {d} T'}{T'}}=nR\ln 2.$.

ראו גם

• אפקט ג'אול תומסון
• אנטרופיה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפשטות ג'אול בוויקישיתוף