สามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม
ขอบและจุดยอด	3
สัญลักษณ์ชลาฟลี	{3} (สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า)
พื้นที่	วิธีการต่างๆ ดัง ต่อไปนี้

รูปสามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมสามมุมและด้านสามด้าน ซึ่งเป็นรูปร่าง พื้นฐานอย่างหนึ่ง ในเรขาคณิต มุมซึ่งเรียกอีกอย่างว่าจุดยอดเป็นจุดที่มีมิติเป็นศูนย์ในขณะ ที่ด้านที่เชื่อมต่อมุมเหล่านี้ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าขอบ นั้นเป็น ส่วนของเส้นตรงหนึ่งมิติ รูปสามเหลี่ยมมีมุมภายใน สามมุม ซึ่งแต่ละมุมมีขอบที่อยู่ติดกันเป็นคู่ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับ มุมตรงเสมอ(180 องศาหรือ π เรเดียน) รูปสามเหลี่ยมเป็นรูประนาบและภายในเป็นบริเวณระนาบบางครั้งมีการเลือกขอบใดๆ ให้เป็นฐานซึ่งในกรณีนี้ จุดยอดตรงข้ามจะเรียกว่าจุดยอดส่วนที่สั้นที่สุดระหว่างฐานและจุดยอดคือความสูงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวฐาน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุดสองจุดใดๆ จะกำหนดส่วนของเส้นตรงเฉพาะที่อยู่ภายในเส้นตรง เฉพาะหนึ่งเส้น และจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันทั้งหมด จะกำหนดรูปสามเหลี่ยมเฉพาะที่อยู่ภายใน ระนาบแบนเฉพาะหนึ่ง เส้น โดยทั่วไป จุดสี่จุดในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติจะกำหนดรูปสี่หน้า

ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดส่วน "ตรง" สามส่วน (ที่มีความโค้ง เป็นศูนย์ ) ยังกำหนดรูปสามเหลี่ยม เช่นรูปสามเหลี่ยมทรงกลมหรือรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกรูปสามเหลี่ยมจีโอเดสิก คือบริเวณของ พื้นผิวสองมิติทั่วไปที่ล้อมรอบด้วยสามด้านที่ตรงเมื่อเทียบกับพื้นผิว ( จีโอเดสิก )รูปสามเหลี่ยมโค้งคือรูปร่างที่มีโค้งด้าน เช่นรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีโค้งเป็นวงกลมบทความนี้เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมด้านตรงในเรขาคณิตแบบยูคลิด ยกเว้นในกรณีที่มีการระบุไว้เป็นอย่างอื่น

รูปสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามมุมและความยาวของด้าน ความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวด้านเป็นจุดเน้นหลักของตรีโกณมิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์จะสัมพันธ์กับความยาวด้านและมุมใน สามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมคือรูปร่างที่ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้น โดยแต่ละเส้นจะมีจุดปลายเชื่อมกัน^[1] รูปสามเหลี่ยม นี้จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสามด้านและมุมสามมุม คำศัพท์ที่ใช้ในการจำแนกรูปสามเหลี่ยมมีอายุมากกว่าสองพันปี โดยได้รับการกำหนดไว้ในหนังสือที่หนึ่งของ Euclid's Elements [ ^2]ชื่อที่ใช้ในการจำแนกประเภทสมัยใหม่เป็นการแปลงอักษรโดยตรงจากภาษากรีกของ Euclid หรือการแปลเป็นภาษาละติน

รูปสามเหลี่ยมมีหลายประเภทขึ้นอยู่กับความยาวของด้านและมุม รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งหมดมีความยาวเท่ากันเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า[ ^3]รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านที่มีความยาวเท่ากันเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว[ ^{4] [ก]}และรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสามด้านที่มีความยาวต่างกันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า [ ^7]รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุมฉากเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งหมดน้อยกว่ามุมนั้นเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมและรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมากกว่ามุมนั้นเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน[ ^8]คำจำกัดความเหล่านี้ย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงยุคลิด^[9]

• 
  สามเหลี่ยมด้านเท่า
• 
  สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• 
  สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

