อองรี เลอเบสก์
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
อองรี เลอเบสก์
เกิด( 28 มิถุนายน 2418 )28 มิถุนายน 2418
โบเวส์ , อัวส์ , ฝรั่งเศส
เสียชีวิตแล้ว26 กรกฎาคม 2484 (26 ก.ค. 2484)(อายุ 66 ปี)
ปารีสประเทศฝรั่งเศส
สัญชาติภาษาฝรั่งเศส
โรงเรียนเก่าÉcole Normale Supérieure
มหาวิทยาลัยปารีส
เป็นที่รู้จักสำหรับการบูรณาการเลอเบสก์
การวัดเลอเบสก์
รางวัลสมาชิกราชสมาคม[1]
รางวัล Ponceletประจำปี 1914 [2]
อาชีพทางวิทยาศาสตร์
ทุ่งนาคณิตศาสตร์
สถาบันมหาวิทยาลัยแรนส์
มหาวิทยาลัยปัวตีเย
มหาวิทยาลัยปารีส
วิทยาลัยเดอฟรองซ์
ที่ปรึกษาปริญญาเอกเอมีล โบเรล
นักศึกษาปริญญาเอกพอล มอนเตล ซิก
มุนท์ ยานิสซิวสกี้
จอร์จ เดอ รัม

Henri Léon Lebesgue ForMemRS [1] ( ฝรั่งเศส: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 มิถุนายน 1875 – 26 กรกฎาคม 1941) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่รู้จักจากทฤษฎีอินทิกรัลซึ่งเป็นการสรุปแนวคิดอินทิกรัลในศตวรรษที่ 17 ซึ่งเป็นการรวมพื้นที่ระหว่างแกนและเส้นโค้งของฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับแกนนั้น ทฤษฎีของเขาได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในวิทยานิพนธ์เรื่องIntégrale, longueur, aire ("อินทิกรัล ความยาว พื้นที่") ที่มหาวิทยาลัยน็องซีในช่วงปี 1902 [3] [4]

ชีวิตส่วนตัว

อองรี เลอเบกเกิดเมื่อวันที่ 28 มิถุนายน ค.ศ. 1875 ในเมืองโบเวส์รัฐอวซพ่อของเลอเบกเป็นช่างเรียงพิมพ์ส่วนแม่เป็นครู โรงเรียน พ่อแม่ของเขาได้รวบรวมห้องสมุดที่บ้านเพื่อให้อองรีสามารถใช้งานได้ พ่อของเขาเสียชีวิตด้วยวัณโรคเมื่อเลอเบกยังเด็กมาก และแม่ของเขาต้องเลี้ยงดูเขาเพียงลำพัง ขณะที่เขาแสดงพรสวรรค์ด้านคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นในโรงเรียนประถมศึกษา ครูคนหนึ่งของเขาได้จัดหาการสนับสนุนจากชุมชนเพื่อให้เขาศึกษาต่อที่Collège de Beauvaisจากนั้นจึงไปเรียนที่Lycée Saint-LouisและLycée Louis-le-Grandในปารีส[5 ]

ในปี 1894 Lebesgue ได้รับการยอมรับที่École Normale Supérieureซึ่งเขาได้มุ่งเน้นพลังงานของเขาไปที่การศึกษาคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง สำเร็จการศึกษาในปี 1897 หลังจากสำเร็จการศึกษา เขายังคงอยู่ที่École Normale Supérieure เป็นเวลาสองปี โดยทำงานในห้องสมุด ซึ่งเขาได้ตระหนักถึงการวิจัยเกี่ยวกับความไม่ต่อเนื่องที่ทำในขณะนั้นโดยRené-Louis Baireซึ่งเพิ่งสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียน ในเวลาเดียวกัน เขาเริ่มการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่Sorbonneซึ่งเขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับงานของÉmile Borel เกี่ยวกับ ทฤษฎีการวัด เบื้องต้น และงานของCamille Jordan เกี่ยวกับ การวัดของ Jordanในปี 1899 เขาได้ย้ายไปดำรงตำแหน่งอาจารย์ที่Lycée Central ในเมือง Nancyในขณะที่ยังคงทำงานในระดับปริญญาเอกของเขา ในปี 1902 เขาได้รับปริญญาเอกจาก Sorbonne ด้วยวิทยานิพนธ์สำคัญเรื่อง "Integral, Length, Area" ซึ่งส่งให้กับ Borel ซึ่งอายุมากกว่าสี่ปี เป็นที่ปรึกษา[6]

เลอเบกแต่งงานกับน้องสาวของเพื่อนนักเรียนคนหนึ่ง และเขากับภรรยามีลูกด้วยกัน 2 คน คือ ซูซานน์และฌัก

