จุดเปลี่ยน

จุดที่ความโค้งของเส้นโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย

ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จุดเปลี่ยนรูปจุดเปลี่ยนรูปงอหรือเปลี่ยนรูป (ไม่ค่อยเรียกว่าเปลี่ยนรูป ) คือจุดบนเส้นโค้งระนาบเรียบที่ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีของกราฟของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน รูป คือจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนจากเว้า (เว้าลง) เป็นนูน (เว้าขึ้น) หรือในทางกลับกัน

สำหรับกราฟของฟังก์ชัน $f$ ที่มีคลาสการหาอนุพันธ์ $C2$ (อนุพันธ์อันดับแรก $f$ $'$ และอนุพันธ์อันดับสอง $f''$ มีอยู่และต่อเนื่อง) เงื่อนไข $f'' = 0$ สามารถใช้หาจุดเปลี่ยนรูปได้เช่นกัน เนื่องจาก ต้องผ่าน จุด $f'' = 0 เพื่อเปลี่ยน$ $f''$ จากค่าบวก (เว้าขึ้น) เป็นค่าลบ (เว้าลง) หรือในทางกลับกัน เนื่องจาก $f''$ ต่อเนื่อง จุดเปลี่ยนรูปของเส้นโค้งคือเมื่อ $f'' = 0$ และเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดนั้น (จากบวกเป็นลบหรือจากลบเป็นบวก) ^[1]จุดที่อนุพันธ์อันดับสองหายไปแต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายบางครั้งเรียกว่าจุดของการแกว่งหรือจุดการแกว่ง

ในเรขาคณิตพีชคณิต จุดเปลี่ยนทิศทางจะถูกกำหนดโดยทั่วไปมากกว่าเล็กน้อย โดยเป็นจุดปกติที่เส้นสัมผัสบรรจบกับเส้นโค้งอย่างน้อยลำดับ 3 และจุดคลื่นหรือไฮเปอร์เฟล็กซ์จะถูกกำหนดเป็นจุดที่เส้นสัมผัสบรรจบกับเส้นโค้งอย่างน้อยลำดับ 4

คำนิยาม

จุดเปลี่ยนในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือจุดของเส้นโค้งที่ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย^[2]^[3]

ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะมีจุดเปลี่ยนรูปอยู่ที่ $(x, f (x))$ ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ลำดับแรก $f'$ มีค่าสุดขั้ว ที่แยกจากกัน ที่ $x$ (ซึ่งไม่เหมือนกับการบอกว่า $f$ มีค่าสุดขั้ว) นั่นคือ ในละแวกใกล้เคียงบางจุด $x$ คือจุดเดียวเท่านั้นที่ $f'$ มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด (ในพื้นที่) หากค่าสุดขั้ว ทั้งหมด ของ $f'$ แยกจากกันจุดเปลี่ยนรูปจะเป็นจุดบนกราฟของ $f$ ที่เส้นสัมผัสตัดกับเส้นโค้ง

จุดเปลี่ยนผ่านที่ลดลงคือจุดเปลี่ยนผ่านที่อนุพันธ์มีค่าเป็นลบทั้งสองด้านของจุด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดเปลี่ยนผ่านที่ใกล้เคียงกับที่ฟังก์ชันกำลังลดลง จุดเปลี่ยนผ่านที่เพิ่มขึ้นคือจุดที่อนุพันธ์มีค่าเป็นบวกทั้งสองด้านของจุด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดเปลี่ยนผ่านที่ใกล้เคียงกับที่ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น

สำหรับเส้นโค้งเรียบที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริกจุดจะเป็นจุดเปลี่ยนรูปก็ต่อเมื่อความโค้งที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบหรือจากลบเป็นบวก นั่นคือเปลี่ยน เครื่องหมาย

สำหรับเส้นโค้งเรียบซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ได้สองครั้ง จุดเปลี่ยนการเปลี่ยนแปลงคือจุดบนกราฟซึ่งอนุพันธ์อันดับสองมีศูนย์แยกตัวและมีเครื่องหมายเปลี่ยน