• 
  สามเหลี่ยมมุมฉาก
• 
  สามเหลี่ยมแหลม
• 
  สามเหลี่ยมมุมป้าน

รูปสามเหลี่ยมทุกประเภทมักพบในชีวิตจริง ในการก่อสร้างที่มนุษย์สร้างขึ้น อาจพบรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีรูปร่างเป็นจั่วและหน้าจั่วและรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอาจพบในเครื่องหมายยกรอก^[10] บางครั้ง หน้าของมหาพีระมิดแห่งกิซาถือเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่การวัดที่แม่นยำกว่าจะพบว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแทน^[11]ลักษณะอื่นๆ ปรากฏเป็น สัญลักษณ์ ตราประจำตระกูลเช่น ในธงชาติเซนต์ลูเซียและธงชาติฟิลิปปินส์ [ ^12]

รูปสามเหลี่ยมยังปรากฏในวัตถุสามมิติ ทรงหลายหน้าคือรูปทรงทึบที่มีขอบปกคลุมด้วยรูป หลายเหลี่ยมแบน ที่เรียกว่าหน้า มุมแหลมที่เรียกว่าจุดยอด และส่วนของเส้นตรงที่เรียกว่าขอบ ในบางกรณีสามารถจำแนกรูปหลายหน้าได้โดยพิจารณาจากรูปร่างของหน้า ตัวอย่างเช่น เมื่อรูปหลายหน้ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดเป็นหน้า พวกมันจะเรียกว่าเดลตาฮีดรอน [ ^13] แอนตีปริซึมจะมีรูปสามเหลี่ยมสลับกันที่ด้านข้าง^[14] พีระมิดและปิรามิดคู่เป็นทรงหลายหน้าที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและมีรูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าด้านข้าง รูปสามเหลี่ยมจะเป็นรูปหน้าจั่วเมื่อใดก็ตามที่เป็นพีระมิดและปิรามิดคู่ตรงคลีโทปของทรงหลายหน้าคือทรงหลายหน้าใหม่ที่สร้างขึ้นโดยการแทนที่หน้าแต่ละหน้าของรูปเดิมด้วยพีระมิด ดังนั้นหน้าของคลีโทปจะเป็นรูปสามเหลี่ยม^[15]โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถพบได้ในมิติที่สูงกว่า เช่น ในแนวคิดทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมที่เรียกว่าซิม เพล็กซ์ และโพลีโทป ที่มี ด้านสามเหลี่ยมเรียกว่า โพลีโทปซิมเพล็กซ์^[16]

สามเหลี่ยมแต่ละรูปมีจุดพิเศษหลายจุดอยู่ภายใน บนขอบ หรือจุดอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกัน สามเหลี่ยมเหล่านี้สร้างขึ้นโดยค้นหาเส้นสามเส้นที่สัมพันธ์กับด้านทั้งสาม (หรือจุดยอด) อย่างสมมาตร จากนั้นพิสูจน์ว่าเส้นทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดเดียว เครื่องมือสำคัญในการพิสูจน์การมีอยู่ของจุดเหล่านี้คือทฤษฎีบทของเซวาซึ่งให้เกณฑ์ในการพิจารณาว่าเส้นสามเส้นดังกล่าวมาบรรจบกัน เมื่อ ใด^[17]ในทำนองเดียวกัน เส้นที่สัมพันธ์กับสามเหลี่ยมมักจะสร้างขึ้นโดยพิสูจน์ว่าจุดสามจุดที่ประกอบขึ้นอย่างสมมาตรนั้นขนานกันในที่นี้ทฤษฎีบทของเมเนลอสให้เกณฑ์ทั่วไปที่มีประโยชน์^[18]ในส่วนนี้ จะอธิบายโครงสร้างที่พบเห็นได้ทั่วไปเพียงไม่กี่แบบเท่านั้น

เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของด้านและตั้งฉากกับด้านดังกล่าว โดยสร้างมุมฉากกับด้านนั้น^{[19] เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากทั้งสามเส้นมาบรรจบกันที่จุดเดียว คือ} จุดศูนย์กลางวงกลมของสามเหลี่ยมจุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ โดยวงกลมนั้นผ่านจุดยอดทั้งสามจุด^[20] ทฤษฎีบทของทาลีสบ่งบอกว่า หากจุดศูนย์กลางวงกลมตั้งอยู่บนด้านของสามเหลี่ยม มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก^[21]หากจุดศูนย์กลางวงกลมอยู่ภายในสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนั้นก็จะเป็นมุมแหลม หากจุดศูนย์กลางวงกลมอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนั้นก็จะเป็นมุมป้าน^[22]