หลังจากเผยแพร่วิทยานิพนธ์ของเขาแล้ว ในปี 1902 Lebesgue ได้รับการเสนอตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย Rennesโดยเป็นอาจารย์ที่นั่นจนถึงปี 1906 เมื่อเขาย้ายไปที่คณะวิทยาศาสตร์ของมหาวิทยาลัยPoitiersในปี 1910 Lebesgue ย้ายไปที่ Sorbonne ในฐานะmaître de conférencesและได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ตั้งแต่ปี 1919 ในปี 1921 เขาออกจาก Sorbonne เพื่อเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่ Collège de Franceซึ่งเขาได้บรรยายและทำวิจัยตลอดชีวิตที่เหลือของเขา[7]ในปี 1922 เขาได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของAcadémie des Sciences Henri Lebesgue เสียชีวิตเมื่อวันที่ 26 กรกฎาคม 1941 ในปารีส[6]

อาชีพนักคณิตศาสตร์

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions ดั้งเดิม , 1904

บทความฉบับแรกของเลอเบสก์ตีพิมพ์ในปี 1898 และมีชื่อว่า "Sur l'approximation des fonctions" ซึ่งกล่าวถึงทฤษฎีบทของไวเออร์สตราส เกี่ยวกับการประมาณค่าฟังก์ชันต่อเนื่องด้วยพหุนาม ระหว่างเดือนมีนาคม 1899 ถึงเดือนเมษายน 1901 เลอเบสก์ได้ตีพิมพ์บันทึก 6 ฉบับใน Comptes Rendusบันทึก ฉบับแรกซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาอินทิกรั ลเลอเบสก์ของเขา กล่าวถึงการขยายทฤษฎีบทของแบร์ไปยังฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว บันทึก 5 ฉบับถัดไปกล่าวถึงพื้นผิวที่ใช้ได้กับระนาบ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เบ้ อินทิ กรัลพื้นผิวของพื้นที่ต่ำสุดที่มีขอบเขตที่กำหนด และบันทึกสุดท้ายให้คำจำกัดความของอินทิกรัลเลอเบสก์สำหรับฟังก์ชัน f(x) บางฟังก์ชัน วิทยานิพนธ์สำคัญของ Lebesgue เรื่องIntégrale, longueur, aireซึ่งมีเนื้อหาครบถ้วนเกี่ยวกับงานนี้ ปรากฏอยู่ใน Annali di Matematica ในปี 1902 บทแรกกล่าวถึงทฤษฎีการวัด (ดูการวัดของ Borel ) ในบทที่สอง เขาให้คำจำกัดความของปริพันธ์ทั้งในเชิงเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์ บทต่อไปจะขยาย ความบันทึกของ Comptes Rendusที่เกี่ยวข้องกับความยาว พื้นที่ และพื้นผิวที่เกี่ยวข้อง บทสุดท้ายจะกล่าวถึงปัญหาของ Plateau เป็นหลัก วิทยานิพนธ์นี้ถือเป็นวิทยานิพนธ์ที่ดีที่สุดชิ้นหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์เคยเขียน[1]

บทบรรยายของเขาตั้งแต่ปี 1902 ถึง 1903 ถูกรวบรวมไว้ใน " Borel tract" Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitivesปัญหาของอินทิเกรตที่ถือเป็นการค้นหาฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นประเด็นสำคัญของหนังสือเล่มนี้ Lebesgue นำเสนอปัญหาของอินทิเกรตในบริบททางประวัติศาสตร์ โดยกล่าวถึงAugustin-Louis Cauchy , Peter Gustav Lejeune DirichletและBernhard Riemann Lebesgue นำเสนอเงื่อนไขหกประการที่พึงประสงค์ว่าอินทิเกรตจะต้องเป็นไปตาม ซึ่งเงื่อนไขสุดท้ายคือ "หากลำดับ f n (x) เพิ่มขึ้นจนถึงลิมิต f (x) อินทิเกรตของ f n (x) จะโน้มไปทางอินทิเกรตของ f (x)" Lebesgue แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขของเขาทำให้เกิดทฤษฎีของการวัดและฟังก์ชันที่วัดได้รวมถึงคำจำกัดความเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิตของอินทิเกรต

เขาหันมาสนใจ ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติด้วยเอกสารของเขาในปี 1903 เรื่อง "Sur les séries trigonométriques" เขาได้เสนอทฤษฎีบทสำคัญสามประการในงานนี้ ได้แก่ ว่าอนุกรมตรีโกณมิติที่แสดงฟังก์ชันที่มีขอบเขตคืออนุกรมฟูริเยร์ ว่า สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ ตัว ที่ n มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ( เล็มมาของรีมันน์–เลอเบก ) และว่าอนุกรมฟูริเยร์สามารถอินทิเกรตได้ทีละเทอม ในปี 1904-1905 เลอเบกได้บรรยายอีกครั้งที่Collège de Franceในครั้งนี้เกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิติ และเขาได้ตีพิมพ์บทบรรยายของเขาใน "เอกสาร Borel" อีกฉบับหนึ่ง ในเอกสารนี้ เขาได้กล่าวถึงหัวข้อนี้ในบริบททางประวัติศาสตร์อีกครั้ง เขาอธิบายเกี่ยวกับอนุกรมฟูริเยร์ ทฤษฎีของแคนเตอร์-รีมันน์ อินทิกรัลของปัวซองและปัญหาของดีริชเลต์

ในเอกสารปี 1910 เรื่อง "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" กล่าวถึงอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันที่ตอบสนองเงื่อนไขลิปชิตซ์โดยประเมินลำดับขนาดของเทอมที่เหลือ นอกจากนี้ เขายังพิสูจน์ว่าเล็มมาของรีมันน์–เลอเบกเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง และให้แนวทางบางส่วนสำหรับค่าคงที่ของเลอเบก

Lebesgue เคยเขียนว่า "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu" ("ลดเหลือเพียงทฤษฎีทั่วไป คณิตศาสตร์จะเป็นรูปแบบที่สวยงามโดยไม่มีเนื้อหา")

ในการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีการวัดและสาขาที่เกี่ยวข้องของคณิตศาสตร์อินทิกรัลเลอเบสก์–สตีลต์เจสจะทำให้การอินทิกรัลของรีมันน์–สตีลต์เจสและเลอเบสก์เป็นแบบทั่วไป โดยรักษาข้อดีหลายประการของการอินทิกรัลเลอเบสก์ไว้ในกรอบทฤษฎีการวัดทั่วไปยิ่งขึ้น

ในช่วงอาชีพการงานของเขา เลอเบกยังได้บุกเบิกในอาณาจักรของการวิเคราะห์เชิงซ้อนและโทโพโลยีเขายังมีความเห็นไม่ลงรอยกับเอมีล โบเรลเกี่ยวกับอินทิกรัลของใครที่มีลักษณะทั่วไปมากกว่า[8] [9] [10] [11]อย่างไรก็ตาม การโจมตีเล็กน้อยเหล่านี้ดูเล็กน้อยเมื่อเทียบกับผลงานของเขาในการวิเคราะห์จริงผลงานของเขาในสาขานี้ส่งผลกระทบอย่างมากต่อรูปแบบของสาขาในปัจจุบัน และวิธีการของเขาได้กลายมาเป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์สมัยใหม่ สิ่งเหล่านี้มีความหมายในทางปฏิบัติที่สำคัญสำหรับฟิสิกส์พื้นฐานซึ่งเลอเบกจะไม่รู้เลย ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง

ทฤษฎีการบูรณาการของเลอเบสก์

การประมาณค่าอินทิกรัลรีมันน์โดยใช้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

อินทิเกรตเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับแนวคิดที่ไม่เป็นทางการของการหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันทฤษฎีอินทิเกรตแรกได้รับการพัฒนาโดยอาร์คิมิดีสในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาลโดยใช้วิธีการหาค่ากำลังสองแต่สามารถใช้ได้ในสถานการณ์จำกัดที่มีความสมมาตรทางเรขาคณิตในระดับสูงเท่านั้น ในศตวรรษที่ 17 ไอแซก นิวตันและกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซค้นพบแนวคิดที่ว่าอินทิเกรตมีความเกี่ยวข้องโดยเนื้อแท้กับการหาอนุพันธ์โดยหลังเป็นวิธีการวัดว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใดในจุดใดจุดหนึ่งบนกราฟ ความสัมพันธ์ที่น่าประหลาดใจระหว่างการดำเนินการทางเรขาคณิตหลักสองประการในแคลคูลัส ซึ่งก็คือการหาอนุพันธ์และอินทิเกรต ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ทฤษฎีบทนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถคำนวณอินทิเกรตกลุ่มกว้างๆ ได้เป็นครั้งแรก อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์รู้สึกว่า แคลคูลัสอินทิเกรตของนิวตันและไลบ์นิซไม่มีรากฐานที่เข้มงวด ซึ่งต่างจากวิธีของอาร์คิมิดีสซึ่งมีพื้นฐานมาจากเรขาคณิตแบบยูคลิด

แนวคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับลิมิตและแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดเกี่ยวกับการลู่เข้าถือเป็นหัวใจสำคัญของคำจำกัดความของอินทิเกรตสมัยใหม่ ในศตวรรษที่ 19 คาร์ล ไวเออร์สตราสได้พัฒนาคำจำกัดความเอปซิลอน-เดลต้าที่เข้มงวดของลิมิต ซึ่งยังคงได้รับการยอมรับและใช้โดยนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน เขาสร้างผลงานก่อนหน้านี้แต่ไม่เข้มงวดของออกัสติน เคาชีซึ่งใช้แนวคิดที่ไม่เป็นมาตรฐานของจำนวนที่เล็กมาก แต่ปัจจุบันถูกปฏิเสธในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน ก่อนที่เคาชีจะมาถึงเบอร์นาร์ด โบลซาโนได้วางรากฐานพื้นฐานของคำจำกัดความเอปซิลอน-เดลต้า ดูข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่นี่

Bernhard Riemannได้ดำเนินการตามนี้โดยทำให้สิ่งที่เรียกกันในปัจจุบันว่าอินทิกรัลรีมัน น์เป็นทางการ ในการกำหนดอินทิกรัลนี้ เราต้องเติมพื้นที่ใต้กราฟด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่เล็กลงเรื่อยๆ และกำหนดขอบเขตของผลรวมพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแต่ละขั้นตอน อย่างไรก็ตาม สำหรับบางฟังก์ชัน พื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้จะไม่เข้าใกล้ตัวเลขเดียว ดังนั้น จึงไม่มีอินทิกรัลรีมันน์

เลอเบสก์คิดค้นวิธีการอินทิกรัลใหม่เพื่อแก้ปัญหานี้ แทนที่จะใช้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเน้นที่โดเมนของฟังก์ชัน เลอเบสก์พิจารณาโคโดเมนของฟังก์ชันสำหรับหน่วยพื้นฐานของเขาของพื้นที่ แนวคิดของเลอเบสก์คือการกำหนดขนาดสำหรับทั้งเซตและฟังก์ชันบนเซตเหล่านั้นก่อน จากนั้นเขาจึงดำเนินการสร้างอินทิกรัลสำหรับสิ่งที่เขาเรียกว่าฟังก์ชันง่าย ๆซึ่งเป็นฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งรับ ค่าจำนวน จำกัด เท่านั้น จากนั้นเขาจึงกำหนดให้เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของอินทิกรัลทั้งหมดของฟังก์ชันง่าย ๆ ที่เล็กกว่าฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา

การอินทิเกรตเลอเบสก์มีคุณสมบัติคือฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงที่มีขอบเขตด้วยอินทิกรัลรีมันน์จะมีอินทิกรัลเลอเบสก์ด้วยเช่นกัน และสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้ อินทิกรัลทั้งสองตัวจะสอดคล้องกัน นอกจากนี้ ฟังก์ชันที่มีขอบเขตทุกฟังก์ชันในช่วงที่มีขอบเขตปิดจะมีอินทิกรัลเลอเบสก์ และยังมีฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลเลอเบสก์หลายฟังก์ชันที่ไม่มีอินทิกรัลรีมันน์

เป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนาอินทิเกรตเลอเบสก์ เลอเบสก์ได้คิดค้นแนวคิดของการวัดซึ่งขยายแนวคิดของความยาวจากช่วงไปจนถึงชุดขนาดใหญ่ที่เรียกว่าชุดที่วัดได้ (ดังนั้นจะพูดได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นว่าฟังก์ชันง่าย ๆคือฟังก์ชันที่รับค่าจำนวนจำกัด และแต่ละค่าจะถูกรับจากชุดที่วัดได้) เทคนิคของเลอเบสก์ในการเปลี่ยนการวัดเป็นอินทิกรัลสามารถนำไปใช้กับสถานการณ์อื่น ๆ ได้มากมาย นำไปสู่สาขาทฤษฎีการวัดสมัยใหม่