ในเรขาคณิตพีชคณิตจุดที่ไม่เอกพจน์ของเส้นโค้งพีชคณิตจะเป็นจุดเปลี่ยนรูปก็ต่อเมื่อจำนวนจุดตัดของเส้นสัมผัสและเส้นโค้ง (ที่จุดสัมผัส) มากกว่า 2 แรงจูงใจหลักของคำจำกัดความที่แตกต่างนี้ก็คือ มิฉะนั้น เซตของจุดเปลี่ยนรูปของเส้นโค้งจะไม่ใช่เซตพีชคณิต ในความเป็นจริง เซตของจุดเปลี่ยนรูปของเส้นโค้งพีชคณิตระนาบคือ จุดที่ไม่เอกพจน์ซึ่งเป็นศูนย์ของตัวกำหนดเฮสเซียนของความสมบูรณ์เชิงโปรเจกทีฟของเส้นโค้งนั้น

กราฟของ $f (x) = sin(2 x)$ จาก − $π$ /4 ถึง 5 $π$ /4 อนุพันธ์ลำดับ ที่สอง คือ $f″ (x) = -4sin(2 x ) และเครื่องหมายของอนุพันธ์ลำดับที่สองคือ f″ ( x ) = -4sin(2 x)$ ดังนั้นเครื่องหมายของอนุพันธ์ลำดับที่สองจึงเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของ $f$ แทนเจนต์จะเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งนูน (อยู่เหนือ แทนเจนต์ของมันเอง) จะเป็นสีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้า (อยู่ใต้แทนเจนต์ของมัน) และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนรูป: 0, $π$ /2 และ $π$

เงื่อนไข

เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ

สำหรับฟังก์ชันfถ้าอนุพันธ์ลำดับที่สอง $f″ (x)$ อยู่ที่ $x 0$ และ $x 0$ เป็นจุดเปลี่ยนรูปสำหรับ $f$ แล้ว $f″ (x 0) = 0$ แต่เงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอสำหรับการมีจุดเปลี่ยนรูป แม้ว่าจะมีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ก็ตาม ในกรณีนี้ ยังต้องใช้อนุพันธ์ลำดับต่ำสุด (เหนืออนุพันธ์ลำดับที่สอง) ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีลำดับคี่ (ลำดับที่สาม ห้า เป็นต้น) ด้วย ถ้าอนุพันธ์ลำดับต่ำสุดที่ไม่ใช่ศูนย์มีลำดับคู่ จุดนั้นจะไม่ใช่จุดเปลี่ยนรูป แต่เป็นจุดเปลี่ยนรูปอย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตพีชคณิต จุดเปลี่ยนรูปและจุดเปลี่ยนรูปมักเรียกว่าจุดเปลี่ยนรูป ตัวอย่างของจุดเปลี่ยนรูปคือ $x = 0$ สำหรับฟังก์ชัน $f$ ที่กำหนดโดย $f (x) = x 4$

ในคำกล่าวข้างต้น ถือว่า $f$ มีอนุพันธ์ลำดับสูงที่ไม่เท่ากับศูนย์ที่ $x$ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีนี้ หากเป็นกรณีนี้ เงื่อนไขที่อนุพันธ์ลำดับแรกที่ไม่เท่ากับศูนย์มีลำดับคี่แสดงว่าเครื่องหมายของ $f' (x)$ เหมือนกันทั้งสองด้านของ $x$ ในบริเวณใกล้เคียงของ $x$ หากเครื่องหมายนี้เป็นบวกจุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนทิศทางขาขึ้นหากเป็นลบจุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนทิศทางขาลง

เงื่อนไขที่เพียงพอ

เงื่อนไขการดำรงอยู่ที่เพียงพอสำหรับจุดเปลี่ยนรูปในกรณีที่ $f (x)$ สามารถ หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง $k$ เท่าในละแวกใกล้เคียงจุด $x 0$ โดยที่ $k$ มีค่าคี่และ $k \geq 3$ ก็คือ $f (n) (x 0) = 0$ สำหรับ $n = 2, ..., k$ − $1$ และ $f (k) (x 0) \neq 0$ จากนั้น $f (x)$ จะมีจุดเปลี่ยนรูปอยู่ที่ $x 0$
เงื่อนไขการดำรงอยู่เพียงพอทั่วไปอีกประการหนึ่งต้องการให้ $f″ (x 0 + ε)$ และ $f″ (x 0 - ε)$ มีเครื่องหมายตรงข้ามกันในบริเวณใกล้เคียงของ $x 0$ ( Bronshtein และ Semendyayev 2004, หน้า 231)