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนี้เรียกว่าฐานของความสูง และจุดที่ความสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนขยายของฐาน) เรียกว่าฟุตของความสูง^[23]ความยาวของความสูงคือระยะทางระหว่างฐานและจุดยอด ความสูงทั้งสามตัดกันที่จุดเดียว เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม^[24]จุดศูนย์กลางจะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม^[25]

เส้นแบ่งครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดที่ตัดมุมที่สอดคล้องกันออกเป็นสองส่วน เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางภายในซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมในของรูปสามเหลี่ยมวงกลม ในคือวงกลมที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านทั้งสาม รัศมีของวงกลมนี้เรียกว่า รัศมีภายในมีวงกลมสำคัญอีกสามวงคือ วงกลมนอก ซึ่งอยู่ภายนอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่ง รวมถึงส่วนขยายของอีกสองวงด้วย จุดศูนย์กลางของวงกลมในและวงกลมนอกก่อตัวเป็นระบบออร์โธเซนตริก [ ^26]จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามและฐานของส่วนสูงทั้งสามอยู่บนวงกลมเดียว คือวงกลมเก้าจุด ของรูป สามเหลี่ยม^[27]จุดที่เหลืออีกสามจุดที่เรียกกันว่า จุดกึ่งกลางของส่วนสูงระหว่างจุดยอดและจุดศูนย์กลางภายใน รัศมีของวงกลมเก้าจุดเท่ากับครึ่งหนึ่งของวงกลมล้อมรอบ มันสัมผัสกับวงกลมภายใน (ที่จุดไฟเออร์บัค ) และ วงกลมนอก ทั้ง สามวงวงกลมออร์โธเซนเตอร์ (จุดสีน้ำเงิน) ศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) เซนทรอยด์ (สีส้ม) และศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) ทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียว ซึ่งเรียกว่าเส้นออยเลอร์ (เส้นสีแดง) ศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างวงกลมออร์โธเซนเตอร์และศูนย์กลางวงล้อม และระยะห่างระหว่างเซนทรอยด์และศูนย์กลางวงล้อมคือครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเซนทรอยด์และออร์โธเซนเตอร์^[27]โดยทั่วไป ศูนย์กลางของวงกลมภายในจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์^{[28] [29]}

เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม และแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองพื้นที่เท่าๆ กัน เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลาง มวล หรือจุดศูนย์กลางมวลทางเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปสามเหลี่ยมที่มีความแข็ง (ตัดจากแผ่นบางที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ) ก็เป็นจุดศูนย์กลางมวล เช่นกัน โดยวัตถุจะทรงตัวบนจุดศูนย์กลางมวลในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอได้^[30]จุดศูนย์กลางมวลตัดเส้นมัธยฐานทุกเส้นในอัตราส่วน 2:1 กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดยอดและจุดศูนย์กลางมวลจะเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางมวลและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามเป็นสองเท่า หากเส้นมัธยฐานสะท้อนในเส้นแบ่งครึ่งมุมที่ผ่านจุดยอดเดียวกัน ก็จะได้เส้นสมมาตรเส้นสมมาตรทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือจุดสมมาตรของรูปสามเหลี่ยม^[31]

ผลรวมของการวัดมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิยุคลิดจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ^[32]ข้อเท็จจริงนี้เทียบเท่ากับสมมติฐานขนาน ของยูคลิด ซึ่งทำให้สามารถกำหนดการวัดมุมที่สามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ โดยกำหนดการวัดมุมสองมุม^[33]มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่เป็นคู่เชิงเส้น (และเป็นส่วนเสริม ) ของมุมภายใน การวัดมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของการวัดมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน ซึ่งก็คือทฤษฎีบทมุมภายนอก^[34]ผลรวมของการวัดมุมภายนอกสามมุม (มุมหนึ่งสำหรับแต่ละจุดยอด) ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ คือ 360 องศา และอันที่จริงแล้ว สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ไม่ว่าจะมีด้านกี่ด้านก็ตาม^[35]