อินทิกรัลเลอเบสก์มีข้อบกพร่องในแง่มุมหนึ่ง อินทิกรัลรีมันน์สามารถสรุปผลเป็นอินทิกรัลรีมันน์ไม่เหมาะสมเพื่อวัดฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความไม่ใช่ช่วงปิด อินทิกรัลเลอเบสก์จะรวมฟังก์ชันเหล่านี้หลายฟังก์ชัน (โดยให้คำตอบเดียวกันเสมอเมื่อทำ) แต่ไม่ใช่ทั้งหมด สำหรับฟังก์ชันบนเส้นจริง อินทิกรัลเฮนสต็อคเป็นแนวคิดทั่วไปของอินทิกรัล (โดยอิงตามทฤษฎีของรีมันน์มากกว่าของเลอเบสก์) ซึ่งรวมอินทิกรัลเลอเบสก์และอินทิกรัลรีมันน์ไม่เหมาะสมไว้ด้วยกัน อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลเฮนสต็อคขึ้นอยู่กับคุณลักษณะการจัดลำดับเฉพาะของเส้นจริงดังนั้นจึงไม่สามารถสรุปผลเป็นพื้นที่ทั่วไปได้ (เช่นท่อร่วม ) ในขณะที่อินทิกรัลเลอเบสก์ขยายไปยังพื้นที่ดังกล่าวได้อย่างเป็นธรรมชาติ

นัยยะสำหรับกลศาสตร์สถิติ

ในปี 1947 Norbert Wienerอ้างว่าอินทิกรัลของเลอเบสก์มีนัยสำคัญที่คาดไม่ถึงในการสร้างความถูกต้องของ งานของ วิลลาร์ด กิบบ์สเกี่ยวกับรากฐานของกลศาสตร์สถิติ[12]แนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยและการวัด มีความจำเป็นอย่างเร่งด่วนในการให้การพิสูจน์สมมติฐาน เออร์โกดิกของกิบบ์สอย่างเข้มงวด[ 13]

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ abc Burkill, JC (1944). "Henri Lebesgue. 1875-1941". Obituary Notices of Fellows of the Royal Society . 4 (13): 483–490. doi :10.1098/rsbm.1944.0001. JSTOR  768841. S2CID  122854745.
  2. ^ "รางวัลที่มอบโดย Paris Academy of Sciences สำหรับปี 1914" Nature . 94 (2358): 518–519. 7 มกราคม 1915. doi : 10.1038/094518a0 .
  3. ^ Henri Lebesgue ที่โครงการลำดับวงศ์ตระกูลคณิตศาสตร์
  4. ↑ โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; Robertson, Edmund F. , "Henri Lebesgue", MacTutor History of Mathematics Archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์
  5. ^ ฮอว์คิง, สตีเฟน ดับเบิลยู. (2005). พระเจ้าทรงสร้างจำนวนเต็ม: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เปลี่ยนแปลงประวัติศาสตร์ . Running Press. หน้า 1041–87 ISBN 978-0-7624-1922-7-
  6. ^ ab McElroy, Tucker (2005). A to Z of mathematicians. Infobase Publishing. หน้า 164. ISBN 978-0-8160-5338-4-
  7. ^ Perrin, Louis (2004). "Henri Lebesgue: ผู้พลิกโฉมการวิเคราะห์สมัยใหม่". ใน Le Lionnais, François (ed.). Great Currents of Mathematical Thought . Vol. 1 (2nd ed.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49578-1-
  8. ^ Pesin, Ivan N. (2014). Birnbaum, ZW; Lukacs, E. (eds.). Classical and Modern Integration Theories. Academic Press . หน้า 94. ISBN 9781483268699คำยืนยันของ Borel ที่ว่าอินทิกรัลของเขามีลักษณะทั่วไปมากกว่าอินทิกรัลของ Lebesgue เป็นสาเหตุของการโต้แย้งระหว่าง Borel และ Lebesgue ในหน้าAnnales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)
  9. ↑ เลอเบสก์, อองรี (1918) "Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 35 : 191–250. ดอย : 10.24033/ asens.707 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 16-09-2552
  10. ↑ บอเรล, เอมิล (1919) "L'intégration des fonctions non bornées" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 36 : 71–92. ดอย : 10.24033/ asens.713 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2014-08-05
  11. ↑ เลอเบสก์, อองรี (1920) "คำจำกัดความที่ไม่ชัดเจนเนื่องจาก à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF) Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 37 : 255–257. ดอย : 10.24033/ asens.725 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 16-09-2552
  12. ^ Weiner, N., ไซเบอร์เนติกส์: หรือการควบคุมและการสื่อสารในสัตว์และเครื่องจักรหน้า 47-56
  13. ^ Weiner, N., อินทิกรัลฟูริเยร์และการประยุกต์ใช้บางประการ
  • สื่อที่เกี่ยวข้องกับอองรี-เลยง เลอเบสก์ จากวิกิมีเดียคอมมอนส์
  • Henri Léon Lebesgue (28 มิถุนายน พ.ศ. 2418 [แรนส์] - 26 กรกฎาคม พ.ศ. 2484 [ปารีส]) (ในภาษาฝรั่งเศส)
ดึงข้อมูลจาก "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=อองรี เลอเบสก์&oldid=1253122680"