เนื้อหาของมิงคอฟสกี้


เนื้อหามิงคอฟสกี (ตั้งชื่อตามแฮร์มันน์ มิงคอฟสกี ) หรือการวัดขอบเขตของเซต เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้แนวคิดจากเรขาคณิต และทฤษฎีการวัดเพื่อสรุปแนวคิดเกี่ยวกับความยาวของเส้นโค้งเรียบในระนาบและพื้นที่ของพื้นผิวเรียบในอวกาศไปยังเซตที่วัดได้ ตามอำเภอใจ

โดยทั่วไปจะใช้กับขอบเขตแบบเศษส่วน ของโดเมนใน ปริภูมิยูคลิดแต่สามารถใช้ในบริบทของปริภูมิการวัดแบบ เมตริกทั่วไปได้เช่นกัน

มันมีความเกี่ยวข้องกับ แม้จะแตกต่างจากการวัด Hausdorffก็ตาม

คำนิยาม

สำหรับและแต่ละจำนวนเต็มmที่ มี เนื้อหาMinkowski บนมิติmคือ เอ อาร์ {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}} 0 ม. {\displaystyle 0\leq ม\leq n}

เอ็ม ม. - เอ - - ลิ้มซุป 0 - μ - - เอ็กซ์ - - เอ็กซ์ - เอ - - - - อัล - ม. - ม. {\displaystyle M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}}}}

และเนื้อหา Minkowski ที่ต่ำกว่ามิติmถูกกำหนดให้เป็น

เอ็ม ม. - เอ - - ลิม อินฟ 0 - μ - - เอ็กซ์ - - เอ็กซ์ - เอ - - - - อัล - ม. - ม. {\displaystyle M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}}}}

โดยที่เป็นปริมาตรของ ลูกบอลขนาด ( nm )ที่มีรัศมี r และเป็นหน่วยวัดเลอเบกแบบมิติ อัล - ม. - ม. {\displaystyle \อัลฟา (nm)r^{nm}} μ {\displaystyle \mu} {\displaystyle น.}

หาก เนื้อหา Minkowski มิติบนและล่างm ของ Aเท่ากัน ค่าร่วมของทั้งสองจะเรียกว่าเนื้อหา Minkowski M m ( A ) [1] [2]

คุณสมบัติ

  • โดยทั่วไป เนื้อหาของ Minkowski ไม่ใช่ตัววัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื้อหาของ Minkowski มิติ mในR nไม่ใช่ตัววัด เว้นแต่m  = 0 ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นตัววัดการนับ เห็นได้ชัดว่าเนื้อหาของ Minkowski กำหนดค่าเดียวกันให้กับเซตAเช่นเดียวกับการปิด ของเซต A
  • หากAเป็นเซตที่แก้ไขได้แบบปิดในR nซึ่งกำหนดให้เป็นอิมเมจของเซตที่มีขอบเขตจากR mภายใต้ฟังก์ชันลิปชิตซ์ดังนั้นเนื้อหามิงกอฟสกี้มิติm ของ Aจะมีอยู่ และเท่ากับการวัดฮอสดอร์ฟมิติmของA [3 ]

ดูเพิ่มเติม

เชิงอรรถ

  1. ^ เฟเดอเรอร์ 1969, หน้า 273
  2. ^ Krantz & Parks 1999, หน้า 74
  3. เฟเดอเรอร์ 1969, น. 275 ทฤษฎีบท 3.2.39

อ้างอิง

ดึงข้อมูลจาก "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=เนื้อหามิงคอฟสกี้&oldid=1144501768"