ความสัมพันธ์อีกประการหนึ่งระหว่างมุมภายในและรูปสามเหลี่ยมสร้างแนวคิดใหม่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักคือไซน์และโคไซน์รวมถึงฟังก์ชันอื่นๆ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถกำหนดเป็น อัตราส่วนระหว่างด้านสองด้านใดๆ ของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก^[36]ในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถใช้หาขนาดที่ไม่ทราบของด้านหรือมุมภายในได้ วิธีการในการทำเช่นนี้ใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์^[37 ]

มุมสามมุมที่รวมกันได้ 180° สามารถเป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมได้ สามเหลี่ยมจำนวนมากมีมุมเท่ากัน เนื่องจากการระบุมุมของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้กำหนดขนาดของรูปสามเหลี่ยม (รูปสามเหลี่ยมเสื่อมซึ่งจุดยอดเป็นเส้นตรงเดียวกันจะมีมุมภายใน 0° และ 180° การกำหนดว่ารูปร่างดังกล่าวถือเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับข้อตกลง^{[ ต้องการอ้างอิง ]} ) เงื่อนไขสำหรับมุมสามมุม, , และซึ่งแต่ละมุมมีค่าระหว่าง 0° และ 180° ที่จะเป็นมุมของรูปสามเหลี่ยมสามารถระบุได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีมุม, , และมีอยู่ก็ต่อเมื่อ^[38]${\displaystyle อัลฟา}$${\displaystyle \เบต้า}$${\displaystyle \แกมมา}$${\displaystyle อัลฟา}$${\displaystyle \เบต้า}$${\displaystyle \แกมมา}$$${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )= 1.}$$

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันได้ก็ต่อเมื่อมุมทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดเท่ากับมุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายจะมีความยาวที่เป็นสัดส่วนเดียวกัน และคุณสมบัตินี้ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความคล้ายคลึงได้เช่นกัน^[39]

ทฤษฎีบทพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายมีดังนี้:

• ก็ต่อเมื่อมุมภายในคู่หนึ่งของรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดเท่ากัน และอีกคู่หนึ่งก็มีขนาดเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองก็จะคล้ายกัน^[40]
• ก็ต่อเมื่อด้านที่สอดคล้องกันคู่หนึ่งของรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีสัดส่วนเท่ากันกับด้านที่สอดคล้องกันอีกคู่หนึ่ง และมุมที่รวมเข้าด้วยกันมีขนาดเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองจึงมีลักษณะคล้ายกัน^[41] ( มุมที่รวมเข้าด้วยกันสำหรับด้านสองด้านใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมภายในระหว่างสองด้านนั้น)
• ก็ต่อเมื่อคู่ด้านที่สอดคล้องกันสามคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีสัดส่วนเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะคล้ายกัน^[b]

รูป สามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสอดคล้องกันจะมีขนาดและรูปร่างเหมือนกันทุกประการ รูปสามเหลี่ยมที่มีความสอดคล้องกันทุกคู่ก็มีความคล้ายคลึงกันเช่นกัน แต่รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกคู่ก็ไม่ได้มีความสอดคล้องกัน เมื่อกำหนดให้รูปสามเหลี่ยมที่มีความสอดคล้องกันสองรูป มุมภายในที่สอดคล้องกันทุกคู่จะมีขนาดเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันทุกคู่จะมีความยาวเท่ากัน นี่คือความเท่ากันทั้งหมดหกเท่า แต่บ่อยครั้งที่เพียงสามเท่าก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องกันได้^[42]

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอบางประการสำหรับรูปสามเหลี่ยมคู่หนึ่งที่จะสอดคล้องกัน ได้แก่: ^[43]

• สมมติฐานของ SAS: ด้านสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากับด้านสองด้านในอีกรูปสามเหลี่ยม และมุมที่รวมกันจะมีขนาดเท่ากัน
• ASA: มุมภายในสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสองในสามเหลี่ยมจะมีขนาดและความยาวเท่ากันกับมุมภายในอีกมุมหนึ่งตามลำดับ (นี่คือพื้นฐานของการสำรวจโดยใช้การหาสามเหลี่ยม )
• SSS: ด้านแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากับด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง
• AAS: มุมสองมุมและด้านที่สอดคล้องกัน (ที่ไม่รวมอยู่) ในรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดและความยาวเท่ากันกับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปตามลำดับ (บางครั้งเรียกว่าAAcorrSและรวม ASA ไว้ด้านบน)