การแบ่งประเภทของจุดเปลี่ยนผัน

จุดเปลี่ยนสถานะยังสามารถแบ่งประเภทได้ตามว่า $f' (x)$ มีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ใช่ศูนย์

ถ้า $f' (x)$ เท่ากับศูนย์ จุดนั้นคือจุดคงที่ของการเปลี่ยนแปลงสถานะ
ถ้า $f' (x)$ ไม่เป็นศูนย์ จุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าที่ไม่คงที่

จุดคงที่ของการเปลี่ยนแปลงรูปไม่ใช่ค่าสุดขั้วในพื้นที่โดยทั่วไปแล้ว ในบริบทของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวจุดคงที่ที่ไม่ใช่ค่าสุดขั้วในพื้นที่จะเรียกว่าจุด อานม้า

ตัวอย่างของจุดเปลี่ยนความโค้งคงที่คือจุด $(0, 0)$ บนกราฟของ $y = x 3$ แทนเจนต์คือ แกน $x$ ซึ่งตัดกราฟที่จุดนี้

ตัวอย่างของจุดเปลี่ยนรูปที่ไม่นิ่งคือจุด $(0, 0)$ บนกราฟของ $y = x 3 + ax$ สำหรับ $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ใดๆ แทนเจนต์ที่จุดกำเนิดคือเส้น $y = ax$ ซึ่งตัดกราฟที่จุดนี้

ฟังก์ชันที่มีความไม่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชันบางอย่างจะเปลี่ยนความเว้าโดยไม่ต้องมีจุดเปลี่ยนรูป แต่สามารถเปลี่ยนความเว้ารอบเส้นกำกับแนวตั้งหรือความไม่ต่อเนื่องได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเว้าสำหรับ ค่า $x$ ลบ และนูนสำหรับค่า $x$ บวก แต่ไม่มีจุดเปลี่ยนรูปเนื่องจาก 0 ไม่ได้อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน $x\mapsto {\frac {1}{x}}$

ฟังก์ชันที่มีจุดเปลี่ยนซึ่งอนุพันธ์อันดับสองไม่หายไป

ฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนรูปแม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองจะไม่เท่ากับ 0 ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันรากที่สามจะเว้าขึ้นเมื่อ x เป็นค่าลบ และเว้าลงเมื่อ x เป็นค่าบวก แต่ไม่มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ที่จุดกำเนิด

ดูเพิ่มเติม

จุดวิกฤต (คณิตศาสตร์)
เกณฑ์ทางนิเวศวิทยา
การกำหนดค่าเฮสเซอที่เกิดจากจุดเปลี่ยนเก้าจุดของเส้นโค้งวงรี
โอจีรูปแบบสถาปัตยกรรมที่มีจุดเปลี่ยนแปลง
จุดยอด (เส้นโค้ง)จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของความโค้งในพื้นที่

อ้างอิง

^ Stewart, James (2015). Calculus (8 ed.). Boston: Cengage Learning. หน้า 281. ISBN 978-1-285-74062-1-
^ ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . Baranenkov, GS Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434.OCLC 21598952 .{{cite book}}: CS1 maint: อื่นๆ ( ลิงค์ )
^ Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). เบอร์ลิน: Springer. หน้า 231. ISBN 3-540-43491-7-

แหล่งที่มา

Weisstein , Eric W. "จุดเปลี่ยน" MathWorld
“จุดเปลี่ยน” สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2544 [2537]

[1] Stewart, James (2015). Calculus (8 ed.). Boston: Cengage Learning. หน้า 281. ISBN 978-1-285-74062-1-

[2] ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . Baranenkov, GS Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434.OCLC 21598952 .{{cite book}}: CS1 maint: อื่นๆ ( ลิงค์ )

[3] Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). เบอร์ลิน: Springer. หน้า 231. ISBN 3-540-43491-7-