ในระนาบยุคลิดพื้นที่จะถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ซึ่งมีพื้นที่ 1 มีหลายวิธีในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ วิธีหนึ่งที่เก่าแก่และง่ายที่สุดคือการนำผลคูณครึ่งหนึ่งของความยาวด้านหนึ่ง( ฐาน${\displaystyle ข}$ ) คูณด้วยความสูงที่สอดคล้องกัน⁠ ⁠${\displaystyle เอช}$ : ^[44]$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ข.}$$

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้โดย การ ตัดรูปสามเหลี่ยมและสำเนาที่เหมือนกันออกเป็นชิ้น ๆ และจัดเรียงชิ้นส่วนใหม่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน${\displaystyle ข}$และความสูง${\displaystyle เอช}$

ถ้า ทราบด้านสองด้าน และมุมที่รวมเข้าด้วยกัน ก็สามารถคำนวณความสูงได้${\displaystyle ก}$โดยใช้ตรีโกณมิติดังนั้นพื้นที่ของ${\displaystyle ข}$สามเหลี่ยมคือ :${\displaystyle \แกมมา}$${\displaystyle h=a\sin(\แกมมา)}$$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

สูตรของเฮรอนซึ่งตั้งชื่อตามเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรียเป็นสูตรในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความยาวของด้าน, , . ให้เป็น กึ่งปริมณฑล , ^[45]${\displaystyle ก}$${\displaystyle ข}$${\displaystyle ซี}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$$${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}.}$$

เนื่องจากอัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของรูปร่างในระนาบเดียวกันนั้นได้รับการรักษาไว้โดยการแปลงแอฟฟีนพื้นที่สัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในระนาบแอฟฟีน ใดๆ จึงสามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแนวคิดของระยะทางหรือกำลังสอง ในปริภูมิแอฟฟีนใดๆ (รวมถึงระนาบยูคลิด) สามเหลี่ยมทุกอันที่มีฐานและพื้นที่วางแนว เท่ากัน จะมีจุดยอด (จุดยอดที่สาม) อยู่บนเส้นขนานกับฐาน และพื้นที่ร่วมของจุดยอดจะเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเดียวกันซึ่งด้านตรงข้ามอยู่บนเส้นขนาน แนวทางแอฟฟีนนี้ได้รับการพัฒนาในหนังสือเล่มที่ 1 ของ Euclid's Elements ^[46 ]

เมื่อกำหนดพิกัดอะฟฟีน (เช่นพิกัดคาร์ทีเซียน ) ⁠ ⁠$การแสดงผล$ , ⁠ ⁠$การแสดงผลสไตล์ (x_{B},y_{B})}$ , ⁠ ⁠$การแสดงผลสไตล์ (x_{C},y_{C})}$สำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยม พื้นที่วางแนวสัมพันธ์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเชือกผูกรองเท้า

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_ {C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{ vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2} }(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{เอ }y_{C}),\end{จัดแนว}}}$$

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์อยู่ที่ไหน[ ^47]${\displaystyle |\cdot |}$

ความไม่เท่าเทียมของสามเหลี่ยมระบุว่าผลรวมของความยาวของด้านสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับความยาวของด้านที่สาม^[48]ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นบวกสามค่าจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อความยาวด้านเหล่านั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมของสามเหลี่ยม^[49]ผลรวมของความยาวด้านสองด้านจะเท่ากับความยาวของด้านที่สามได้เฉพาะในกรณีของสามเหลี่ยมเสื่อมซึ่งมีจุดยอดขนานกัน

ต่างจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งอาจยุบตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ได้ จากแรงกดที่จุดใดจุดหนึ่ง^[50]รูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงเนื่องจากการกำหนดความยาวของทั้งสามด้านจะกำหนดมุม^[51]ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนรูปร่าง เว้นแต่ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะงอ ยืดออก หัก หรือข้อต่อของรูปสามเหลี่ยมหัก โดยพื้นฐานแล้ว ด้านทั้งสามด้านจะรับน้ำหนักอีกสองด้าน ในทางตรงกันข้าม รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะขึ้นอยู่กับความแข็งแรงของข้อต่อในแง่ของโครงสร้างมากกว่า

รูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงในแง่ของความแข็งแกร่ง แต่ในขณะที่บรรจุในรูป แบบ การปูกระเบื้องรูปสามเหลี่ยมจะไม่แข็งแรงเท่ากับรูปหกเหลี่ยมภายใต้แรงอัด (ดังนั้นจึงมีรูปแบบหกเหลี่ยมแพร่หลายในธรรมชาติ ) อย่างไรก็ตาม รูปสามเหลี่ยมแบบปูกระเบื้องยังคงมีความแข็งแรงเหนือกว่าสำหรับการยื่นออกซึ่งเป็นสาเหตุที่วิศวกรรมจึงใช้ โครงถักแบบสี่ หน้าตัด^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}

การสร้างรูปสามเหลี่ยมหมายถึงการแบ่งวัตถุที่มีระนาบใดๆ ออกเป็นชุดของรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ในการสร้างรูปสามเหลี่ยมหลายเหลี่ยมรูปหลายเหลี่ยมจะถูกแบ่งย่อยออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูปซึ่งเชื่อมต่อจากขอบถึงขอบ โดยมีคุณสมบัติคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะตรงกับชุดของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมนั้น^[52]ในกรณีของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาที่มีด้าน จะมีรูปสามเหลี่ยมหลายรูปที่ถูกแยกจากกันด้วยเส้นทแยงมุม การสร้างรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดามีความสัมพันธ์กับหูซึ่งเป็นจุดยอดที่เชื่อมต่อด้วยจุดยอดอื่นสองจุด โดยเส้นทแยงมุมระหว่างจุดยอดทั้งสองจุดจะอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดทฤษฎีบทหูสองข้างระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมธรรมดาทุกรูปที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีหูอย่างน้อยสองหู^[53]${\displaystyle น.}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$

วิธีหนึ่งในการระบุตำแหน่งของจุดใน (หรือภายนอก) รูปสามเหลี่ยมคือการวางรูปสามเหลี่ยมในตำแหน่งและทิศทางที่กำหนดในระนาบคาร์ทีเซียนและใช้พิกัดคาร์ทีเซียน แม้ว่าจะสะดวกสำหรับวัตถุประสงค์หลายประการ แต่แนวทางนี้มีข้อเสียคือค่าพิกัดของจุดทั้งหมดขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่กำหนดในระนาบ^[54]

ระบบทั้งสองหลีกเลี่ยงคุณลักษณะดังกล่าว ดังนั้นพิกัดของจุดจึงไม่ได้รับผลกระทบจากการเคลื่อนย้ายสามเหลี่ยม หมุน หรือสะท้อนสามเหลี่ยมเหมือนในกระจก ซึ่งทั้งหมดนี้ทำให้ได้สามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน หรือแม้แต่การปรับขนาดใหม่เป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน: ^[55]

• พิกัดไตรลิเนียร์กำหนดระยะทางสัมพันธ์ของจุดจากด้านต่างๆ โดยที่พิกัดจะระบุว่าอัตราส่วนของระยะทางของจุดจากด้านแรกไปยังระยะทางจากด้านที่สองคือเป็นต้น${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle x:y}$
• พิกัดแบริเซนทริกของแบบฟอร์มจะระบุตำแหน่งของจุดด้วยน้ำหนักสัมพันธ์ซึ่งจะต้องใส่ไว้ที่จุดยอดทั้งสามเพื่อสร้างสมดุลให้กับสามเหลี่ยมซึ่งไม่มีน้ำหนักบนจุดที่กำหนด${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

ตามที่ได้กล่าวไปข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีวงกลมที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม (incircle) เฉพาะตัว ซึ่งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านทั้งสามด้าน สามเหลี่ยมทุกรูปมีวงรีสไตเนอร์ เฉพาะตัว ซึ่งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับจุดกึ่งกลางของด้านทฤษฎีบทของมาร์เดนแสดงวิธีการหาจุดโฟกัสของวงรีนี้ [ ^56]วงรีนี้มีพื้นที่สัมผัสของวงรีใดๆ มากที่สุดกับด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม วงรีแมนดาร์ตของสามเหลี่ยมคือวงรีที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมสัมผัสกับด้านของรูปสามเหลี่ยมที่จุดสัมผัสของวงกลมนอกของรูปสามเหลี่ยม สำหรับวงรีใดๆ ที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมให้จุดโฟกัสเป็นและจากนั้น: ^[57]${\displaystyle เอบีซี}$${\displaystyle พี}$${\displaystyle คิว}$$${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\ โอเวอร์ไลน์ {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\ โอเวอร์ไลน์ {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

จากจุดภายในในสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดที่ใกล้ที่สุดทั้งสามด้านทำหน้าที่เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมแป้นเหยียบของจุดนั้น หากจุดภายในคือจุดศูนย์กลางวงกลมของสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดยอดของสามเหลี่ยมแป้นเหยียบคือจุดกึ่งกลางของด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิง ดังนั้นสามเหลี่ยมแป้นเหยียบจึงเรียกว่าสามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางหรือสามเหลี่ยมกลาง สามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางแบ่งสามเหลี่ยมอ้างอิงออกเป็นสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันสี่รูปซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยมอ้างอิง^[58]

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดยอดอยู่ที่จุดสัมผัสสามจุดของด้านของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงกับวงกลมรอบนอก ของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิง ^[59]รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดยอดอยู่ที่จุดสัมผัสของวงกลมรอบนอกของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงกับด้านของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิง (ไม่ขยายออก) ^[60]

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกอันจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนบใน 3 รูป (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในที่จุดยอดทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะอยู่บนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปจึงอยู่บนด้านเดียวกัน ดังนั้น ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะตรงกับส่วนหนึ่งของด้านของรูปสามเหลี่ยม) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปจะตรงกันและมีจุดยอดอยู่ที่มุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนบใน 2 รูปเท่านั้นรูปสามเหลี่ยมมุมป้านจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนบใน 1 รูปเท่านั้น โดยมีด้านหนึ่งตรงกับส่วนหนึ่งของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยม ภายในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด ด้านร่วมที่ยาวกว่าจะสัมพันธ์กับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนบในที่เล็กกว่า หากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกมีด้านที่มีความยาวหนึ่งด้านและรูปสามเหลี่ยมมีด้านที่มีความยาวหนึ่งด้านโดยที่ด้านใดด้านหนึ่งตรงกับด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น, , จากด้าน, และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กันตาม^[61]อัตราส่วนที่เป็นไปได้มากที่สุดของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกต่อพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ 1/2 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ, , และความสูงของรูปสามเหลี่ยมจากฐานของความยาวเท่ากับอัตราส่วนที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกรูปหนึ่งต่อด้านของอีกรูปหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปป้านรูปเดียวกันคือ. ^[62]กรณีสุดขั้วทั้งสองนี้เกิดขึ้นกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}${\displaystyle q_{ก}}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle q_{ก}}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle h_{ก}}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle ที}$$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$${\displaystyle a^{2}=2T}$${\displaystyle q=ก/2}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3}$

รูปหกเหลี่ยมเลอมอยน์เป็นรูปหกเหลี่ยมแบบวงกลมที่มีจุดยอดที่กำหนดโดยจุดตัดด้านทั้งหกของรูปสามเหลี่ยมกับเส้นตรงสามเส้นที่ขนานกับด้านทั้งสองและผ่านจุดสมมาตร ของรูปหกเหลี่ยมเลอมอยน์ ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบเรียบง่ายหรือรูปแบบที่ตัดกันเองรูปหกเหลี่ยมเลอมอยน์ก็จะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมโดยมีจุดยอดสองจุดในแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปที่มีพื้นที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ไม่เกิน เท่ากับ ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่านั้น ^[63 ]${\displaystyle ที}$${\displaystyle 2T}$

รูปสามเหลี่ยมสัมผัสของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิง (นอกเหนือจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านอยู่บนเส้นสัมผัสกับวงกลมล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมอ้างอิงที่จุดยอด^[64]

ดังที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีวงกลมล้อมรอบที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งก็คือวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามจุด โดยที่จุดศูนย์กลางของวงกลมดังกล่าวคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ สามเหลี่ยมทุกรูปยังมีวงกลมล้อมรอบสไตเนอร์ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ในบรรดารูปวงรีทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม วงกลมล้อมรอบนี้มีพื้นที่น้อยที่สุด^[65]

ไฮเพอร์โบลา ของคีเพิร์ต เป็น กรวยเฉพาะตัวที่ผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม เซนทรอยด์ และจุดศูนย์กลางล้อมรอบสามเหลี่ยม^[66]

จากรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมนูน ที่กำหนด รูปหนึ่งที่มีพื้นที่สูงสุดสามารถพบได้ในเวลาเชิงเส้น จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวสามารถเลือกได้จากจุดยอดสามจุดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด^[67]

รูปสามเหลี่ยมวงกลมคือรูปสามเหลี่ยมที่มีขอบ โค้งเป็น วงกลม ขอบของรูปสามเหลี่ยมวงกลมอาจนูน (โค้งออกด้านนอก) หรือเว้า (โค้งเข้าด้านใน) ^[c]จุดตัดของแผ่นดิสก์ สามแผ่น จะสร้างรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีด้านทั้งหมดนูน ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่มีขอบนูนสามขอบคือรูปสามเหลี่ยมเรอเลอซ์ซึ่งสามารถสร้างได้โดยตัดวงกลมสามวงที่มีขนาดเท่ากัน การสร้างสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องใช้ไม้บรรทัด ตามทฤษฎีบทของโมร์–มาเชอโรนีหรืออีกวิธีหนึ่งคือการสร้างด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าให้มน^[68]

กรณีพิเศษของรูปสามเหลี่ยมวงกลมเว้าสามารถเห็นได้ในสามเหลี่ยมเทียม [ ^69]สามเหลี่ยมเทียมคือเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ของระนาบที่อยู่ระหว่างบริเวณนูนที่สัมผัสกันสามแห่ง ด้านเหล่านี้เป็นเส้นโค้งเรียบสามเส้นที่เชื่อมจุดปลายของด้านเหล่านี้เรียกว่า จุดแหลมสามเหลี่ยมเทียมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเทียมหลายอันโดยมีขอบเขตของดิสก์นูนและเส้นไบแทนเจนต์ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการแบ่งสามเหลี่ยมเทียม สำหรับดิสก์ในสามเหลี่ยมเทียม การแบ่งจะให้สามเหลี่ยมเทียมและเส้นไบแทนเจนต์^[70]เปลือกนูนของสามเหลี่ยมเทียมใดๆ คือสามเหลี่ยม^[71]${\displaystyle น.}$${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle 3n-3}$

รูปสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นระนาบคือรูปสามเหลี่ยมที่ไม่รวมอยู่ในปริภูมิยุคลิดกล่าวโดยคร่าวๆ ก็คือปริภูมิแบนราบ ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมอาจพบได้ในปริภูมิหลายปริภูมิ เช่น ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตทรงกลมรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์ โบลิก และสามารถหาได้โดยการวาดบนพื้นผิวโค้งลบ เช่นพื้นผิวอานม้าในทำนองเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมทรงกลมและสามารถหาได้โดยการวาดบนพื้นผิวโค้งบวก เช่นทรงกลม^[72 ]

รูปสามเหลี่ยมในทั้งสองปริภูมิมีสมบัติที่แตกต่างจากรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิยูคลิด ตัวอย่างเช่น ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิยูคลิดจะรวมกันได้ 180° เสมอ อย่างไรก็ตาม ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกจะน้อยกว่า 180° และสำหรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมใดๆ ผลรวมจะมากกว่า 180° ^[72]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะวาดรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม โดยที่ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมเท่ากับ 90° ซึ่งรวมกันได้ 270° ตามทฤษฎีบทของ Girardผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมคือโดยที่เป็นเศษส่วนของพื้นที่ทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยรูปสามเหลี่ยม^{[73] [74]}${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$${\displaystyle ฉ}$

ในช่องว่างทั่วไปกว่านี้ มีทฤษฎีบทการเปรียบเทียบที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมในช่องว่างกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันในช่องว่างจำลอง เช่น ช่องว่างไฮเปอร์โบลิกหรือช่องว่างวงรี^[75]ตัวอย่างเช่นช่องว่าง CAT(k)ถูกกำหนดลักษณะโดยการเปรียบเทียบดังกล่าว^[76]

รูปร่าง แฟรกทัลที่ใช้พื้นฐานมาจากสามเหลี่ยม ได้แก่ปะเก็น Sierpińskiและเกล็ดหิมะ Koch ^[77]

วิกิ มีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับสามเหลี่ยม

ค้นหาสามเหลี่ยมใน วิกิพจนานุกรม พจนานุกรมเสรี

• Ivanov, AB (2001) [1994]. "สามเหลี่ยม". สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press .
• คลาร์ก คิมเบอร์ลิง: สารานุกรมศูนย์กลางสามเหลี่ยม รวบรวมจุดที่น่าสนใจประมาณ 5,200 จุดที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม